9015
.pdf10
Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или
противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
|
|
Два вектора a |
и b равны, если они коллинеарны, одинаково направлены |
a b и их длины |
равны | a | | b |. Отсюда следует, что при перемещении |
вектора параллельно самому себе, получим равный ему вектор. Равные векторы называют также свободными.
Три вектора (или более трех) называются компланарными, если они
лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди векторов
хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис. 2 |
векторы a, b |
и c |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
некомпланарны, |
так как векторы a |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
и c параллельны плоскости АВС, а |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
вектор b |
не |
параллелен |
этой |
|
|||||||||||
плоскости, |
так |
как пересекает |
эту |
Рис. 2 |
плоскость в точке В.
Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.
Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c , начало которого совпадает с началом вектора a , а конец – с концом вектора b ,
причем конец вектора a и начало вектора b совмещаются и обозначается:
c a b .
Пусть даны вектора a и b (см. рис. 3).
|
|
|
a |
b |
Рис.3
11
Чтобы их сложить, то есть найти сумму a b этих векторов, необходимо
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нарисовать a и b в одном и том же масштабе таким образом, |
чтобы начало |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вектора |
b – второго слагаемого, совпало с концом |
вектора |
a – первого |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
слагаемого (см. рис. 4). Тогда отрезок, соединяющий |
начало |
вектора a с |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
концом |
вектора b будет суммой a b в том же |
масштабе, в котором |
представлены a и b . Такое правило сложения векторов называют правилом
треугольника.
b
a
a b
|
|
|
|
Рис. 4 |
|
Существует еще одно правило сложения векторов - |
правило |
||||
|
|
|
|
||
параллелограмма: на векторах a и b , имеющих общее начало, |
строится |
параллелограмм, тогда начало вектора c совпадает с общим началом векторов a
и b , а конец – с противоположной вершиной параллелограмма (рис.5).
Рис. 5
На рис. 6 показано сложение трех векторов.
Рис. 6
12
Противоположным вектору a называется такой вектор a , который при сложении с вектором a дает нулевой вектор, то есть a a 0 .
Под разностью векторов a и b понимается вектор c a b такой, что a c b (см. рис.7).
Рис. 7
Можно вычитать векторы по правилу: a b a b , то есть вычитание векторов заменить сложением вектора a с вектором,
противоположным вектору b .
Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах a и b , одна направленная диагональ является суммой векторов a и b , а другая – разностью
(см. рис. 8).
Рис. 8
Произведением вектора a на число называется такой вектор a ,
направление которого совпадает с вектором a , если 0 и противоположно направлению вектора a , если 0; длина же вектора a в раз «больше»
длины вектора a , то есть
a a .
Если 0 , то a 0 .
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть дан вектор a (см. рис. 9), тогда векторы b 2a , |
c 3a |
||||||||||
изображены на рисунке 9. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
b |
|
|
|
a
c
Рис. 9
Свойства линейных операций над векторами:
1.a b c a b c
2.a b b a
3.a 0 a
4.a a 0
5.a a
6.a b a b
7.a a a
8.1 a a , где , , , – действительные числа.
Теорема 1 (критерий коллинеарности) Два ненулевых вектора a и b
коллинеарны тогда и только тогда, когда найдется единственное число такое,
что b a .
Теорема 2 (о разложении вектора по двум неколлинеарным) Любой
вектор c на плоскости может единственным образом быть разложен по двум
неколлинеарным векторам a и b , то есть
14
c ! , R c a b .
Теорема 3 (критерий компланарности) Три вектора a , b и c
компланарны тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно разложить по двум остальным, то есть , R c a b .
Теорема 4 (о разложении вектора по трем некомпланарным) Любой
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор d |
пространства может единственным образом быть разложен по трем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
некомпланарным векторам a , b и c , то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! , , R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d |
a |
b |
c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. |
Диагонали |
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 пересекаются в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
точке О. Разложите векторы CD и D1O по векторам AA1 , AB и AD . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) Так |
как |
CD AB , |
|
|
|
то |
искомое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
разложение будет иметь вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
CD 0 AA1 1 AB 0 AD . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
что |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2) Заметим, |
D1O |
D1B . |
В свою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 10 |
||||||
очередь |
D1 B D1 A1 D1C1 D1 D |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Или D1 B AD AB AA1 . Тогда получаем разложение :
D1O 12 AA1 12 AB 12 AD .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: CD 0 AA1 1 AB 0 AD , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
D1O |
AA1 |
AB |
AD |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
13, |
|
|
|
19 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пример. Найти |
a b |
, если |
a |
|
b |
|
|
a b |
24 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Поскольку векторы a и b ненулевые, то можно на них |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
построить параллелограмм (см. рис. 8). Векторы |
|
a b |
|
и |
|
a b |
- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
направленные диагонали параллелограмма, а |
|
a b |
и |
|
|
a b |
|
их |
длины. |
Из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
школьного курса геометрии известно, что сумма квадратов диагоналей
параллелограмма равна сумме квадратов сторон параллелограмма. Поэтому:
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 13 |
2 |
|
2 |
24 |
2 |
|
|
a b |
|
a b |
a |
|
b |
, отсюда |
a b |
19 |
484 , то есть |
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b 22 .
Ответ: a b 22 .
Задания для самостоятельной работы:
1) АВСДЕК – правильный шестиугольник, причем АВ х, |
ВС у . |
Выразить через х, у и векторы СД , ДЕ, ЕК , КА, АС, АД , АЕ.
2) Даны неколлинеарные векторы a и b . Коллинеарны ли векторы
cа 23b и d 3а 6b ?
3)Точки K и L служат серединами сторон BC и CD параллелограмма
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ABCD. Выразить векторы |
BC |
|
и |
|
DC через AK и |
|
AL . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BC4 a b, |
|||||||||||||||
4) Пусть векторы |
и b неколлинеарны |
и |
AB |
|
a, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
CD 4 b |
|
DAa b. |
Найти |
числа |
и |
|
|
|
и |
доказать |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BC и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
коллинеарность векторов |
|
|
DA . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) Какими должны быть векторы a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
и b , |
чтобы выполнялось неравенство |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a |
b |
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6) Три силы |
F, F, F |
, |
|
приложенные к одной точке, |
|
|
имеют взаимно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
перпендикулярные |
|
|
направления. Найти величину |
равнодействующей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, |
|
|
|
10, |
|
11 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
F |
F |
||||||||||||||||
силы F , если известны величины этих сил: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
. |
§ 2. Проекция вектора на ось
|
|
|
16 |
|
Пусть в |
пространстве задана |
ось l, |
то |
есть |
направленная |
прямая. |
Проекцией точки М на ось l называется |
|||
основание |
M1 перпендикуляра |
MM1 , |
|
опущенного |
из точки на ось. Точка M1 - это |
точка |
пересечения |
оси l |
с плоскостью, |
|
|
Рис. 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проходящей через точку М перпендикулярно оси (см. рис.1). |
|
|
||||||||||||
|
Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось l совпадает с |
|||||||||||||
М. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
AB - |
произвольный ненулевой вектор. |
Обозначим через |
А1 и |
В1 |
||||||||
проекции на |
ось |
l |
соответственно |
|
начала |
А и |
конца В вектора |
AB |
и |
|||||
рассмотрим вектор A1B1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Проекцией |
вектора |
AB |
|
на |
ось |
l |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
называется положительное число |
|
A1 B1 |
|
, если |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
вектор A1B1 и ось l |
одинаково направлены и |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
отрицательное число, |
равное |
A1 B1 |
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
если |
вектор |
|
A1B1 |
и |
|
ось |
l |
|
|
|
|
|||
противоположно направлены |
(см. рис. 2). |
|
Рис. 2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
Если точки А1 |
и В1 совпадают ( A1B1 0 ), то проекция вектора AB равна |
||||||||||||
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проекция AB на ось l обозначается так: |
Пp l AB . Если AB 0 или АВ l, |
||||||||||||
то Пp l AB 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Под углом |
|
между осью |
|
|
|
l |
|
|
|
и |
||||||||||||||||
вектором |
AB будем понимать меньший из |
|||||||||||||||||||||||||
углов, который отсчитывается от направления |
||||||||||||||||||||||||||
оси до |
направления вектора (см. |
рис. |
3). |
|
||||||||||||||||||||||
Очевидно, что 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства проекции |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) Проекция вектора a на ось l |
|
|
|
равна произведению модуля вектора a |
||||||||||||||||||||||
на косинус угла между вектором и осью, т.е. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пp l a |
a |
|
cos . |
||||||||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
а) Если 0 2 , то Пp l a |
|
a1 |
|
|
|
a |
|
cos (см. рис. 3) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
б) Если 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
, то Пp l a |
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
cos( ) |
|
a |
|
cos (см. рис. 4) |
|||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
cos . |
|||||||||||||||||||||||
в) Если |
, то Пp l AB 0= |
a |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)Проекция суммы векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось, т.е.
Пp l (a b) Пp l a Пp l b .
3)При умножении вектора a на число его проекция на ось также умножается на это число, т.е.
Пp l ( a) Пp l a .
Таким образом, линейные операции над векторами приводят к
соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.
18
§ 3. Координаты вектора и их свойства
Три единичных взаимно перпендикулярных вектора i , j , k
пространства, через которые условились выражать все векторы пространства,
называются базисными векторами или базисом.
Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки O и базиса i, j, k .
Точка O называется началом координат, оси Ox , Oy и Oz , проходящие
через начало координат – точку O в направлении базисных векторов i , j и k
называются осями координат. Плоскости xOy , xOz и yOz , проходящие через каждую пару осей координат называются координатными плоскостями.
Выберем произвольный вектор a |
|||
пространства и совместим его начало |
|||
с началом |
|
координат: |
a OM |
(см. рис. 1). |
Найдем |
проекции |
|
вектора a |
на |
координатные оси. |
|
Проведем через конец вектора OM |
|||
плоскости, |
параллельные |
коорди- |
Рис.1
натным плоскостям.
Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно
через M1 , M 2 , M 3 . Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор OM . По определению суммы векторов получае2м a OM OM1 M1 N NM . А так как M1 N OM 2 , NM OM 3 , то
a OM1 OM 2 OM 3 .
Заметим, что OM1 (Пp x a) i , OM 2 (Пp y a) j , OM 3 (Пp z a) k .
19
Обозначим через ax Пp x a , ay Пp y a , az Пp z a . Тогда a ax i ay j az k .
Эта формула является основной в векторном исчислении и называется
разложением вектора по ортам координатных осей. Числа ax , a y , az
называются координатами вектора a , то есть его координаты это проекции вектора на соответствующие координатные оси.
Векторное равенство a ax i ay j az k более кратко записывается a ax , ay , az .
Зная координаты вектора, можно легко найти его длину. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно записать
|
2 |
|
OM 2 |
|
2 |
|
OM 3 |
|
2 ax |
2 ay |
2 az |
2 . Отсюда |
|
| OM |2 |
OM1 |
|
|
|
|
a ax2 ay2 az2 .
Пусть углы вектора a с осями |
Ох, Оу, Оz соответственно равны |
||||||||||||||||||||
, , . По свойству проекции вектора на ось, имеем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ax |
a |
cos , |
ay |
a |
cos , az |
a |
cos . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Или что то же самое, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos |
a |
x |
|
, cos |
ay |
, cos |
a |
z |
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a |
|
|
a |
|
|
a |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Числа cos , cos , cos называются направляющими косинусами
вектора a . Направляющие косинусы обладают свойством
cos2 cos 2 cos 2 1 .
Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, то есть сам вектор.