9016
.pdf60
Задания для самостоятельной работы:
1.Пользуясь определением гиперболы, составить её уравнение, если
известно, что точки |
F 2;0 |
и |
F |
2;0 |
являются фокусами гиперболы, а |
1 |
2 |
|
длина большой оси равна 2.
2.Пользуясь определением гиперболы, составить её уравнение, если
известно, что точки |
F 0; 3 |
и |
F |
0;3 |
являются фокусами гиперболы, а |
||
1 |
|
2 |
|
||||
длина большой оси равна 4. |
|
|
|
|
|
||
3. |
Построить гиперболу |
|
2 |
2 |
|
||
16x 9y 144. Найти: 1) действительную и |
|||||||
мнимую полуоси; 2) |
координаты фокусов; 3) эксцентриситет; 4) уравнения |
||||||
асимптот. |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Составить уравнение гиперболы, |
проходящей через точку M 9;8 , если |
асимптоты гиперболы имеют уравнения y 232x.
5.Эксцентриситет гиперболы 2 . Составить уравнение гиперболы,
проходящей через точку M |
|
|
|
. |
3; |
2 |
6.Найти расстояние между фокусами и эксцентриситет гиперболы
22
xy 1 16 4
7.Действительная полуось гиперболы равна 5, эксцентриситет 1,4 .
Найти уравнение гиперболы.
8. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние
между фокусами равно 14, а расстояние между вершинами равно 12.
61 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||
9. Найти эксцентриситет гиперболы |
x |
|
y |
|
1. |
|
|
|
|
||||
|
9 |
16 |
10. Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси OX симметрично относительно начала координат, если дана точка
M4,5; 1 |
гиперболы и уравнения асимптот |
y |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||
11. Фокусы |
гиперболы совпадают с фокусами |
эллипса |
x |
|
y |
|
1. |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
25 16 |
Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет 1,5.
12.Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах
2 2
эллипса x y 1, а фокусы – в вершинах данного эллипса.
25 9
Определить область расположения кривых и построить их:
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
y |
x 9 |
|
|
x |
y 9 |
x |
|
y 25 |
||||||
3 |
|
; 2) |
y 3 x 1; 3) |
3 |
|
; 4) |
5 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13. Найти точки |
пересечения |
асимптот |
гиперболы |
2 |
2 |
12 с |
|||||||||
x |
3y |
окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.
14.Определить траекторию точки M , которая движется так, что остается вдвое дальше от точки F 8;0 , чем от прямой x 2 .
15.Найти каноническое уравнение гиперболы, асимптотами которой
являются прямые y x , а фокусы совпадают с фокусами эллипса
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
y |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
64 28 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
16. |
|
|
Найти расстояния от |
центра окружности |
x y 6x4y 0 |
|||||
|
|
|
до |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
9 |
|
|
асимптот гиперболы |
x |
y |
|
|
||||||
|
|
. |
|
|
Парабола
62
Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной
прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы d
называется параметром параболы и обозначается через p ( p 0).
Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Oxy так,
чтобы |
ось Ox проходила |
через |
фокус F перпендикулярно |
директрисе |
в |
|||||||||
направлении от директрисы к F , |
а начало координат |
расположим посередине |
||||||||||||
между фокусом и директрисой (см. рис. 8). В выбранной системе фокус |
F |
|||||||||||||
имеет |
координаты ( |
p |
, 0) , а |
уравнение директрисы |
имеет вид |
x |
p |
или |
||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
x |
p |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
M (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
Рис. 8 |
|
|
|
||||||||
|
x |
p |
|
F ( |
p |
,0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пусть |
M - произвольная2 |
2 точка |
параболы. |
Соединим |
точку |
M с F . |
|||||||||||||||||||||
Проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. |
Согласно определению |
||||||||||||||||||||||||||
параболы MF MN. |
Используя |
|
формулу |
расстояния |
между |
двумя |
точками, |
||||||||||||||||||||
находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
2 |
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(x |
|
|
) |
|
|
y |
|
|
|
(x |
|
) |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 2 px |
|
p 2 |
y 2 x 2 px |
p 2 |
|
, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
т.е.
63
y 2 2 px. |
(10) |
|
|
Уравнение (10) называется каноническим уравнением параболы. |
|
Установим форму параболы, пользуясь его каноническим уравнением.
1. Уравнение (10) содержит y только в четной степени, следовательно парабола симметрична относительно оси Ox , ось Ox называется осью симметрии
параболы.
2. Так как p 0, то из (10) следует, что x 0. Следовательно, парабола расположена справа от оси Oy .
3. При x 0 имеем y 0. Следовательно, парабола проходит через начало координат.
y
N |
|
M (x, y) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||
|
|
|
|
F |
|
,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
Рис. 9 |
4. При неограниченном |
возрастании x модуль |
также неограниченно |
||||||||
возрастает. Парабола |
y 2 2 px имеет вид, изображенный на рисунке 9. Точка |
|||||||||
O(0,0) называется вершиной параболы. |
|
|
||||||||
Уравнение вида |
y 2 |
2 px |
определяет параболу, для которой x 0 , т.е. |
|||||||
график этой параболы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M(x,y) |
|
|
p |
|
||
|
0 |
|
x |
||||
|
|
p |
|
|
|||
F |
|
|
,0 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения |
x2 |
2 py |
и x2 2 py |
задают |
параболы |
симметричные |
||||||||||||||
относительно оси oy : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|||||||||||
|
|
F 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
M |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Вырождения» параболы: |
|
|
|
|
||||||
1. |
|
x2 k 2 , |
|
|
y2 |
k 2 . Эти |
уравнения не |
определяют никакого точечного |
|||||||||||||
|
|
множества при k 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
|
x2 k 2 , |
y 2 k 2 , |
эти уравнения определяют пару параллельных прямых: |
|||||||||||||||||
|
|
x k и |
y k . При k 0 эти прямые совпадают. |
|
|
|
|
Пример. Парабола, симметричная относительно оси oy , имеет вершину в начале координат и проходит через точку (6,-2). Написать уравнение параболы и определить координаты ее фокуса.
Решение. Уравнение параболы, |
симметричной относительно оси oy : |
x2 2 py либо x2 2 py . Подставим координаты точки в оба уравнения: |
|
62 2 p 2 , т.к. p 0 . |
62 2 p 2 |
|
36 4 p |
|
p 9 |
65
Уравнение параболы x2 18 y , ветви вниз и F 0; 4,5
y
0 |
6 |
x
-2
F(0;-4,5)
Задания для самостоятельной работы:
1.Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси OX , с
вершиной в начале координат и проходящей через точку A 3; 3.
2.Составить каноническое уравнение параболы, проходящей через начало
координат, если ее директриса имеет уравнение x 15 0.
3. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы y2 12x.
4. Найти вершину, фокус и директрису параболы 2 и y 2x 8x 5
построить кривую.
5.Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси OY , с
вершиной в начале координат и проходящей через точку A 2;4 .
6. |
Через фокус параболы y2 12x проведена хорда, перпендикулярная к её |
|
оси. Найти длину хорды. |
7. |
Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, фокус |
|
которой находится в точке пересечения прямой 5x 3y 120с осью: |
1) ординат; 2) абсцисс.
|
|
|
|
66 |
8. |
Составить |
уравнение |
множества |
точек, одинаково удалённых от точки |
|
F 2; 0 и от прямой |
y 2 . Найти точки пересечения этой кривой с осями |
||
|
координат и построить её. |
|
||
9. |
Составить |
уравнение |
множества |
точек, одинаково удалённых от начала |
|
координат |
и от прямой x 4 . |
Найти точки пересечения этой кривой с |
осями координат и построить её.
10.Камень, брошенный под углом к горизонту, описал дугу параболы и упал на расстоянии 16м. от начального положения. Определить параметр параболической траектории, зная, что наибольшая высота, достигнутая камнем, равна 12м.
11.Камень, брошенный под углом к горизонту, достиг наибольшей высоты
16м. Описав параболическую траекторию, он упал в 48м. от точки бросания. На какой высоте находился камень на расстоянии 6м от точки бросания?
12.Зеркальная поверхность прожектора образована вращением параболы вокруг её оси симметрии. Диаметр зеркала 80см, а глубина его 10см. На каком расстоянии от вершины параболы нужно поместить источник света, если для отражения лучей параллельным пучком он должен быть в фокусе параболы?
13.Струя воды фонтана достигает наибольшей высоты 4 м на расстоянии 0,5 м
от вертикали, проходящей через точку O выхода струи. Найти высоту струи
над горизонталью OX |
на расстоянии 0,75 м от точки O . |
14. Написать уравнение |
окружности, диаметром которой служит отрезок, |
2
отсекаемый на оси абсцисс параболой y 3 2x x. Построить обе кривые.
15.Составить уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы y2 6x и касающейся ее директрисы.
16.Написать уравнение окружности с центром в фокусе параболы y2 4x и
2 2
радиусом, равным фокусному расстоянию гиперболы 7x 9y 63.
67
17. Построить |
кривые, |
найдя |
дополнительные |
точки пересечения с осями |
|||||||||||||||||||||
координат: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
1) |
3y 9 x |
; 2) |
y 9 3x |
3) |
y 4 x |
4) |
x 4 2y |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
; |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
18. Установить, |
|
какие |
линии определяются следующими уравнениями и |
||||||||||||||||||||||
построить эти кривые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
y 2 x |
; |
|
2) |
y x |
; 3) |
y 3 2x |
|
y 2 x |
x 3y |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 4) |
|
; 5) |
|
|
|
6)x 4 y; 7) x 2 6 2y; 8) x 4 3y 5; 9) y 3 4 x 1.
19.Составить уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы y2 6x и касающейся ее директрисы.
Уравнение Ax2 Cy 2 2Dx 2Ey F 0
Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности
можно записать с помощью единого уравнения вида |
|
|
Ax 2 Cy 2 2Dx 2Ey F 0, |
(1) |
|
где коэффициенты A и C не равны нулю одновременно. |
|
|
Теорема 1 |
|
|
Уравнение (1) всегда определяет: |
либо окружность (при |
A =C ), либо |
эллипс (при A C 0 ), либо гиперболу |
(при A C 0 ), либо параболу (при |
|
A C 0 ). |
|
|
С помощью преобразования параллельного переноса уравнение (1)
кривой 2-го порядка можно привести к каноническому виду.
Рассмотрим параллельный перенос координатных осей:
|
y |
y |
M |
|
|
|
|
|
|
y |
y |
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|||
|
|
o a,b |
|
|
o |
x |
68
x
Рис. 1.
M x, y – точка с координатами в старой системе координат oxy ,
M x , y – точка с координатами в новой системе координат o x y ,
O a,b – начало координат новой системы с координатами в старой системе.
Формулы параллельного переноса координатных осей, выражающие старые координаты через новые:
x x ay y b
Обратные формулы:
x x ay y b
Пример 1 С помощью параллельного переноса осей координат привести к каноническому виду уравнение кривой x2 2y2 4x 8y 10 0 и построить
ее. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
AC 0 , |
|
значит уравнение определяет эллипс. Преобразуем |
||||||
данное уравнение – сгруппируем полные квадраты |
|
|
|
|
|||||
x2 4x 4 4 2 y2 4y 4 4 10 0 |
|
|
|
|
|||||
x 2 2 2 y 2 2 22 |
|
|
|
|
|||||
x 2 2 |
y 2 2 |
1 |
|
|
|
|
|||
22 |
11 |
|
. |
|
|
|
|
||
Положим |
x 2 x |
|
эта система задает формулы параллельного переноса |
||||||
|
|
|
|||||||
|
y 2 y |
|
|
|
|
|
|
||
осей координат в т. O1 2, 2 . Получим уравнение эллипса: |
(x )2 |
|
( y )2 |
1, с |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
22 |
11 |
|
|
|
|
|
|
и центром симметрии в т. O1 2, 2 . |
|
|
|
|
|
полуосями a |
22 , b |
11 |
|
|
|
|
y |
y |
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
O1 |
|
-a |
a |
x |
|
69
b
Рис. 2.
|
|
Пример. 2. |
Привести к простейшему виду и построить кривую, заданную |
|||||||
уравнением: x2 4x 3y 6 0 . |
|
|
|
|||||||
|
|
Решение. |
AC 0 – |
задана |
парабола. Сгруппируем полный квадрат и |
|||||
преобразуем данное уравнение: |
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
x |
|
4x 4 4 3y |
|
6 0 или |
x 2 |
3 y |
|
. |
||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x 2 |
x |
|
|
|
|
||
Положим, что |
|
|
2 |
|
являются формулами параллельного переноса в т. |
|||||
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O1 |
|
2, |
2 |
|
. Получим уравнение: |
x |
2 |
3y |
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и симметричная относительно оси oy .
y y
-2
O
O1
-2
– парабола с вершиной в т. |
O1 |
|
2, |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|
x |
|
2 |
|
|
x |
|
3 |
Рис. 3.
Замечание. С помощью параллельного переноса координатных осей удается в общем уравнении избавиться от слагаемых, содержащих x и y в
первой степени.