9018
.pdf50
Эллипс
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстоя-
ний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых
фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокуса-
ми.
Обозначим фокусы через F1 и F2 , расстояние между ними через 2с, а
сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов – через 2 a . По
определению 2a 2c, т.е. a c.
Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Oxy так, что-
бы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox , а начало координат совпадало с середи-
ной отрезка F1 F2 (см. рис. 2) . Тогда фокусы будут иметь следующие координа-
ты: F1 ( c, 0) и F2 (c, 0).
y |
M (x, y) |
|
F1 ( c,0) |
0 |
F2 (c,0) |
x |
Рис. 2 |
|
|
|
Пусть M (x, y) - произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса, MF1 MF2 2a , т.е.
(x с)2 y 2 |
|
(x с)2 y 2 |
2a, |
(3) |
Это, по сути, и есть уравнение эллипса.
Преобразуем уравнение (3) к более простому виду следующим образом:
(x с)2 y 2 2a (x с)2 y 2 ,
x 2 2xc c 2 y 2 4a 2 4a(x c)2 y 2 x 2 2xc c 2 y 2 ,
51
a(x c)2 y 2 a 2 xc,
a2 x2 2a2 cx a2 c2 a2 y 2 a4 2a2 cx c2 x2 , (a 2 c2 )x2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c2 ).
Так как a c , то a2 c2 0. Положим
a2 c2 |
b2 . |
|
(4) |
||||
Тогда последнее уравнение имеет вид |
|
b2 x2 a 2 y 2 |
a 2b2 |
или |
|||
|
x 2 |
|
y 2 |
1. |
|
(5) |
|
|
a 2 |
b2 |
|
||||
|
|
|
|
|
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Эллипс – кри-
вая второго порядка.
Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.
1. Уравнение (5) содержит x |
и y только в четных степенях, поэтому если точка |
(x, y) принадлежит эллипсу, |
то ему также принадлежат точки (x, y) , ( x, y) , |
( x, y) . Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ox и Oy ,
а также относительно точки , которую называют центром эллипса.
2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив y 0 , нахо-
дим две точки A1 ( a, o) и A2 (a, o) , в которых ось Ox пересекает эллипс (см. рис. 3). Положив в уравнении (5) x 0 , находим точки пересечения эллипса с осью Oy : B1 ( b, o) и B2 (b, o) . Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса. Отрезки A1 A2 и B1 B2 , а также их длины 2a и 2b, называются соответственно
большой и малой осями эллипса. Числа a и b, называются соответственно
большой и малой полуосями эллипса.
52
y
|
|
B2 |
|
|
|
A1 |
|
|
A2 |
x |
Рис. 3 |
F1 0 |
F2 |
||||
|
|
|
|
|
|
B1
3. Из уравнения (5) следует, что каждое слагаемое из левой части не превосхо-
дит единицы, т.е. имеют место неравенства |
x 2 |
1 |
и |
y 2 |
1 |
или |
a x a и |
|
a 2 |
b 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
b y b. Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника,
образованного прямыми x a, |
y b. |
|
|
|
|
|
4. В уравнении (5) сумма неотрицательных слагаемых |
x 2 |
и |
y 2 |
равна единице. |
||
a 2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
Следовательно при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться,
т.е. если x возрастает, то y уменьшается и наоборот.
Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 3.
При a b эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса (5) принима-
ет вид x2 y 2 |
a 2 . |
|
||||
Отношение |
c |
половины расстояния между фокусами к большей полуоси эл- |
||||
a |
||||||
|
|
|
|
|
||
липса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой : |
||||||
|
|
|
c |
, |
(6) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
a |
|
Причем 0 1, так как 0 с a. Чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эл-
липс будет менее сплющенным, если положить 0 , то эллипс превращается в окружность.
53
Из равенства (4) следует, что a b . Если же a b , то уравнение (5) опре-
деляет эллипс, большая ось которого 2b лежит на оси Oy , а малая ось 2a – на оси Ox (см. рис.4).
y
B2
F2
A1 0 |
A2 |
x |
Рис. 4 |
F1
B1
|
|
|
|
|
|
|
Фокусы такого эллипса находятся в точках |
F (0, c) |
и |
F (0, c) , где |
c |
b2 a2 . |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
Эксцентриситет вычисляется по формуле bc .
«Вырождения» эллипса:
x2 |
|
|
y2 |
|
0 – задает точку O 0,0 ; |
|
a2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
|||
x2 |
|
|
y2 |
|
1 – мнимый эллипс. |
|
a2 |
|
b2 |
|
|||
|
|
|
|
Пример. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки
M1 2, 22 и M 2 1, 23 . Построить кривую.
Решение. |
Каноническое уравнение эллипса имеет вид |
x2 |
|
y2 |
1. Если точки |
||||||||||||
a2 |
b2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M 1 |
и M 2 |
лежат на эллипсе, то их координаты удовлетворяют уравнению кри- |
|||||||||||||||
|
|
2 |
8 |
|
1 . Решая эту |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
вой, |
т.е. |
a2 |
b2 |
систему, относительно |
a 2 и b2 , найдем |
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
12 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
b2 16, a2 |
4 . Уравнение эллипса |
x2 |
|
y2 |
1. Т.к. a 2 b 4, то фокусы это- |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
16 |
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 0, 2 |
|
и |
|
го эллипса находятся на оси oy и c |
16 4 2 3 . Итак, |
3 |
|||||||
F2 0, 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
y
4
23 F2
-2 |
0 |
2 |
x |
23 F1
-4
Задания для самостоятельной работы:
1. Составить уравнение эллипса, если известно, что точки |
F 2;0 |
и |
F 2;0 |
1 |
2 |
||
являются фокусами эллипса, а длина большой оси равна 6. |
|
|
|
2. Составить уравнение эллипса, если известно, что точки |
F 0; 1 |
и |
F 0;1 |
1 |
2 |
||
являются фокусами эллипса, а длина большой оси равна 4. |
|
|
|
3. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что его полуоси равны 5
и 2.
55
4. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат
симметрично относительно начала координат, зная, что его полуоси равны 7
и 2.
5. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что его малая ось равна 10,
а эксцентриситет |
|
|
12 |
. |
|
||||
|
|
13 |
6. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что его большая ось равна10, а расстояние между фокусами равно 8.
2 25
7. Дан эллипс 9x y 225. Построить его и найти: 1) его полуоси; 2)
фокусы; 3) эксцентриситет.
8. Эллипс с центром в начале координат и симметричный относительно осей
координат, |
проходит через точку |
M 2;2 и имеет |
эксцентриситет |
|
3 |
. |
||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
Составить уравнение эллипса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Составить уравнение эллипса, если точки |
F( 1; 0) |
и |
F (1; 0) |
являются |
||||||||||
1 |
|
2 |
|
|||||||||||
его фокусами, а длина большой оси равна 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||
10. Найти |
расстояние от левого |
фокуса |
эллипса |
x |
|
y |
1 |
до |
центра |
|||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
25 16 |
|
|
|
|
|
|||||
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
окружности |
x y 4x8y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Найти общие точки эллипса 2 2 и окружности, проходящей через x 4y 4
фокусы эллипса и имеющей центр в его «верхней» вершине.
12. Написать уравнение окружности, центр которой находится в правом
|
2 |
2 |
|
|||
фокусе эллипса |
x |
|
y |
|
1, а радиус окружности равен расстоянию между |
|
|
|
|
||||
|
25 16 |
фокусами этого эллипса.
13. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
56
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|||
1) |
y |
16x ; |
||
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|||
4) |
x |
49y . |
||
|
7 |
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||
2) |
y |
9 x ; |
3) |
x |
9 y ; |
||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
Кривые построить.
14. Построить кривые:
|
2 |
2 |
15 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
1) |
x 5y |
9x 25y |
1 |
x 25y |
25 |
|||||
|
|
; 2) |
|
|
; 3) |
|
|
|
; |
Гипербола
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разно-
сти расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости,
называемых фокусами, есть величина постоянная меньшая, чем расстояние между фокуса
Обозначим фокусы через F1 и F2 , расстояние между ними через 2с, а мо-
дуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов – через 2 a .
По определению 2a 2c, т.е. a c.
Для вывода уравнения гиперболы выберем систему координат Oxy так,
чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox , а начало координат совпадало с сере-
диной отрезка F1 F2 (см. рис. 5) . Тогда фокусы будут иметь следующие коор-
динаты: F1 ( c, 0) и F2 (c, 0).
|
|
y |
M (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F1 ( c,0) |
0 |
F2 (c,0) |
x |
Рис. 5 |
||
|
|
|
|
|||
Пусть M - произвольная точка гиперболы. |
Тогда, согласно определению |
|||||
|
|
|
|
|
||
гиперболы, |
MF1 MF2 |
2a или |
MF1 MF2 |
2a, |
т.е. |
57
(x с)2 y 2 (x с)2 y 2 2a.
После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, полу-
чим каноническое уравнение гиперболы
|
|
x 2 |
|
y |
2 |
1, |
(7) |
|
|
|
a 2 |
b |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
где |
b2 |
с2 |
|
а2 . |
(8) |
Установим форму гиперболы, пользуясь его каноническим уравнением.
1. Уравнение (7) содержит x и y только в четных степенях, следовательно ги-
пербола симметрична относительно осей Ox и Oy , а также относительно точки
O(0, 0) , которую называют центром гиперболы.
2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив |
y 0 в |
|||
уравнении (7), находим две точки A1 ( a, o) |
и A2 (a, o) , в которых ось Ox |
пересе- |
||
кает гипербола. Положив в уравнении (7) |
x 0 , получаем |
y 2 b2 , |
чего быть |
|
не может. Следовательно, гипербола ось Oy не пересекает. |
|
|
|
|
Точки A1 и A2 называются вершинами гиперболы, а отрезок A1 A2 |
2a - дей- |
|||
ствительной осью, отрезок OA1 OA2 a |
- действительной полуосью гипер- |
|||
болы. |
|
|
|
|
Отрезок B1 B2 2b,соединяющий точки B1 ( b,o) и B2 (b, o) |
называется мнимой |
осью, число b - мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2a и 2b назы-
вается основным прямоугольником гиперболы.
3. Из уравнения (7) следует, что |
x 2 |
1 |
или |
|
x |
|
a. Следовательно, точки гипер- |
|
|
|
|||||||
a 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
болы расположены справа от прямой x a (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой x a (левая ветвь гиперболы).
58
4. В уравнении (7) гиперболы видно, что когда x возрастает, то и y возраста-
ет. Это следует из того, что разность
равное единице.
x 2 |
|
y 2 |
сохраняет постоянное значение, |
|
a 2 |
b 2 |
|||
|
|
Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рис. 6.
|
|
|
y |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
0 |
A2 |
|
|
F |
F |
|||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x Рис. 6
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
Прямые y |
x и |
y |
x являются асимптотами гиперболы. |
|||||
|
|
|||||||
|
a |
|
a |
При построении гиперболы целесообразно сначала построить основной прямо-
угольник гиперболы (см. рис. 7), провести прямые, проходящие через противо-
положные вершины этого прямоугольника, - асимптоты гиперболы и отметить вершины A1 и A2 гиперболы.
y
A1 0 |
A2 |
x |
Рис. 7 |
|
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фоку-
сами к величине действительной оси гиперболы, обозначается :
59
|
c |
, |
(9) |
|
a |
||||
|
|
|
Причем 1, так как с a. Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник.
Кривая, определяемая уравнением |
y 2 |
|
x 2 |
1, |
также есть гипербола, |
|
b2 |
a 2 |
|||||
|
|
|
|
|||
действительная ось 2b которой расположена на оси Oy, |
а мнимая ось 2a - на |
y
b
-a |
0 |
a |
x |
|
-b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8 |
||
оси Ox (см. рис. 8). |
Фокусы такой гиперболы находятся в точках F1 (0, c) и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формуле |
c |
. |
||||||||||
F (0, c) , где |
c |
|
|
b2 |
a2 . |
Эксцентриситет |
вычисляется |
по |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Асимптоты остаются те же. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Вырождения» гиперболы: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x2 |
|
|
y 2 |
|
|
|
x |
|
y x |
|
y |
x |
|
y |
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 отсюда |
|
|
|
0 |
и |
|
|
|
0 |
|||||
|
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
b a |
|
b |
a b |
|
|
a b |
|
|
|
|||||||||||||||
или |
|
y |
b |
x |
и |
y |
b |
x |
– пара пересекающихся прямых. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|