9388

M = lim		n	γ(x , y , z )	V .
d	→ 0	∑	i i i	i
n		i=1
52.2. Определение тройного интеграла. Чтобы ввести
математическое понятие тройного			интеграла	функции f (x, y, z) по

пространственной области Ω , будем сохранять способ рассуждений,

использовавшийся	для	вычисления	массы	пространственного
материального тела.
Пусть в замкнутой пространственной области Ω определена функция
f (x, y, z) . Разобьем область		Ω на n	частей Ω1, Ω2, … ,Ωn . В каждой
подобласти Ωi выберем точку Pi(xi, yi, zi)			и сформируем так называемую
интегральную сумму

n

In = ∑ f (xi, yi , zi ) Vi ,

i=1

где f (xi, yi, zi ) – значение функции в точке Pi(xi, yi, zi) , а Vi – объём подобласти Ωi . Естественно, In зависит не только от n , но и от того,

каким образом делится Ω на подобласти, и от того, какие точки Pi выбираются внутри Ωi .

Рассмотрим произвольную последовательность интегральных сумм, составленных для функции f (x, y, z) в области Ω при различных способах

разбиения Ω на части. Будем предполагать, что диаметр разбиения dn

стремится к нулю при n → ∞ . Если существует предел интегральных сумм In при диаметре разбиения, стремящемся к нулю, и этот предел не зависит

ни от способов разбиения области Ω на подобласти Ω1, Ω2, … ,Ωn , ни от

способа выбора точек P	в каждой подобласти	Ω	, то он называется
i		i

тройным интегралом функции f (x, y, z) по области Ω и обозначается

∫∫∫ f ( x , y , z )d V .

Ω

Функция f (x, y, z) в этом случае называется интегрируемой в области Ω

;область Ω называется областью интегрирования.

Используя независимость предела интегральных сумм для интегрируемой функции от способа разбиения исходной области на части,

разобьём область Ω на	подобласти	плоскостями, параллельными
координатным плоскостям	( x = const ,	y = const и z = const ). Три пары

параллельных между собой плоскостей ограничивают область Ωi , представляющую собой параллелепипед (рис. 52.1), объём которого

82

выражается через приращения координат Vi						=		xi yi zi , и интегральная
сумма приобретает вид
			n					zi ,
			In = ∑ f (xi , yi , zi ) xi			yi
			i=1

Рис. 52.1

а тройной интеграл в декартовых координатах обозначается следующим образом:

∫∫∫ f ( x, y , z )d x d yd z .

Ω

В этом случае d V = d xd y d z называют элементом объёма.

Достаточным условием существования тройного интеграла от функции f (x, y, z) по замкнутой пространственной области Ω ,

ограниченной кусочно-гладкими поверхностями, является непрерывность функции f (x, y, z) в области Ω .

Сравнивая рассуждения, проведенные при нахождении массы пространственного тела, со способом введения тройного интеграла, приходим к выводу, что

M = ∫∫∫ g(x, y, z)dV .

G

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла. Следует обратить внимание на случай, когда в качестве подынтегральной функции выступает функция, тождественно равная

n

единице ( f (x, y, z) ≡1) . Составляя интегральную сумму In = ∑1×DVi =V ,

i=1

видим, что она равна объёму области интегрирования. Таким же, естественно, оказывается и предел интегральных сумм. Тем самым, получаем способ вычисления объёма пространственной области Ω с помощью тройного интеграла

83

∫∫ ∫ d x d y d z = V .

Ω

Заметим, что определения всех определённых интегралов (начиная с обычного определённого интеграла по отрезку и завершая тройным интегралом) аналогичны. Они могут быть сформулированы единым образом. Вместо длины, площади или объёма фигурирует обобщённое понятие «мера множества». На этом же языке можно записать общие свойства всех определённых интегралов.

52.3. Вычисление тройного интеграла в прямоугольных декартовых координатах. Вычисление тройного интеграла, как и двойного, сводится к последовательному интегрированию функций одной переменной (теперь уже трижды). Для этого удобно представить тройной интеграл в виде комбинации обычного определённого интеграла по отрезку и двойного интеграла. Двойной интеграл, в свою очередь, заменяется повторным уже известным способом.

Снова нужно начинать с точного описания области, по которой ведётся интегрирование. Пусть Ω – некоторая область в пространстве. Через D обозначим ее проекцию на плоскость xOу. Рассмотрим

произвольную точку P(x, y, z) из области Ω . Через K (x, y) обозначим проекцию этой точки на плоскость xOу. Будем говорить, что область Ω правильна в направлении оси Oz , если существуют две непрерывные в

области D функции z1(x, y) и z2 (x, y)		такие, что z1(x, y) ≤ z2 (x, y) для
точек	K(x, y) D , и в области	Ω выполняются условия

z1(x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y) .

Другими словами, правильная в направлении Oz пространственная

область Ω ограничена снизу поверхностью	z = z1(x, y) ,	а сверху –
поверхностью z = z2 (x, y) (рис. 52.2). Область	Ω может,	кроме того,

быть ограниченной цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz . Её характерная особенность заключается в том, что каждая прямая, параллельная оси Oz и проходящая через внутреннюю точку области D , пересекает границу области Ω ровно в двух точках.

В области D возьмём малый элемент площадью , и далее вертикальной цилиндрической поверхностью, проходящей через его

границу,					вырежем в теле			Ω	«столбик». Зафиксируем точку
							и на высоте	из столбика выделим горизонтальными

плоскостями цилиндр –« шайбу» высотой . Получился элемент объема

, с массой . Для того чтобы найти массу столбика, нужно «просуммировать» все такие элементы. Предполагается, что в силу

малости		плотность				изменяется только с изменением
высоты, поэтому масса столбика равна

84

Здесь интегрирование ведётся от точки входа на поверхности

до точки выхода поверхности

. При этом интегрировании

и

и элемент

постоянны.

Рис. 52.2

Для того чтобы вычислить массу всего тела Ω , нужно «просуммировать» массы всех «столбиков», подобных рассмотренному выше. Таким образом,

Это приводит нас к формуле вычисления тройного интеграла

∫∫∫ f (x, y,z) dxdydz =∫∫ dxdy		z2 (x,y)	(52.2)
		∫ f (x, y,z)dz .
Ω	D	z1(x,y)

Для нахождения полученного интеграла сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z в предположении, что x и y –

постоянные величины. Затем вычисляется внешний двойной интеграл по области D .

85

Например,	если область		D является правильной в направлении оси
Oy и для её точек выполняются условия				a ≤ x ≤ b,				ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) , то
формулу (52.2) можно продолжить
		z2(x, y)	f (x, y, z)dz =b∫ dx	ϕ (x)	z (x,y)
	∫∫ dxdy	∫		2		2	∫	f (x, y, z) dz .
				∫	dy
	D	z (x, y)	a	ϕ1(x)		z1(x, y)
		1
В случае	f (x, y, z) ≡1 этот способ можно применить для вычисления
объемов пространственных областей
			z2 ( x, y)			z
							( x, y) − z ( x, y) dxdy .
V = ∫∫∫1dxdydz = ∫∫ dxdy ∫ 1dz = ∫∫						2		1
Ω		D	z1 ( x, y)		D

Последний результат совпадает с формулой вычисления объёма двойным интегралом, полученной ранее.

Заметим, что сходным образом можно ввести понятие

пространственной области,	правильной в направлении оси Ox или оси Oy .
Скажем, правильная в направлении		оси Ox область	должна быть
ограничена поверхностями	x = x1( y, z) ,	x = x2 ( y, z) и	цилиндрической

поверхностью с образующими, параллельными оси Ox . В этом случае в формуле, аналогичной формуле (52.2), внутреннее интегрирование ведётся по переменной x , а двойной интеграл берётся по области, которая является проекцией тела Ω на плоскость yOz .

Рис. 52.3

Другой способ вычисления тройного интеграла удобно использовать для областей, располагающихся в полосе между горизонтальными плоскостями z = a и z = b (рис. 52.3). При этом необходимо определить,

как изменяются в зависимости от переменной z сечения D исходной

Z

86

области плоскостью z = const . В этом случае получаем следующую формулу вычисления тройного интеграла:

b

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫ dz∫∫ f (x, y, z)dxdy .

Ω a Dz

Здесь сначала вычисляется внутренний двойной интеграл по области D , а

Z

затем – определенный интеграл по отрезку, на котором меняется переменная z . Естественно, можно записать аналогичные формулы и для другого выбора осей: когда внешнее интегрирование ведётся по

переменной x или y . Если	f (x, y, z) ≡1, этот метод дает
	b		b
V = ∫∫∫1 d xd yd z = ∫ d z ∫∫ 1 d xd y = ∫ S ( z )d z .
Ω	a	Dz	a

Полученный результат совпадает с упомянутой уже формулой вычисления объёма тела как интеграла от площадей его плоских сечений. Кроме того, он согласуется со знаменитым принципом Кавальери, состоящим в том, что если два тела имеют на любой фиксированной высоте сечения одинаковой площади, то их объёмы равны.

52.4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах. Положение точки в пространстве, как и на плоскости, можно задать не только с помощью декартовых координат (x, y, z) .

Можно рассматривать другую тройку чисел (u,υ, w) , однозначно определяющих точку P(x, y, z) в пространственной области Ω . Связь новых (называемых криволинейными) координат (u,υ, w) с декартовыми

определяется					некоторыми				функциями
								.
			Через каждую точку P области Ω проходит по одной поверхности
семейства u = const ,					семейства υ= const				и семейства w = const ,

которые называют координатными поверхностями (рис. 52.4). Линию пересечения двух координатных поверхностей называют координатной линией. Они покрывают область Ω координатной сеткой, как правило, криволинейной (что и объясняет название «криволинейные координаты»). Напомним, что координатные поверхности для декартовых координат представляют собой плоскости x = const , y = const и z = const .

87

	Рис. 52.4
Основными криволинейными	координатами, используемыми в

пространстве, являются так называемые цилиндрические и сферические координаты. Чтобы ввести цилиндрические координаты в трехмерном пространстве, рассмотрим плоскость α и перпендикулярную ей ось L .

На плоскости α введем полярную систему координат (r,ϕ) с полюсом в точке O , являющейся пересечением оси L с плоскостью.

Рис. 52.5

Тогда цилиндрические координаты (r,ϕ, h) точки P будут

представлять собой полярные координаты (r,ϕ )	проекции P′ точки P
на плоскость α и координату h точки P′′	на оси L (рис. 52.5).

Координатная поверхность r = const является круговым цилиндром, что и объясняет название координат. Если ввести декартову систему координат, совместив ось Ox с полярной осью, а плоскость α – с плоскостью xOу

(рис. 52.5), то связь между декартовыми и цилиндрическими координатами запишется очевидным образом

x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = h .

(52.3)

88

имеет вид,

ϕ = const

Oz ),

h = const

Рис. 52.6

Цилиндрические координаты используют при рассмотрении тел вращения (круговые цилиндр, конус и т.д.), причем ось L располагают по оси вращения. Например, записанные в цилиндрических координатах уравнения h = k ϕ, r = R = const задают в пространстве винтовую линию

с шагом 2πk (рис. 52.6).

При рассмотрении записи тройного интеграла в декартовых координатах исходная пространственная область Ω разбивалась на элементарные подобласти Ωi плоскостями, параллельными координатным

плоскостям ( x = const , y = const и z = const ). Области Ωi при этом

представляли собой параллелепипеды. Чтобы найти элементы объёма в цилиндрических координатах, проводим поверхности семейств r = const (как мы уже отмечали, это круговые цилиндры, их осью вращения является ось (плоскости, параллельные xOу ) и

(полуплоскости, проходящие через ось Oz ). Подобласть Ωi показанный на рисунке 52.7.

ρdϕ dρ

z

	dϕ	dh
		y
ρ		Ω i

O

x

Рис. 52.7

89

Так как объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту, а основанием в данном случае оказывается элемент площади в

полярных	координатах	ds = rdrdϕ ,	то элементарный		объём
dV = rdrd ϕdh . Поэтому		формула перехода в тройном интеграле от
декартовых координат к цилиндрическим приобретает вид
∫∫∫	f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ, h) rdrdϕdh.
Ω		Ω
Кратко можно сказать, что при переходе в тройном интеграле к
цилиндрическим координатам подынтегральная				функция выражается
через переменные r , ϕ и h		по формулам	(52.3),	а выражение	dxdydz
заменяется на произведение		rdrd ϕdh

В качестве примера определим массу M материального полушара Ω радиуса R с центром в начале координат, если плотность γ его вещества в каждой точке (x, y, z) пропорциональна расстоянию от этой точки до основания, т.е. γ(x, y, z) = kz (рис. 52.8). В декартовых координатах верхняя

полусфера задается уравнением z = R2 − x2 − y2 .

Рис. 52.8

Рассмотрим цилиндрические координаты. В них для точек полушара

выполняются условия 0≤r ≤ R, 0 ≤ ϕ≤ 2π,

0 ≤ h ≤

.

R2 − r2

Далее проводим вычисление массы

2π

R

R2 −r2

M = ∫∫∫kzdxdydz = ∫∫∫khr drdϕdh = ∫ dϕ∫ dr

∫ khr dh =

Ω

Ω

0

0

0

2 π

R

kr

2

2

k π R 4

= ∫ d ϕ ∫

( R

− r

) d r =

.

2

4

0

0

90

Лекция 53. Тройной интеграл в сферических координатах. Приложения к механике

53.1. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.

Чтобы ввести сферические координаты в трёхмерном пространстве,

рассмотрим снова плоскость α и перпендикулярную				ей ось	L . На
плоскости α введём ось l . Тогда сферические координаты (ρ, ϕ, θ)					точки
P будут представлять собой соответственно её расстояние ρ от начала
координат (длина радиус– вектора точки	P ),	угол	ϕ между проекцией
OP ′ радиус-вектора точки P на плоскость α и осью l , а				также угол θ
между радиус-вектором OP и осью	L	(рис.	53.1).	Координатная

поверхность ρ = const является сферой, что объясняет название координат. Для описания всех точек в пространстве достаточно следующих

промежутков изменения координат: 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ < 2π . Введём декартову систему координат, совместив ось Ox с осью l , а

плоскость xOу декартовой системы – с плоскостью α (рис. 53.1). Декартовы координаты точки P обозначим (x, y, z) , тогда координаты её проекции P′ на плоскость xOу приобретут значения (x, y, 0) . Поскольку расстояние r = OP′ и угол ϕ являются полярными координатами точки

P′ , то x = r cos ϕ , y = r sin ϕ.

Рис. 53.1

Учитывая, что OP′ = ρsinθ и z = ρcosθ, получим связь сферических и декартовых координат в виде

	x = ρsin θcos ϕ
	y = ρsin θsin ϕ	(53.1)
	z = ρcosθ
	91