9429
.pdfГипербола
Множество всех точек M плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, называется гиперболой. Указанная разность берётся по
абсолютному значению и обозначается 2a . Точки F1 |
и F2 |
|||||||||||||
называются |
фокусами |
гиперболы. |
Как |
и ранее, |
2c F1F2 |
- |
||||||||
расстояние между фокусами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, если точка M гиперболы находится ближе к |
||||||||||||||
фокусу F2 , выполняется равенство |
F1M F2 M 2a , |
а если |
M |
|||||||||||
находится |
ближе |
|
к |
фокусу |
|
F1 , |
то |
F2 M F1M 2a . |
Из |
|||||
рассмотрения суммы сторон треугольника MF1F2 видим, что |
||||||||||||||
MF1 MF2 F1F2 . |
|
Поэтому |
MF1 |
MF2 F1F2 . |
В |
|
наших |
|||||||
обозначениях получаем |
2a 2c , или a c . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для получения уравнения вводим систему координат так, |
||||||||||||||
чтобы фокусы F1 |
и F2 |
лежали на оси Ox , а начало координат |
||||||||||||
совпадало с серединой отрезка |
F1F2 |
(рис. 5.2). В этой системе |
||||||||||||
координаты |
произвольной точки M обозначим |
x |
и |
y , |
а |
|||||||||
координаты фокусов будут соответственно: F1 c;0 , |
F2 c;0 . |
|||||||||||||
Заменив расстояние F1M и F2 M между точками их выражениями |
||||||||||||||
через координаты, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x c 2 y2 |
x c 2 y2 2a . |
|
|
|
|
Это уравнение, как и для эллипса, приводится для удобства к другому виду. Перенесём второй радикал в правую часть и возведём в квадрат обе части уравнения
x c 2 y2 4a2 4a x c 2 y2 x c 2 y2 ,
раскроем скобки и после сокращения получим xc a2 a x c 2 y2 .
50
Снова возводим в квадрат и сокращаем подобные слагаемые:
c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2 .
Учитывая, что, в отличие от |
эллипса, для гиперболы a c , |
|
можно ввести |
b2 c2 a2 . |
Тогда уравнение примет вид |
b2 x2 a2 y2 a2b2 |
или |
|
|
x2 |
|
y2 |
1. |
(5.3) |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
|
|
||
Это уравнение называется каноническим уравнением |
|||||
гиперболы. Так как уравнение (5.3) содержит |
x и y только в |
чётных степенях, то гипербола симметрична относительно осей Ox и Oy , а также относительно начала координат. Оси симметрии гиперболы называются её осями, а точка пересечения осей – центром гиперболы.
Положив y 0 в уравнении (5.3), найдём две точки пересечения гиперболы с осью Ox : A1 a;0 , A2 a;0 , которые называются вершинами гиперболы. Если взять x 0 в уравнении (5.3), то получим y2 b2 . Следовательно, с осью Oy гипербола не пересекается.
Отрезок A1 A2 2a принято называть действительной осью гиперболы (а отрезок ОA1 a – действительной полуосью);
отрезок B1B2 2b , соединяющий точки B1 0; b и B2 0;b ,
называется мнимой осью ( ОB1 b – мнимой полуосью).
Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником гиперболы (рис. 5.2).
Из уравнения (5.3) следует, что если x a , то y не имеет действительных значений, то есть, нет точек гиперболы с
абсциссами a x a . Должно выполняться условие x2 1 или a2
51
x a . Это означает, что гипербола состоит из двух частей: её точки расположены справа от прямой x a , образуя правую ветвь, и слева от прямой x a , образуя левую ветвь. Наконец,
из уравнения (5.3) видно, что с возрастанием x возрастает и y ,
так как разность |
x2 |
|
y2 |
сохраняет постоянное значение. Тем |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
самым приходим к заключению: если y 0 , то точка M x, y при возрастании x , начиная от x a , движется всё время «вправо» и «вверх»; если y 0 , то M x, y движется «вправо» и «вниз». Так образуется неограниченная правая ветвь. При x от значения x a получается левая неограниченная ветвь гиперболы (рис. 5.2).
Рис. 5.2
Присмотримся внимательнее к тому, как точка M «уходит в бесконечность». В математическом анализе используется понятие асимптотического приближения какой-либо кривой Г к прямой l , называемой асимптотой этой кривой. Это понятие вводится, если возможно неограниченное удаление точки M по бесконечной ветви линии Г , при котором расстояние от точки
52
данной кривой до этой прямой стремится к нулю. Для |
обеих |
|||
ветвей гиперболы при x и |
x наклонными |
|||
асимптотами являются прямые y |
b |
x . |
|
|
|
|
|
||
|
a |
|
|
Итак, построение гиперболы по каноническому уравнению (5.3) следует начинать с изображения основного прямоугольника, продолжая диагонали которого мы получим асимптоты. Обе бесконечные ветви рисуем неограниченно приближающимися к
ним (рис. 5.2). Фокусы находятся на расстоянии c |
|
a2 b2 |
|
от |
|
начала координат. |
|
|
|
|
|
Гипербола с |
равными полуосями a b |
называется |
|||
равносторонней, |
её каноническое уравнение |
имеет |
вид |
x2 y2 a2 . Основной прямоугольник равносторонней гиперболы
становится |
квадратом; |
прямые y x и |
y x являются |
асимптотами, перпендикулярными друг к другу. |
|||
Отношение расстояния между фокусами к расстоянию между |
|||
вершинами |
гиперболы |
называется |
эксцентриситетом |
гиперболы и обозначается буквой : |
c |
. Для гиперболы 1, |
|||||||||||||||||||||||||
a |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
c2 |
|
a2 b2 |
b 2 |
|||||||
так |
как |
|
c a . |
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, то |
||||||||||||
|
|
a |
2 |
a |
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
b 2 |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
, |
|
|
|
. Следовательно, как и для эллипса, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эксцентриситет гиперболы определяется отношением её осей. Он характеризует форму основного прямоугольника гиперболы. Чем
b
меньше эксцентриситет, тем меньше отношение a , то есть
основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной оси. Для равносторонней гиперболы 2 .
53
Парабола
Множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки F (фокуса) и данной прямой L (директрисы), называется параболой. Расстояние от фокуса до директрисы параболы принято обозначать через p (рис. 5.3). Величину p называют
фокальным параметром параболы.
Для получения уравнения параболы необходимо ввести систему координат на плоскости. Проведём ось абсцисс через фокус параболы перпендикулярно директрисе, будем считать её направленной от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис. 5.3).
Тогда координаты фокуса |
F |
p |
;0 |
|
, а уравнение директрисы в |
|||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
этой системе координат имеет вид |
x |
p |
. |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
Рис. 5.3
Координаты произвольной точки M параболы обозначим x
|
|
|
|
p 2 |
|
|
2 |
|
|
||
и y , |
запишем расстояние |
MF |
x |
|
|
|
y |
|
. |
Расстояние от |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
точки |
M до директрисы |
равно |
MQ , |
где |
Q |
|
– основание |
перпендикуляра, опущенного из M на директрису. Поскольку Q
54
|
p |
|
|
|
|
то MQ x |
p |
|
|
|
|
||||||||
имеет координаты |
|
|
; y |
, |
|
|
. Тогда для параболы |
||||||||||||
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
2 |
|
|
|
|
p |
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
x |
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Возведём обе части полученного равенства в квадрат |
|||||||||||||||||||
x2 px |
p2 |
|
y2 x2 |
px |
p2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||
и запишем каноническое уравнение параболы |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y2 2 px . |
|
|
|
|
|
(5.4) |
||||||||
Как для эллипса |
и |
|
гиперболы, |
уравнение параболы тоже |
является частным случаем уравнения второго порядка. Оно получается из (5.1) при A B D F 0.
Уравнение (5.4) содержит переменную y только в чётной степени, что доказывает симметрию параболы относительно оси Ox . Так как p 0 , то переменная x должна быть неотрицательной. Это означает, что парабола расположена справа
от оси |
Oy . |
Если |
x 0 , |
получаем |
y 0 . |
|
При |
возрастании |
x |
|
возрастает и |
y (причём, если x , то |
y ). Построив в |
||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
первой |
четверти |
график |
функции |
|
2 px |
и отразив |
его |
симметрично относительно оси Ox , получим геометрическое изображение параболы (рис. 5.3). Ось симметрии параболы (в данном случае совпадающая с осью Ox ) называется её осью. Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется её вершиной (в нашем случае вершина совпадает с началом координат).
|
Для описания геометрического смысла фокального параметра |
p |
можно взять какое-либо значение абсциссы, например, x 1. |
Из |
уравнения (5.4) найдём соответствующие ему значения |
|
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ординаты: |
y 2 p . |
Это |
даёт |
на параболе |
две точки |
|||||||
M1 1; |
|
|
и M2 1; |
|
, |
|
||||||
2 p |
|
|||||||||||
2 p |
расстояние между которыми равно |
|||||||||||
|
|
|
p , тем больше расстояние |
|||||||||
2 2 p . Тем самым, чем больше |
||||||||||||
M1M 2 . Следовательно, |
параметр |
p характеризует |
«ширину» |
|||||||||
области, ограниченной параболой. |
|
|
Кроме рассмотренных классических кривых, уравнение линии второго порядка может привести ещё к нескольким геометрическим случаям, называемым вырожденными.
|
Вырожденные случаи |
Если в уравнении линии второго порядка (5.1) |
|
коэффициенты |
B D E F 0 , то остаётся только два |
слагаемых, т.е. |
Ax2 Cy2 0 . При одинаковых знаках A и C |
уравнению соответствует на плоскости одна точка – начало
координат. При разных знаках |
A и |
C – |
пара пересекающихся |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямых |
y |
|
|
|
A |
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|||
Если в уравнении (5.1) остаются ненулевыми два других |
|||||||||||||
слагаемых, например, оно имеет вид |
Cy2 F 0 , то возможны |
||||||||||||
две ситуации: |
при одинаковых знаках коэффициентов C |
и |
F |
||||||||||
решений |
нет, |
а |
при разных знаках |
C |
и F |
получаются |
две |
||||||
параллельные прямые. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если из уравнения (5.1) остаётся одно слагаемое Cy2 0 или |
|||||||||||||
Ax2 0, |
то |
на |
|
плоскости |
получается |
одна |
прямая. |
Если |
|||||
B D E 0 |
и |
в уравнении |
Ax2 Cy2 F 0 |
коэффициенты |
A 0,С 0, F 0, то опять ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости.
56
§6. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду
Мы рассмотрели все геометрические ситуации, к которым может привести общее уравнение линии второго порядка (5.1). В задачах аналитической геометрии обычно задаётся вид уравнения второго порядка с конкретными числовыми коэффициентами. В нём могут присутствовать произведение
координат x и y |
(т.е. B 0 ) или переменные x и y без |
квадратов ( D 0 или |
Е 0 ). Это будет означать, что в исходной |
системе координат уравнение не является каноническим. Нужно перейти к другой системе координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид. Это даст возможность определить, к какому из рассмотренных случаев относится заданное уравнение. После этого легко будет построить график заданной кривой.
Для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду используются только те преобразования системы координат, которые не изменяют расстояния между точками, то есть не деформируют кривую. К таким преобразованиям, в частности, относятся параллельный перенос и поворот осей координат. Разберём далее, что происходит с уравнениями при параллельном переносе координат.
Параллельный перенос осей координат
Рассмотрим на плоскости прямоугольную декартову систему координат xOy . Выберем начало вспомогательной системы координат в точке Oў(x0 ; y0 ). Оси Oўxў и Oўyў расположим
параллельно соответствующим осям Ox и Oy , одинаково с ними направив. Масштаб сохраняем. Такой переход от системы xOy к системе Oўxўyў называется параллельным переносом осей координат.
57
y |
y |
|
|
|
M |
y |
|
|
|
O |
|
y |
|
|
x |
||
|
x |
|
O |
x |
y |
|
|
|
|
|
Рис. 6.1 |
|
|
|
|
|
||||
Для |
произвольной точки M |
|
координаты относительно |
|||||||||
исходных |
осей обозначим |
через |
|
x; y |
), |
|
а координаты по |
|||||
( |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ў |
ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ; y |
). Поскольку имеет |
|||
отношению к «новым» осям обозначим ( |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ў |
|
ў |
|
|||
место векторное равенство OM = OO + O M (рис. 6.1), то можно |
||||||||||||
записать в координатах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п x = xў+ x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
п |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
н |
ў |
|
|
|
|
|
|
(6.1) |
|||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
опy = y + y0 |
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (6.1) позволяют находить исходные координаты (x; y)
по известным (xў; yў) при параллельном переносе. «Новые» координаты выражаются через исходные следующим образом:
о |
0 |
м |
x0 |
|
п xў= x - |
|
|
п |
|
|
н |
y , |
(6.2) |
пyў= y - |
||
п |
|
|
Пример. Какой вид приобретёт уравнение прямой y = 3x - 1 в новой системе координат, если совершается параллельный перенос осей координат к новому началу Oў(1;2)?
58
|
м |
|
Решение. Используя (6.1) в виде |
пп x = xў+ 1 |
, получим |
н |
||
|
ппy = yў+ 2 |
|
|
о |
|
yў+ 2 = 3(xў+ 1)- 1 или yў= 3xў. |
|
|
Ответ: yў= 3xў |
|
|
Видим, что после параллельного переноса уравнение может упроститься (а может и усложниться). Важно правильно выбирать новое начало координат.
Пример. Привести к каноническому виду уравнение
(x- 1)2 + (y + 3)2 = 4 . Построить кривую, заданную этим
уравнением.
Решение. Ясно, что полезен параллельный перенос
|
м |
|
|
|
пп xў= x- 1 |
. |
|
|
н |
|
|
|
ппyў= y + 3 |
|
|
|
о |
|
|
2 |
2 |
определяет окружность радиуса 2 с |
|
Уравнение xў |
+ yў = 4 |
центром в начале координат Oў(1;- 3). На рисунке 6.2 отражено
построение, соответствующее такому преобразованию.
Ответ: xў2 + yў2 = 4.
y y
O |
|
x |
|
||
|
|
O
3 |
x |
Рис. 6.2
59