9433
.pdf§ 2. Векторная алгебра
Обобщим некоторые сведения о векторах, известные в основном из школьного курса геометрии.
Закрепленным вектором AB (или AB ) называется
направленный отрезок, у которого выделено начало |
A и конец |
||||
B. Длиной вектора |
|
|
|
|
|
|
AB |
|
называется длина |
отрезка, |
|
|
|
|
|
|
|
изображающего данный вектор.
Два закрепленных вектора называются эквивалентными, если у них совпадают длина и направление. Множество эквивалентных закрепленных векторов называется свободным вектором. Свободные векторы обозначают маленькими буквами латинского алфавита (например, a или со стрелкой a ).
Свободный вектор можно переносить параллельно самому себе, и его началом можно считать любую точку пространства. Тем самым, запись a AB означает, что свободный вектор a откладывается от точки A (рис. 2.1).
B
A
a
Рис. 2.1
В векторной алгебре всегда имеют дело со свободными векторами (далее – просто векторами).
Назовем вектор ортом, если его длина в заданном масштабе равна единице. Для обозначения единичных векторов, или ортов,
чаще используют буквы e , i , j , k e i j 1 .
Нуль-вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Он имеет нулевую длину, то есть 0 0 .
10
Линейные операции над векторами
Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножение вектора на число.
Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c a b , начало которого совпадает с началом вектора a , а конец
– с концом вектора b , если конец вектора a и начало вектора b совмещаются (рис. 2.2).
b
a |
a b |
Рис. 2.2
Противоположным вектору a называется такой векторa , который при сложении с вектором a дает нуль-вектор, то есть a a 0 .
Заметим, что разностью векторов a и b является сумма вектора a и вектора b , противоположного вектору b , то есть a b a b .
Произведением вектора a на число называется такой вектор a , направление которого совпадает с вектором a , если0 и противоположно направлению вектора a , если 0; длина же вектора a равна произведению на длину вектора a :
a a .
Пусть дан вектор a (рис. 2.3). Изобразим для примера векторы b 2a и c 3a :
11
b 2a
a
|
|
|
|
|
c 3a |
Рис. 2.3 |
Свойства линейных операций над векторами
1.a b c a b c
2.a b b a
3.a 0 a
4.a a 0
5.a a
6.a b a b
7.a a a
8.1 a a , где , , , – действительные числа.
Действия над векторами в координатной форме
Три единичных взаимно перпендикулярных вектора i , j , k пространства называются базисными векторами или
декартовым базисом пространства. Любой вектор a
пространства может быть единственным образом разложен по
векторам базиса i , j , k (рис. 2.4):
a a1 i a2 j a3 k .
12
Коэффициенты a1 , a2 , a3 разложения вектора по базису называются его координатами. Коротко это записывают равенством a a1 , a2 , a3 .
a3
a a
i
Если два вектора1 и b координатами a a1 , a2 , a3
a
k
j a2
в декартовом базисе заданы своими
и b b1 ,b2 ,b3 , то |
Рис.2.4 |
|
1)a a1 , a2 , a3 ;
2)a b a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 .
Пример. Найти координаты вектора c 2a b , если a 1; 2;3 , b 1;0;1 .
Решение:
2a 2 1; 2 2; 2 3 2; 4;6 .
c 2a b 2; 4;6 1;0;1 2 1 ; 4 0;6 1 1; 4;7 .
Ответ: c 1; 4;7 .
Прямоугольной декартовой системой координат в
пространстве называется совокупность точки O и базиса i, j, k . Точка O называется началом координат, оси Ox , Oy и Oz , проходящие через начало координат в направлении базисных векторов i , j и k называются осями координат. Плоскости xOy ,
13
xOz и yOz , проходящие через каждую пару осей координат, называются координатными плоскостями.
Вектор OM , соединяющий начало координат и произвольную точку M пространства, называется радиусвектором точки M . Координаты радиус-вектора OM называются координатами точки M в прямоугольной декартовой системе координат. Тем самым, обозначение координат точки M x; y; z
соответствует равенству OM x; y; z , то есть координатами точки M являются проекции вектора OM на оси Ox , Oy и Oz соответственно (рис. 2.5)
|
|
z |
|
|
|
|
M |
|
|
O |
|
|
B |
y |
|
|
|
||
|
|
|
A |
|
x |
||
Длина вектора OM находится |
из двух прямоугольныхРис. 2.5 |
||
треугольников OBA и OAM : |
|
||
OA2 OB 2 AB 2 x2 y2 ; |
|
OM OA2 AM 2 x2 y2 z2 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти |
a |
, если a i 2 j 2k . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
|
|
то длина |
вектора |
||||||||||||||||
|
|
|
Решение. |
|
|
a |
1; 2; 2 , |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
12 2 2 22 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Ответ: |
a |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Если для |
вектора |
AB |
известны |
координаты |
его |
начала |
|||||||||||||||||||
A x1; y1; z1 |
и |
конца |
B x2; y2; z2 , |
то |
можно |
найти его |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координаты, |
учитывая, |
что |
|
|
AB OB OA : |
|||||||
|
|
x2 x1; y2 y1; z2 z1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Пример. Найти координаты вектора |
AB , если A(1;2;3) , |
|||||||||
|
B( 1;0;1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
AB 1 1;0 2;1 3 2; 2; 2 .
Ответ: AB 2; 2; 2 .
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением a b двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин этих
векторов на косинус угла между ними: a b a b cos(a b) .
Свойства скалярного произведения
1)a b b a ;
2)a b a b , R;
3)a b c a b a c;
4)a a a 2 или
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a a . |
(2.1) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример. Найти |
|
длину вектора c a 2b , если |
a |
2 , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b 1, a b 60 .
Решение. По формуле (2.1), находим
c c c a 2b a 2b a 2 4a b 4 b 2
15
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 4 2 1 cos60 4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
22 4 |
a |
|
b |
cos a b 4 12 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
8 8 |
|
12 2 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Ответ: |
c |
|
2 |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Если |
два |
вектора a и b |
заданы своими |
координатами |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1;b2 ;b3 , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
a |
a1; a2 ; a3 и |
|
|
|
|
b |
то их |
скалярное |
произведение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
находим по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b a1 b1 a2b2 a3b3 . |
|
(2.2) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пример. Найти скалярное |
произведение векторов 2a и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
, если |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
a |
1; 2;3 и |
b |
0; 1;1 . |
|
|
|
|
|
Решение. Координаты векторов 2a и 3b
2a 2 1; 2;3 2 1; 2 2; 2 3 2; 4;6 ;
3b 3 0; 1;1 3 0; 3 1 ; 3 1 0;3; 3 .
По формуле (2.2) искомое скалярное произведение равно
2a 3b 2 0 4 3 6 3 0 12 18 6.
Ответ: 6.
Некоторые приложения скалярного произведения
1. Угол между двумя ненулевыми векторами a a1; a2 ; a3 и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
b |
b1;b2 ;b3 из определения |
|
|
скалярного произведения |
||||||||||||||||||||||||||
вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(a b) arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
a |
|
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
a1b1 a2b2 |
a3b3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
(a b) arccos |
|
|
|
|
|
(2.3) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
a2 |
a2 |
a2 |
|
b2 |
b2 |
b2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти угол между векторами a i 2 j 2k и b j k .
Решение. Координаты векторов a и b : a 1; 2; 2 и b 0; 1;1 .
Тогда по формуле (2.3), угол между векторами a и b равен:
|
|
1 0 2 1 |
2 1 |
arccos 0 1 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(a b) arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
12 |
22 22 02 1 2 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
arccos 0 , следовательно, |
(a b) 90 , то есть a b. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Ответ: 90 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2. Проекция вектора a на вектор b вычисляется по формуле |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
np |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пример. Найти np |
|
|
b , если |
|
a i k и |
b 2i j . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. Координаты векторов |
a |
1;0; 1 , |
|
|
b |
2;1;0 . |
Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
1 2 0 1 1 |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||
np |
|
|
b |
|
|
|
|
2 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
12 02 1 2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: np a b 2 .
Векторное произведение векторов
Три некомпланарных (непараллельных одной плоскости) вектора a , b и c , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов, если из конца третьего вектора c кратчайший
поворот от первого вектора a ко второму вектору b виден
17
происходящим против хода часовой стрелки (и левую, если по часовой) (рис. 2.6)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
c |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правая |
|
|
|
|
|
|
|
|
левая |
|
|
||||||
|
a b c вектора a |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Векторным произведениемтройка |
на вектор b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тройка |
||||
называется такой вектор c , что |
|
|
|
Рис.2.6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) |
c a , c b ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
c |
|
a |
|
b |
sin a b ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) тройка векторов a , b , и c – правая.
Из определения векторного произведения непосредственно
вытекают следующие соотношения между ортами i , j , и k :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i j k , |
j k i , |
|
|
|
k i j . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поскольку тройки векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
, |
|
и |
|
|
, |
|
, |
|
левые, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
j |
, |
i |
, |
k |
k |
j |
i |
i |
k |
j |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
j i k , |
|
k j i , |
|
i k j . |
|
|
|
|
|
|
|
Свойства векторного произведения
1)a b b a ;
2)c a b c a c b;
3)a b a b a b , R;
4)a b 0 a || b .
Векторное произведение двух векторов a a1; a2 ; a3 и b b1;b2 ;b3 находится по формуле
18
|
|
|
|
|
a2 |
a3 |
|
|
|
a1 |
a3 |
|
|
|
a1 |
a2 |
|
|
. |
|
|
a b |
i |
j |
k |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b2 |
b3 |
|
|
|
|
b1 |
b3 |
|
|
|
b1 |
b2 |
|
|
|
Пример. Найти |
|
векторное |
|
|
произведение векторов |
a 1; 2;3 и b 0;1; 1 .
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a b |
i |
j |
k |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
2 3 i 1 0 j 1 0 k 5i j k .
Ответ: a b 5i j k .
Геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что площадь параллелограмма, построенного на векторах
a и b (рис. 2.7) равна модулю векторного произведения векторов a и b , так как
a b a b sin Sпарал. .
b
a Рис. 2.7
Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах a и b (рис. 2.8) равна половине модуля векторного произведения, построенного на векторах a и b :
S 12 Sпарал. 12 a b .
19