9454
.pdf
|
|
f (x) = p - |
2 |
cos x + cos 3x + cos5x |
+ ... + |
|
|
|||||
|
|
4 |
p |
|
9 |
|
25 |
|
|
|
||
|
|
|
|
+ sin x - 1 sin 2x + 1 sin 3x - 1 sin 4x + ... |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
или в компактной записи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f (x) = p |
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
- 2 ∑ cos (2k -1) x + ∑(-1)n+1 × sin nx . |
|
|||||||||
|
|
|
4 |
p k =1 |
(2k -1)2 |
|
n=1 |
|
n |
|
||
Согласно условиям Дирихле в каждой точке непрерывности функции |
||||||||||||
f (x) этот ряд сходится к функции, |
а в точке разрыва даст значение f (x) |
|||||||||||
равное π 2 = (0 + π) / 2 |
(среднее арифметическое односторонних пределов |
|||||||||||
функции в точке разрыва). На рис. 60.4 представлено приближение к |
||||||||||||
рассматриваемой нами функции – « клюшке» сначала в виде суммы |
||||||||||||
следующих гармоник |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f (x) » p - |
2 cos x + 1 cos3x + |
sin x - 1 sin 2x + 1 sin 3x , |
|||||||||
|
|
4 |
p |
|
9 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
−π |
−π/2 |
0 |
|
π/2 |
π |
3π/2 |
2π |
5π/2 |
3π |
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
−π |
−π/2 |
0 |
|
π/2 |
π |
3π/2 |
2π |
5π/2 |
3π |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 60.4 |
|
|
|
|
|
а потом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) » p - 2 cos x + 1 cos3x + 1 |
cos5x |
+ |
|
|||||||
|
|
|
4 |
|
p |
|
9 |
|
25 |
|
|
|
|
|
+ sin x - 1 sin 2x + 1 sin 3x - 1 sin 4x + 1 sin 5x |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
В промежутке [π, 3π] график функции f (x) специально не построен,
чтобы лучше был виден аппроксимирующий её тригонометрический
многочлен. При x=0 |
получаем числовой ряд |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∞ |
1 |
|
|
= π |
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
∑ |
|
|
|
|
= 1 + |
|
+ |
|
+ ... , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
k =1 (2k −1)2 |
8 |
|
|
9 25 |
|
|
|
|
||||||||
т.е. ряд Фурье «просуммировал» |
|
числовой ряд. Например, при x = π 2 |
|||||||||||||||
получим |
|
|
(−1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
∞ |
|
∞ |
|
(−1)k |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|||||
|
= ∑ |
|
|
= ∑ |
|
|
= 1 − |
|
|
+ |
|
− ... |
|||||
|
2k −1 |
2k + 1 |
|
|
|
||||||||||||
4 |
k =1 |
|
k =0 |
|
|
|
3 5 |
|
60.3. Разложение в ряд Фурье четных функций. Полный ряд Фурье содержит как синусы, так и косинусы. Естественно ожидать, что для чётных или нечётных функций должна пропадать одна из этих составляющих. Наши «надежды» подкрепляются анализом формул для
коэффициентов ряда. Пусть f (x) |
чётная функция, т. е. f (−x) = f (x) . |
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
a = |
1 |
π |
f (x) dx = |
2 |
π |
f (x) dx , |
|
|
|
||||||
0 |
π ∫ |
|
|
π ∫ |
|
||
|
|
− π |
|
0 |
|
что ясно хотя бы из геометрических соображений (см. рис. 60.5).
f (− x) |
f ( x) |
S1 S2
x
-π |
π |
Рис. 60. 5
Действительно, в силу чётности функции f (x) площади фигур, выражаемые интегралами
0 |
π |
S1 = ∫ f (x) dx , |
S2 = ∫ f (x) dx , |
− π |
0 |
π |
2 |
∞ |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
= ∑(−1)n+1 |
= 1 − |
+ |
− |
+ |
− |
+ |
− ... |
(60.5) |
||||||||
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12 |
n=1 |
4 |
9 |
16 25 |
36 |
49 |
|
|
На следующем рисунке представлено приближение функции x2 тремя гармониками
|
2 |
|
|
p2 |
|
1 |
|
1 |
|
x |
|
» y3 |
= |
|
- 4 × cos x - |
|
cos 2x + |
|
cos3x |
|
3 |
4 |
9 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис.60.7
Скажем несколько слов о влиянии свойств функции на характер сходимости её ряда Фурье. Мы уже отмечали, что около точек разрыва функции ряд Фурье сходится медленнее, чем в точках непрерывности. Гладкость функции, т.е. её дифференциальные свойства также улучшают сходимость ряда. Когда мы разложили в ряд «клюшку» (см. рис. 60.3), то в точке её «излома» при x=0 получили
p2 |
=1 + |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ ... + |
1 |
+ ... |
(60.6) |
8 |
|
|
|
(2k -1)2 |
||||||
9 |
25 |
49 |
|
|
|
В этой точке функция непрерывна, но не имеет производной. Подсчитаем число π , взяв одинаковое число членов разложения в рядах (60.5) и (60.6) (пусть п = 7). Во-первых, ряд (60.5) дает возможность оценить ошибку, т.к. он знакочередующийся и ошибка при отбрасывании остатка меньше 1/64 ≈ 0,016. Из ряда (60.6) получаем π ≈ 3,06, а ряд (60.5) дает π ≈ 3,16.
Лекция 61. Ряды Фурье (продолжение)
61.1. Разложение в ряд Фурье нечетных функций. Для нечётных функций ряд Фурье имеет вид:
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
f (x) = ∑bn sin nx , |
||
|
|
|
|
π |
|
n=1 |
|
где |
b |
= |
2 |
f (x) sin nx dx , |
a = 0, n = 0,1,... |
||
|
|||||||
|
n |
|
π ∫ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
Коэффициенты при косинусах обращаются в нули, как интегралы от нечетных функций по промежутку, симметричному относительно начала координат.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1, − π < x < 0, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 0 |
Пример. Разложим в ряд Фурье функцию f (x) = 0, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
0 < x < π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
׀ |
|
|
• |
|
|
׀ |
|
׀ |
׀ |
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
-π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
2π |
3π |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 61. 1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
π sin nx dx = - |
|
|
|
|
|
|
|
π = |
|
|
|
|
|
|
0, |
n - четное |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
b = |
2 |
2 |
|
× |
1 |
cos nx |
2 |
× |
1 |
(1 - cos pn) = |
4 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n |
p |
∫0 |
|
|
|
|
|
p |
|
n |
|
|
0 p n |
|
|
|
|
|
, n - нечетное |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pn |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Итак, |
|
|
f (x) = |
|
∑ |
sin (2k +1)x |
|
|
или |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p k =0 |
|
|
2k +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
− π 4, − π < x < 0, |
|||||||
sin x + |
sin 3x + |
sin 5x + |
sin 7x + ... = |
|
|
x = 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
||||||||||||||||||
3 |
5 |
7 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 4, |
0 < x < π |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следующие рисунки показывают, как происходит «приближение» суммы гармоник по мере увеличения их числа к этой кусочно-постоянной функции.
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0.5 |
|
y =sinx |
|
|
|
0.5 |
y2=y1+(1/3)sin3x |
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
−0.5 |
|
|
|
y=-pi/4 |
|
−0.5 |
|
|
|
|
|
−1 |
−π |
−π/2 |
0 |
π/2 |
π |
−1 |
−π |
−π/2 |
0 |
π/2 |
π |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
0.5 |
y3=y2+(1/5)sin5x |
|
0.5 |
y4=y3+(1/7)sin7x |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
−0.5 |
|
|
−0.5 |
|
|
|
−1 |
−π −π/2 0 |
π/2 π |
−1 |
−π −π/2 0 |
π/2 |
π |
|
|
|||||
|
|
|
Рис. 61.2 |
|
|
|
|
61.2. Разложение произвольной функции только по косинусам или |
|||||
только по синусам. |
Если в промежутке [-π, π] функция |
f (x) |
не обладает |
симметрией, т.е. не является ни чётной, ни нечётной, а нужно получить разложение её в ряд Фурье только по косинусам или только по синусам, то
такое разложение можно получить в промежутке |
[0, π ], а на промежуток |
|
[-π, 0] продолжить её чётным или нечётным образом. |
||
Пример. |
Разложим в ряд Фурье функцию f (x) = x , 0 ≤ x ≤ π . |
|
Продолжим её чётным образом в промежуток |
[-π;0], а затем с |
|
промежутка [-π;π ] на всю ось с периодом Ò = 2π |
(см. рис. 61.3). |
π −
׀ |
O |
|
׀ |
|
2π |
|
|
|
|
x |
|||
−π |
|
π |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Рис.61.3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 π |
|
2 |
|
x2 |
|
π |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вычисляем коэффициенты: a |
= |
|
|
∫ |
x dx = |
|
× |
|
|
|
= p |
||
p |
p |
2 |
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
отрезками ряда в этих точках «хуже». В нашем случае такая «плохая» точка – начало координат, где функция не имеет производной (см. рис. 61.4)
61.3. Разложение в ряд Фурье функции по произвольному промежутку. Предположим, что некоторую функцию f (x) , определенную в промежутке [a, b], мы хотим представить рядом Фурье. Положение и длина промежутка несущественны, т.к. «сдвигом» и «растяжением» с помощью линейного преобразования
|
a + b |
|
b − a |
|
2π |
|
a + b |
|
x = |
|
+ |
|
t ; t = |
|
× x - |
|
|
2 |
2π |
|
|
|||||
|
|
|
b - a |
2 |
Промежуток a ≤ x ≤ b приводится к стандартному промежутку – π ≤ t ≤ π
(см. рис. 61.5).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
−π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 61.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть функция задана в промежутке [- l, l] и имеет период 2l, т.е. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f (x + 2l) = f (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Несложная замена переменной |
x = |
l |
t, |
t = π x «возвращает» нас к |
|||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
l |
|
|
|
||||
стандартному случаю. |
Функция |
f ( x) = f |
l |
t |
как функция переменной |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
T = 2π . |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||
t будет иметь период |
Действительно, |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
f |
l |
(t + 2π) = f |
|
|
l |
|
t + 2l = f ( x + 2l ) = f ( x) = f |
l |
t , |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
т.е., прибавив к аргументу функции число 2π, мы получили то же самое значение функции.
Для функции |
f ( x) = f |
l |
t |
имеем ряд Фурье |
|
π |
|||||
|
|
|
|
f |
l |
t |
|
a0 |
∞ |
|
= |
+ ∑an cos nt + bn sin nt , |
|||||
|
|
|||||
π |
|
2 |
n=1 |
где коэффициенты ряда вычисляются по формулам:
|
= |
1 π |
l |
|
= |
1 π |
l |
|
, n = 0,1, 2,… |
|||||
an |
|
|
f |
|
t cos nt dt , bn |
|
|
f |
|
t sin nt dt |
||||
π −∫π |
π |
π −∫π |
π |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
«Возвратимся» к старой переменной |
x = |
l |
|
t t |
= π x , тогда ряд примет |
||||
π |
|||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|||
вид |
∞ |
|
|
|
|
|
|
||
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
||
f ( õ ) = |
+ ∑a n cosn πx |
+b n sinn πx , |
|||||||
|
|||||||||
2 |
n=1 |
l |
|
|
l |
а коэффициенты после этой несложной замены будут вычисляться по формулам:
a = |
1 |
l |
f ( x)cos n π x dx , |
b = |
1 |
l |
f ( x)sin n π x dx, n = 0,1,… |
|
|
||||||
n |
l −∫l |
l |
n |
l −∫l |
l |
||
|
|
Раздел 12. Элементы теории множеств, математической логики и теории графов
Лекция 62. Элементы теории множеств
62.1 Общие представления о множествах. Обычно, когда вводится какое-либо новое понятие, то оно опирается на известное понятие или известные понятия, частным случаем которого или которых оно является. Например, параллелограмм есть четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны. Окружность есть линия на плоскости, все точки которой удалены от некоторой фиксированной точки на некоторое фиксированное расстояние и т.д.
Понятие множества является первичным и не имеет формального определения. Один из создателей теории множеств Георг Кантор(18451918) сказал: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». Интуитивно под множеством понимается совокупность различных объектов, объединенных по какому-то одному или нескольким признакам.
Нет никаких ограничений на природу объектов, составляющих множество. Так, про окружность можно сказать, что это множество точек,
равноудаленных от фиксированной точки на расстояние радиуса. Можно говорить о множестве студентов в данной аудитории, о множестве букв некоторого алфавита, о множестве целых числа от 1 до 1000, о множестве атомов серебра в данной монете или о множестве всевозможных идей,
которые имело человечество, и т.д. |
|
|
|
|
Множества часто обозначают прописными |
латинскими |
буквами |
||
A, B,C, X ,Y . Объекты, составляющие множество, называются элементами |
||||
множества и |
обычно обозначаются |
строчными |
латинскими |
буквами |
a, b, c, , x, y . |
Тот факт, что объект |
x принадлежит множеству A, |
передается записью x A (читается – « элемент x принадлежит множеству A»). Если x не является элементом A, то пишут x A.
Два множества |
A и |
B считаются равными (записывается A = B), |
|
если они состоят из одних и тех же элементов. Т.е. |
A = B тогда и только |
||
тогда, когда из того, |
что |
x A следует, что x B, |
а из того, что x B |
следует, что x A. |
|
|
|
Существует два основных способа задания множеств: перечисление и описание. При первом способе просто перечисляются все элементы задаваемого множества. Например, множество букв алфавита некоторого языка определяется списком всех его букв, множество студентов в группе определяется студентами, фамилия и имена которых совпадают со списком в журнале посещаемости, множество простых чисел меньших тысячи может быть задано перечислением всех таких чисел и т.д. В дальнейшем будем пользоваться общепринятыми обозначениями множеств:
N – |
множество натуральных чисел, |
|
Z – |
множество целых чисел, |
|
Q – |
множество рациональных чисел, |
|
R – |
множество действительных чисел, |
|
C – |
множество комплексных чисел. |
|
Конечно, |
нельзя ни одно из этих множеств (хотя бы в силу их |
|
бесконечности) |
задать перечислением их элементов. Но опыт работы с |
элементами этих множеств позволяет предполагать, что в каждой конкретной задаче понятно, об элементах каких из перечисленных множеств идет речь.
При втором способе элементы множества задаются при помощи
характеристического свойства, |
устанавливающего, какие |
элементы |
(принадлежащие, как правило, |
некоторому объемлющему |
множеству) |
принадлежат задаваемому множеству. В этом случае в фигурных скобках записывается произвольный элемент множества, а за вертикальной чертой записываются свойства, которыми этот элемент должен обладать:
A = {x P ( x ) }.
Эта запись означает, что A есть множество таких элементов x , которые обладают свойствами P(x) .