9498
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А.С. Аистов, О.И. Ведяйкина, Г.А. Маковкин
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Учебно-методическое пособие по подготовке к практическим и лекционным занятиям по аналитической механике
(включая рекомендации обучающимся по организации самостоятельной работы) для обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 «Строительство»,
направленность (профиль) Промышленное и гражданское строительство
Нижний Новгород
2022
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А.С. Аистов, О.И. Ведяйкина, Г.А. Маковкин
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Учебно-методическое пособие по подготовке к практическим и лекционным занятиям по аналитической механике
(включая рекомендации обучающимся по организации самостоятельной работы) для обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 «Строительство», направленность (профиль) Промышленное и гражданское строительство
Нижний Новгород ННГАСУ
2022
УДК 531.1
Аистов, А. С. Аналитическая механика : учебно-методическое пособие /О. И. Ведяйкина, Г. А. Маковкин; Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2022. – 68 с. : 34 ил. – Текст : электронный.
Даются тематика лекций, их краткое содержание, планы практических занятий, а также методические рекомендации по организации самостоятельной работы обучающихся по дисциплине «Аналитическая механика». Указывается необходимая литература и источники, разъясняется последовательность их изучения, выделяются наиболее сложные вопросы и даются рекомендации по их изучению.
Предназначено обучающимся в ННГАСУ для подготовки к лекциям и практическим занятиям, организации самостоятельной работы по направлению подготовки 08.03.01
Строительство, направленность (профиль) Промышленное и гражданское строительство
© А. С. Аистов, О.И. Ведяйкина, Г.А. Маковкин, 2022
© ННГАСУ, 2022.
3
СОДЕРЖАНИЕ |
|
|
|
Введение. Цели освоения учебной дисциплины |
4 |
|
Предмет и разделы аналитической механики |
5 |
1. |
Аксиомы и задачи динамики |
5 |
2. |
Динамика материальной точки |
7 |
3. |
Теорема о движении центра масс |
9 |
4. |
Теорема об изменении количества движения |
13 |
5. |
Момент инерции тела и механической системы |
17 |
6. |
Теорема об изменении кинетического момента |
24 |
7 |
Мощность и работа |
31 |
8. |
Теорема об изменении кинетической энергии |
42 |
9. |
Потенциальное силовое поле |
46 |
10. |
Аналитические связи и возможные перемещения |
50 |
11. |
Принцип Лагранжа |
56 |
12. |
Принцип д,Аламбера (d,Alembert) |
60 |
|
ЛИТЕРАТУРА |
67 |
4
ВВЕДЕНИЕ. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Целями освоения учебной дисциплины Аналитическая механика являются:
-дать студенту представление о постановке инженерных и технических задач, их формализации, выборе модели изучаемого механического явления;
- привить навыки использования математического аппарата для решения инженерных задач в области механики;
-развить логическое мышление и творческий подход к решению профессиональных задач;
-уметь прилагать полученные знания для решения соответствующих конкретных задач техники;
Обучающийся, освоивший программу дисциплины, должен обладать: -способностью использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и математического (компьютерного) моделирования, теоретического и экспериментального исследования;
-способностью выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь их для решения соответствующий физико-математический аппарат:
В результате изучения учебной дисциплины обучающиеся должны: -уметь поставить и решать задачи о движении и равновесии материальных объектов, конструкций и сооружений.
При самостоятельной работе над Р.Г.Р. необходимо выполнять следующие требования:
˗работа оформляется в файле, сформированном в формате Word;
˗обязательно наличие условий задачи и значений исходных данных;
˗чертежи выполнять либо в графическом редакторе, либо вручную, но с использованием линейки;
˗рисунки, выполненные в графическом редакторе, вставляются в текст через буфер (копировать – вставить):
˗рисунки, выполненные вручную, фотографируются и вставляются в нужное место текста через буфер;
˗формулы, набираются с помощью редактора формул.
5
Предмет и разделы аналитической механики
Аналитическая механика представляет собой дисциплину, содержанием которой является совокупность универсальных математических методов решения задач динамики.
Этот раздел механики можно рассматривать как учение о дифференциальных уравнениях движения произвольных механических систем. Начало такому пониманию было положено Лагранжем в его знаменитой «Аналитической механике».
Тема 1.
Аксиомы и задачи динамики
1.1. ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ.
Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение
механических систем под действием сил.
Динамика является синтезом
статики, которая изучает преобразования систем сил и условия их равновесия, и
кинематики, которая изучает способы математического описания
движения тел.
Задачи, решаемые методами динамики, условно можно разделить на две
группы:
Первая задача динамики (прямая) предполагает, что закон движения механической системы известен, а силы, которые вызывают это движение, необходимо найти.
Вторая задача динамики (обратная) предполагает, что известны силы,
действующие на механическую систему, а найти необходимо закон движения.
|
6 |
|
|
|
Первая задача |
|
|
|
|
||
|
динамики |
|
|
Закон |
|
Действующие на |
|
движения |
|
||
|
механическую |
||
механической |
|
||
|
систему силы |
||
системы |
Вторая задача |
||
|
|||
|
динамики |
|
|
|
|
|
Рис. 1.1
Динамика основывается на ряде принципов, которые могут быть названы законами или аксиомами.
1.2. АКСИОМЫ ДИНАМИКИ
Аксиома 1. (Закон инерции).
Под действием уравновешенной системы сил тело движется прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя.
Аксиома 2. (Закон равенства действия и противодействия).
Два тела взаимодействуют с силами, равными по величине, действующими вдоль одной прямой, соединяющей точки их приложения и направленными в противоположные стороны.
Аксиома 3. (Принцип освобождаемости от связей).
Несвободное тело можно считать свободным, если вместе с активными силами приложить к нему реакции отброшенных связей.
Аксиома 4. (Основной закон динамики).
Фундаментальное значение имеет второй закон Ньютона.
Сила, действующая на свободную материальную точку, сообщает ей ускорение,
которое в инерциальной системе отсчета пропорционально этой силе:
|
(1.1) |
= |
Примечания:
В уравнение (1.1) входит величина m, которая называется массой материальной точки. Она является мерой инертности точки: чем больше масса, тем меньшее ускорение сообщает точке приложенная сила
7
Масса измеряется в килограммах (кг), и, следовательно, единица силы (ньютон) будет равна 1 Н = 1 кгс2м.
Если на точку действует несколько сил, то под F в уравнении (1.1)
следует понимать их равнодействующую:
= ∑ |
|
|
(1.2) |
=1 |
. |
||
|
|
|
Тема 2.
Динамика материальной точки
2.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Пусть материальная точка движется в инерциальной системе отсчета. Если движение задано в векторной форме, то
2 |
2, |
|
= |
= ̈ |
и тогда уравнение (1.1) примет вид, который называют дифференциальное
уравнение движения материальной точки в векторной форме.
|
2 |
|
|
|
2 |
= , |
(2.1) |
в котором сила может зависеть от положения точки, от скорости точки и от времени, то есть:
= ( , , ).
Спроецировав векторное равенство (2.1) на оси, получим
дифференциальные уравнения движения материальной точки в
координатной (аналитической) форме:
ma x
ma y
ma z
Fx
Fy или
Fz
̈= |
|
|
|
{̈= . |
(2.2) |
̈= |
|
|
|
8
2.2. ПЕРВАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ
Если закон движения задан в векторной форме, выражение для вектора силы может быть найдено путем дифференцирования радиус-вектора по формуле
(2.1). Если закон движения задан в аналитической форме, проекции силы на декартовые оси могут быть найдены путем дифференцирования координат по формулам (2.2).
ПРИМЕР |
|
|
|
|
|
Движение точки массой (кг) в плоскости |
происходит в соответствии с |
||||
уравнениями: = + 2 |
, |
= , где |
С1, С2, С3 - некоторые |
||
1 |
2 |
|
3 |
|
постоянные величины.
Найти силу, вызывающую это движение.
Решение
Движение точки задано координатным способом, поэтому применим уравнения
(2.2), учитывая, что: ̈= 2 2; ̈= 0 см2.
Тогда = ̈= 2 2 ; = = 0.
Ответ:
Действующая сила равна по модулю = 2 2 и направлена по оси x .
2.3. ВТОРАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ
Вторая задача динамики заключается в определении движения под действием заданных сил. Ее решение сводится к интегрированию дифференциальных уравнений (2.1), (2.2) или (2.3).
Пусть, движение точки описывается в декартовых осях. Тогда система уравнений (2.2)
̈= ( , , , ̇, ̇, ̇, ) { ̈= ( , , , ̇, ̇, ̇, ).
̈= ( , , , ̇, ̇, ̇, )
имеет общее решение в виде
9
x x t,C1,C2 ,C3 , D1, D2 , D3 |
||
|
,C3 , D1, D2 , D3 |
. |
y y t,C1,C2 |
||
|
,C3 , D1, D2 , D3 |
|
z z t,C1,C2 |
При решении задач обычно принимают, что t0 0 , а C1, C2 , C3 , D1, D2 , D3 −
постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий,
описывающих состояние материальной точки в начальный момент времени
t t0 .
В качестве начальных условий задаются начальное положение точки и ее начальная скорость:
|=0 = 0
|=0 = 0
|=0 = 0 .
̇|=0 = 0 ̇|=0 = 0 { ̇|=0 = 0
Из этих шести уравнений определяются шесть постоянных интегрирования.
Тема 3.
Теорема о движении центра масс
3.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n точек. Положение k-й
точки определяется радиус-вектором . Точка имеет массу и движется со скоростью и с ускорением .
Силы, действующие на материальную точку можно разбить на две группы.
Сделать это можно разными способами.
Первый способ
Разделим силы, действующие на k-ю точку, на внешние и внутренние. Получим следующую запись основного уравнения динамики:
|
|
|
|
|
(k=1,2, …,n) |
(3.1) |
|
= |
+ |
|
|||
|
|
|
|
|