9522
.pdfгде последнее равенство записано в силу условия задачи. Отсюда
n5 : 0,2 10 .
2.Математическое ожидание. Непрерывные случайные величины
Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной вели-
чины X с плотностью распределения вероятностей (x) называется следующий интеграл:
M ( X ) x (x) dx .
Свойства математического ожидания непрерывной случайной величины точно такие же, как и у M (X ) дискретной случайной величины.
______________
Пример. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [0;10]. Найти её математическое ожидание.
Решение. По свойству равномерно распределённой на отрезке [0;10] случайной величины её плотность распределения вероятностей равна:
|
|
|
|
|
|
|
0 |
при x 0 и |
|
x 10 |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
при 0 x 10 |
|
|
|
|
|
||||||||||
где C 1/10 (попробуйте обосновать это). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Тогда по определению математического ожидания непрерывной случайной |
|||||||||||||||||||||||
величины: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
10 |
1 |
|
|
|
|
||||||
M ( X ) x (x) dx x 0 dx x |
dx |
x 0dx |
|||||||||||||||||||||
10 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
10 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
10 |
|
1 |
|
1 |
10 |
|
|
1 x2 |
|
1 |
|
102 |
|
|
||||||||
|
|
x |
dx |
|
x dx |
|
100 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
10 |
10 0 |
10 |
2 |
|
10 |
|
2 |
|
0 5 . |
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины
Начнём сразу с двух определений.
Определение. Дисперсией случайной величины X называется величина:
D( X ) M ( X M ( X ) )2 .
Дисперсия говорит о среднем квадрате отклонения от среднего (математического ожидания).
Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины
X называется величина:
( X ) D( X ) .
Среднее квадратическое отклонение говорит о среднем отклонении от математического ожидания.
Для дискретной случайной величины дисперсия имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
n( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
D( X ) ( xi M ( X ) )2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения вероятно- |
||||||||
стей (x) дисперсия имеет вид: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D( X ) (x M ( X ) )2 (x) dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание. Полезно знать, что для нормально распределенной случайной ве- |
||||||||
личины |
|
X |
(напомним, что её плотность распределения вероятностей имеет вид |
|||||
|
|
1 |
|
|
( x a)2 |
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
) математическое ожидание |
X равно "a ", а среднее квадрати- |
||
|
2 e |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
ческое |
отклонение X равно " ", т.е. величинам, |
входящим в определение самого |
закона.
______________
Пример. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X , заданной следующим законом распределения:
X |
0,1 |
0,01 |
0 |
0,01 |
0,1 |
P |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
Решение. Сначала найдём математическое ожидание случайной величины X :
M(X ) ( 0,1) 0,1 ( 0,01) 0,2 0 0,4 0,01 0,2 0,1 0,1 0 .
Теперь настала очередь дисперсии:
D( X ) ( 0,1 0)2 0,1 ( 0,01 0)2 0,2 (0 0)2 0,4 (0,01 0)2 0,2 (0,1 0)2 0,1
0,00204
исреднего квадратического отклонения:
(X ) D(X ) 0,00204 0,04517.
Пример. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение равномерно распределённой на отрезке [0;10] случайной величины X .
Решение. Поскольку математическое ожидание этой случайной величины X мы нашли ранее (M(X ) 5) , а её плотность распределения вероятностей имеет вид:
0 |
при x 0 и |
x 10 |
, |
(x) |
|
|
|
1/10 |
при 0 x 10 |
|
то дисперсия её считается следующим образом:
|
|
|
|
0 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
D( X ) (x M ( X ) )2 (x) dx (x 5)2 0 dx |
|
(x 5)2 0,1dx (x 5)2 0 dx |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
10 |
|
10 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
0,1 |
(x 5)2 |
dx 0,1 |
(x 5)2 |
d (x 5) 0,1 |
(x 5) |
|
|
|
10 |
0,1 |
5 |
( 5) |
|
|
25 |
8,333 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
0 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда среднее квадратическое отклонение для случайной величины X равно:
( X ) D( X ) 8,333 2,89 .
4. Свойства дисперсии
Свойство 1o . Дисперсия постоянной величины равна нулю:
X const C D(X ) D(C) 0.
Доказательство. Действительно, пусть случайная величина X равна C const
с вероятность p 1. Поскольку тогда M (C) C , то по определению дисперсии:
D( X ) M ( X M ( X ) )2 M (C M (C ) )2 M (C C )2 M[02 ] M[0] 0 .
Что и требовалось доказать.
Свойство 2o . Постоянный множитель можно вносить за знак математического ожидания, но в квадрате:
D(k X ) k 2 D( X ) , где k const. |
|
Доказательство. Используя определение дисперсии и свойство 2o |
математи- |
ческого ожидания, получим: |
|
D(k X ) M (kX M (kX ) )2 M (k X k M ( X ) )2 M k 2 ( X M ( X ) )2 |
|
k 2M ( X M ( X ) )2 k 2 D( X ) . |
|
Что и требовалось доказать.
Свойство 3o . Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата минус квадрат математического ожидания:
D( X ) M ( X )2 (M ( X ) )2 M X 2 M 2 ( X ) .
Доказательство. Используя определение дисперсии и свойство 3o математического ожидания, получим:
D( X ) M ( X M ( X ) )2 M ( X 2 2 X M ( X ) (M ( X ))2 )
M X 2 M 2 X M ( X ) M (M ( X ))2 .
Поскольку математическое ожидание – суть константа, то по свойству 2o , а затем по свойству 1o математического ожидания, приходим к следующему:
D( X ) M X 2 M 2 M ( X ) X M (M ( X ) )2 M X 2 2 M ( X ) M X M ( X ) 2 .
Теперь, приводя подобные, получаем:
D( X ) M X 2 2 M ( X ) M X M ( X ) 2 M X 2 M ( X ) 2
Что и требовалось доказать.
Свойство 4o . Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
D(X Y) D(X ) D(Y) .
Без доказательства (для заинтересовавшихся студентов это доказательство – повод повысить итоговую оценку).
Свойство 5o . Дисперсия случайной величины ограничивает вероятность её отклонение от своего математического ожидания (неравенство Чебышева П.Л.):
P( X M ( X ) ) D( X ) .
2
Без доказательства.
__________________
Пример. При ракетной стрельбе в «заданный район» среднеквадратическое отклонение от цели имеет значение 20 м . Оценить радиус круга безопасности, где с вероятностью не мене 0,99 ракеты не ложатся.
Решение. Пусть R - координата точки падения по дальности. Тогда вероятность выхода за -зону ограничена (по неравенству Чебышева) следующим:
P( R M (R) ) D(R) ,
2
но она должна быть не больше 0,99. Это будет выполнено, если
D(R) |
|
400 |
0,01, |
|
2 |
2 |
|||
|
|
т. е. при 200 м .
Заметим: если предположить, что дальность распределена по нормальному закону, то:
P( R M (R) ) 1 2Ф( ) 0,01 ,
а значит Ф( |
) 0,495 , или при |
51,6 м . Как видим, знание закона распределения |
|
|
|
существенно уточняет круг безопасности!
__________________
На рис. 8.1 показан геометрический смысл основных числовых характеристик случайной величины.
Рис. 8.1. Геометрическая иллюстрация понятий математического ожидания М ( X ) mх
моды mod |
X |
и дисперсии D( X ) 2 |
случайной величины |
|
x |
|
|
Так, математическое ожидание М ( X ) mх |
характеризует центр распределения |
или среднее ожидаемое значение величины и геометрически оно изображается как координата центра тяжести фигуры, образованной осью х и линией функции (х) . Дисперсия D( X ) 2x и среднее квадратическое отклонение ( X ) x характеризуют
средний ожидаемый разброс (широту, изменчивость) значений величины возле математического ожидания. Наиболее вероятное значение случайной величины явля-
ется ее мода mod X , оно соответствует максимуму функции (х) .
5. Моменты распределения случайной величины
Для описания распределения случайной величины иногда недостаточно только знания математического ожидания и дисперсии. Для более полного описания необходимо ввести еще ряд числовых характеристик распределения, и такими характеристиками могут быть моменты высших порядков.
А именно, начальный теоретический момент порядка k
Аk ( X ) xk (x) dx
и центральный теоретический момент порядка k
Вk ( X ) (x M ( X ) )k (x) dx .
Можно заметить, что |
А |
0 |
( X ) 1 |
, |
А |
( X ) М ( Х ) , |
А |
2 |
(X ) М (Х 2 ) , а так же |
В |
0 |
( X ) 1 |
, |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
В1 ( X ) 0 , В 2 ( X ) D( Х ) .
Втехнических приложениях часто используются моменты 3-го и 4-го порядка, где они (безразмерные) имеют специальные названия:
А |
B3 |
( X ) |
|
- асимметрия случайной величины, |
|||
|
|
|
|
|
|||
s |
3 |
( X ) |
|
|
|||
|
|
|
|||||
Es 3 |
B4 |
( X ) |
- эксцесс случайной величины. |
||||
4 |
( X ) |
||||||
|
|
|
|
Асимметрия случайной величины равна нулю у случайной величины симметричной относительно своего математического ожидания, а ее значение характеризует степень асиметрии ее распределения. Эксцесс равен нулю у нормальной случайной величины, а его значение характеризует степень отклонения от нормального закона распределения. Смысловое значение асиметрии («скошенности») и эксцесса («островершинности») иллюстрируется на рис.8.2.
Рис. 8.2. Геометрическая иллюстрация понятий асимметрии Аs и эксцесса Es
Лекция № 9
Закон больших чисел
Закон больших чисел (ЗБЧ) представляет собой ситуацию, когда совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, независящему от случая. Все основные формулы и выводы следующего раздела этих лекций (математической статистики) основаны на результатах ЗБЧ.
Мы рассмотрим здесь только некоторые важные теоремы, являющиеся яркими представителями в соответствующих областях и применяемые ниже, хотя число по-
хожих теорем больше сотни (при самых различных предположениях, подходящих для разнообразных жизненных ситуаций).
1. Теорема Чебышева
Прежде всего, посмотрим (приводим без доказательства) на теорему П.Л. Чебышева (1821 – 1894). Он унаследовал крупное, процветающее поместье. Но, чтобы составить состояние своим сёстрам, необходимое как приданое (надо сказать, что в то время состояние переходило лишь по мужской линии), он играл на бирже. И очень успешно (и сумел-таки составить выгодную компанию своим сестрам и выдать их замуж), а в игре ему помогали его научные результаты!
Теорема Чебышева. Пусть:
а) X1, X 2 , , X n - независимые случайные величины; б) существуют M ( X i ) и D( X i ) для всех i 1,2, ,n ;
в) D( X i ) C (при некотором положительном C ) для всех i 1,2, ,n . Тогда:
|
|
|
|
|
|
X |
|
||
|
|
|
|
X |
1 |
X |
2 |
n |
|
lim |
P |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n |
|
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ( X |
) M ( X |
) M ( X |
) |
|
|
|
|
|||||
|
1 |
2 |
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
при любом 0 .
Следствие. Если независимые случайные величины X1, X 2 , , X n имеют одинаковые математические ожидания
M ( X i ) a , i 1,2, ,n ,
и
|
|
D( X i ) C , i 1,2, ,n , |
|
||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
1 |
X |
2 |
X |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
P |
|
|
|
|
a |
|
1. |
|||
|
|
|
|
|
n |
|
|||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
То есть (в общем случае) среднее арифметическое в пределе не отличается от математического ожидания (с вероятностью 1)!
Пример. Посмотрим на ситуацию в страховом бизнесе. Пусть X i - убыток
какого-то страхователя (того, кто страхуется) при наступлении страхового случая. Понятно, что все эти убытки имеют примерно одно и же математическое ожидание:
M ( X i ) a .
Тогда (по следствию из теоремы Чебышева) средний убыток всех страхователей:
X1 X 2 X n
n
есть величина постоянная!
2. Центральная предельная теорема
Это на самом деле группа теорем, устанавливающих связь с нормальным законом распределения величины X с функцией плотности распределения вероятно-
сти (рис. 9.1):
(x) |
|
1 |
|
|
( x a)2 |
, |
|
|
|
2 2 |
|||
|
|
|
e |
|
||
|
|
2 |
|
|
где a M(X ) , 2 D( X ) параметры распределения.
Рис. 9.1. Плотность распределения нормальной случайной величины
Приведём формулировку одной из таких теорем (приводим без доказательства).
|
|
Теорема Ляпунова. Если: |
|
|
|
|
|
|||||||||
а) X1, X 2 , , X n - независимые случайные величины; |
|
|||||||||||||||
б) существуют |
M ( X |
i |
) a |
и D( X |
i |
) 2 для всех i 1,2, ,n ; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
||
в) существуют величины M |
|
X i ai |
|
3 mi и |
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
lim |
|
i 1 |
|
|
0 |
то закон распределения величины Yn Xi |
(при n ) неограни- |
|||||||||
|
|
|
3 / 2 |
|||||||||||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
||
|
|
i2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
ченно приближается к нормальному закону с математическим ожиданием ai и |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дисперсией i2 , т.е.: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yn |
ai |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
t 2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
(z) , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 dt |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim P |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
z |
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
e |
|
|
||||||||||||||||||||||
где (z) |
|
|
2 dt есть известная нам функция Лапласа. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Смысл теоремы состоит в том, что чем сложней случайная величина, чем больше факторов, влияющих на ее значение, тем ближе она к нормально распределенной случайной величине.
Следствие. Если независимые случайные величины X1, X 2 , , X n имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии
M ( X i ) a , D( X i ) 2 , |
i 1,2, ,n |
|||||||
и существуют величины M |
|
X i ai |
|
3 |
m , то закон распределения величины |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
Yn |
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
n i 1 |
|
при n неограниченно приближается к нормальному закону с теми же параметрами a и .
________________________
Пример. Пусть X i - потребление электроэнергии жильцами квартиры номер i
в многоквартирном, многоэтажном доме. Тогда по теореме Чебышева среднее потребление:
|
|
n |
|
|
|
|
X i |
|
a , |
||
|
i 1 |
|
|
||
|
|
n |
|
|
|
а по теореме Ляпунова величина: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
Yn |
|
|
Xi |
||
|
|||||
|
|
|
n i 1 |
является случайной величиной, имеющей нормальный закон распределения (т.е. будет отличаться от величины a , как нормально распределённая случайная величина).
________________________
Пример. Представим величину Бернулли Yn (количество наступления события
A в серии из n испытаний) в виде суммы независимых величин, так называемых «индикаторов» каждого из испытаний:
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
Yn |
X i . |
||
|
|
|
|
|
k 1 |
|
Здесь X i - случайные величины - «индикаторы испытания»: |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X i |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi |
|
p |
|
q 1 p |
|
М ( Xi ) p 1 q 0 p , |
D( X i ) p 12 q 02 p2 pq . |
Тогда по свойствам математического ожидания и дисперсии случайная величина Бернулли X n будет иметь следующие параметры:
n |
n |
|
|
М (Yn ) М ( X i ) np , |
D(Yn ) D( X i ) npq , (Yn ) npq , |
||
i 1 |
i 1 |
а в соответствии с центральной предельной теоремой при большом количестве испытаний ( n ), она будет иметь распределение, близкое к нормальному закону, с параметрами a np и npq :
|
1 |
Y |
np |
|||
F (Y ) |
|
|
n |
|
|
. |
|
|
|
|
|||
n |
2 |
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|
3. Теорема Бернулли
Важнейшее методологическое значение для теории вероятностей и математической статистики имеет следующая теорема о частоте события. В серии испытаний Бернулли частоту события определим как:
n ( A) Ynn .
Теорема Бернулли.
Если количество испытаний велико, то частота события в испытании является нормальной случайной величиной с математическим ожиданием, равным вероятности события.
Действительно, поскольку частота события n ( A) в силу центральной теоремы
при n является величиной нормальной, а в силу основных свойств математического ожидания и дисперсии имеет математическое ожидание М ( n ) p и дис-
персию D( n ) pq / n .
Всоответствии с формулами Муавра – Лапласа, величина отклонения частоты
ивероятности события имеет следующую вероятность:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
P( |
|
n |
p |
) 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pq |
|
для любого 0 .
Таким образом, с ростом количества испытаний частота события стремится к его вероятности.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Лекция № 10
Выборочный метод
Для установления закономерностей, которым подчинены случайные события и случайные величины, теория вероятности, как и любая другая наука, обращается к опыту – наблюдениям, измерениям, экспериментам. Результаты наблюдений за случайными величинами объединяются в наборы статистических данных. Задачей математической статистики, раздела современной теории вероятностей, является разработка методов сбора и обработки статистических данных, а также их анализа с целью установления законов распределения наблюдаемых случайных величин [8, 9].
1. Генеральная и выборочная совокупность данных
Генеральной совокупностью является набор всех мыслимых статистических данных, при наблюдениях случайной величины:
хГ {х1 , х2 , х3 ,......, хN } {xi ; i 1, N}.
Наблюдаемая случайная величина Х называется признаком или фактором выборки. Генеральная совокупность есть статистический аналог случайной величины, ее объем N обычно велик, поэтому из нее выбирается часть данных, называемая выборочной совокупностью или просто выборкой
хB {х1 , х2 , х3 ,......, хn } {xi ; i 1, n} , |
хВ хГ , n N . |
Использование выборки для построения закономерностей, которым подчинена наблюдаемая случайная величина, позволяет избежать ее сплошного (массового) наблюдения, что часто бывает ресурсоемким процессом, а то и просто невозможным. Однако выборка должна удовлетворять следующим основным требованиям:
- выборка должна быть представительной, т.е. сохранять в себе пропорции генеральной совокупности,
- объем выборки должен быть небольшим, но достаточным для того, чтобы полученные результаты ее анализа обладали необходимой степенью надежности. В табл. 1 приводятся примеры генеральных и выборочных совокупностей.
|
Таблица 1 |
|
Генеральная совокупность |
Выборочная совокупность |
|
|
|
|
Данные переписи населения стра- |
Данные опроса случайных прохо- |
|
ны по разным признакам |
жих по тем же признакам |
|
Времена работы электроламп, вы- |
Лабораторные данные о времени |
|
пущенных заводом |
работы испытанных электроламп |
|
Отметим, что в более строгом смысле выборку можно представить как много-
мерную случайную величину Х B {Х1 , Х 2 , Х 3 ,......, Х n } {Х i ; i 1, n}, у которой все компоненты Х i распределены одинаково и по закону распределения наблюдае-
мой случайной величины. В этом смысле выборочные значения хB есть одна из ре-
ализаций величины Х В .