9789

Четырех работников (финансы − №1; маркетинг − №2; производство − №3; персонал − №4) нужно распределить на четыре работы (Лейпциг − №1; Нанси − №2; Льеж − №3; Тилбург − №4).

xij – факт назначения или не назначения i-го работника на j-ую работу, i = 1, 2,

3, 4; j = 1, 2, 3, 4. Точнее,

1,если i г о работника назначили на j ую работу

xij 0,если i г о работника не назначили на j ую работу

Таким образом, переменные xij являются бинарными (т.е. могут принимать только два значения – 0 или 1). Целевая функция является линейной функцией 16-ти переменных:

S = 24x11 + 10x12 + 21x13 + 11x14 + 14x21 + 22x22 + 10x23 + 15x24 + 15x31 + 17x32 + 20x33 + 19x34 + 11x41 + 19x42 + 14x43 +13х44 min

x11

x21

x31

x41

x11

x12x13

x14

xij

x12 x13 x14 1

x22 x23 x24 1

x32 x33 x34 1

x42 x43 x44 1

x21 x31 x41 1

x22 x32 x42 1

x23 x33 x43 1

x24 x34 x44 1

бинарные, i, j 1,2,3,4

Первые четыре равенства в ограничениях означают, что каждый из вице-

президентов должен быть назначен на один завод, из следующих четырех равенств следует, что нужно назначить на каждый завод одного вице-президента. Вышеуказанная модель реализуется в Excel также, как транспортная задача, с тем лишь отличием, что значения в изменяемых ячейках должны быть бинарными (рис. 4).

71

Рис.4.

Ответ: Финансист должен отправится Нанси, маркетолог – в Льеж, про-

изводственник – в Лейпциг, специалист по персоналу – в Тилбург. При этом суммарные затраты на командировки составят 48 тыс. $.

Задача 7. (распределительная задача)

Требуется распределить самолеты трех типов по авиалиниям так, чтобы при минимальных суммарных эксплуатационных расходах перевезти по каж-

дой из четырех авиалиний соответственно не менее 300, 200, 900 и 600 ед. гру-

за. Ниже в таблицах приведены исходные данные.

Тип	Число само-			Месячный объем перевозок одним самолетом по
самолета		летов					авиалиниям
				1			2		3		4
1	50			15			10		20		50
2	20			30			25		10		17
3	30			25			50		30		45
Тип		Эксплуатационные расходы на один рейс по данному маршру-
самолета							ту, у.е.
			1			2			3		4
1			15			20			25		40
2			70			28			15		45
3			40			70			40		65
						72

Необходимо так распределить самолеты по авиалиниям, чтобы суммар-

ные эксплуатационные расходы были минимальны.

Решение: Экономико-математическая модель задачи:

xij – количество самолетов i-го типа на j-ой авиалинии i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, 4. Целевая функция является линейной функцией 12-ти переменных.

S = 15x11 + 20x12 + 25x13 + 40x14 + 70x21 + 28x22 + 15x23 + 45x24 + 40x31 + 70x32 + 40x33 + 65x34 min

x11 x12 x13 x14 50x21 x22 x23 x24 20

x31 x32 x33 x34 30

15x11 30x21 2531 30010x12 25x22 50x32 20020x13 10x23 30x33 100015x14 17 x24 45x34 500xij 0, i 1,2,3; j 1,2,3,4

Введем необходимые условия для решения задачи (рис. 5).

Рис. 5

73

Заполним, согласно математической модели, окно Поиска решения:

Рис. 6
20		0	20	10
Ответ: Матрица распределения самолетов по авиалиниям:	0	8	0	0	,
	0	0	20	0
минимальные затраты составят 2224 у.е.

Задачи для раздела 3. Принятие решений в условиях неопределенности и риска.

Задача 1. Обоснование состава ремонтной бригады.

На предприятии решается вопрос о создании ремонтной бригады. Основы-

ваясь на применении критериев Вальда, Лапласа, Сэвиджа и Гурвица, опреде-

лить наиболее целесообразное число членов бригады. Исходные данные сведе-

ны в табл. 1.1, в ячейках которой занесены доходы при разных вариантах (стра-

тегиях). Под стратегией понимается x – число членов бригады и R – количество станков, требующих ремонта.

74

Таблица 1.1

x\R	40	30	20	10
5	50	100	180	250
4	80	70	80	230
3	210	180	120	210
2	300	220	190	150

1. Критерий Вальда выражается в двух формах, зависящих от вида исход-

ных данных.

Если исходными данными являются потери при различных стратегиях, то критерий выбирается в форме минимакса (минимальные потери из мини-

мально возможных), то есть критерий имеет вид W min max wij .

ij

Таким образом, справа дописывается столбец максимумов по строкам.

Таблица 1.2

x\R	40	30	20	10	max
5	50	100	180	250	250
4	80	70	80	230	230
3	210	180	120	210	210
2	300	220	190	150	300

Для удобства запишем его в виде транспонированного вектора max wij = <250, 230, 210, 300>т и выбираем минимальное значение 210. Таким образом,

при данных условиях рациональным решением будет x=3, R=10, min wij = 210.

Если в таблице фигурируют доходы при различных стратегиях, то крите-

рий Вальда принимает форму максимина (максимум из минимумов), то

есть критерий имеет вид W max min wij .

i j

Таким образом, справа дописывается столбец минимумов по строкам.

Таблица 1.3

x\R	40	30		20	10	Min
			75

5	50	100	180	250	50
4	80	70	80	230	70
3	210	180	120	210	120
2	300	220	190	150	150

Тогда решающий столбец имеет вид max wij = <50, 70, 120, 150>т. Макси-

минное значение равно 150. Таким образом, при данных условиях рациональ-

ным решением будет: x=2, R=10, max wij = 150.

2. Критерий Лапласа. Как известно, критерий Лапласа предполагает, что все состояния системы равновероятны и рациональные решения выбираются по

n	1
критерию: W max		wij .
i j 1 n

При данных предыдущего примера в случае, если в таблице записаны по-

тери при том или ином варианте, значение критериев подсчитывается так:

W1 = 0.25 (50+100+180+250) = 145; W2 = 0.25 (80+70+80+230) = 115; W3 = 0.25 (210+180+120+210) = 180; W4 = 0.25 (300+220+190+150) = 215.

Таким образом наилучшим решением будет x=4, минимум потерь

(наибольший выигрыш) равен 115.

3. Критерий Сэвиджа. В этом случае составляется новая матрица, элемен-

ты которой составляются по правилу:

Составим матрицу W(xi, Rj) - матрицу сожалений для случая, когда uij - по-

тери, используя предыдущие данные. Соответствующая матрица получается путем вычисления значений min(xi, Rj), равных 50, 70, 80 и 150 из столбцов 1, 2, 3, 4, соответственно

max W(xi,

76

						Rj)
		0	30	100	100	100
	W(xi,	30	0	0	0	80
	Rj)=
		160	110	40	60	160
		250	150	110	0	250

Таким образом, минимальные потери будут при x=2, когда max W(xi, Rj)=80. Отметим, что независимо от того, является функцией сожаления, опре-

деляющая потери. Поэтому здесь можно применить только минимаксный кри-

терий.

4. Критерий Гурвица. В отличие от примененных выше "жестких" крите-

риев, критерий Гурвица является "гибким", так как позволяет варьировать "сте-

пень оптимизма-пессимизма". Таким образом, этот критерий устанавливает ба-

ланс между случаями крайнего оптимизма или пессимизма, путем введения ко-

эффициента веса . Как указывалось выше, критерий записывается в виде:

Gi k min wij

j

(1 k) max wij .

j

Применим данный критерий к нашим исходным данным, полагая =0.5.

Матрица значений W будет выглядеть следующим образом:

Таблица 1.4

	min u(xi, Rj)	max u(xi, Rj)	min u(xi, Rj) +
			max u(xi, Rj)
5	50	250	15
4	70	230	15
3	120	210	165
2	150	300	225

Таким образом, в результате применения этого критерия получилось, что существуют два равнозначных варианта: x1 = 5, x2 = 4 при одинаковых значени-

ях W1 = W2 = 15.

77

Задача 2. Задача о постройке мотеля.

Планируется постройка мотеля. Требуется сделать предварительную оцен-

ку доходности мотеля. Затраты на постройку мотеля для простоты не учитыва-

ются. Проблема заключается в неопределённости спроса.

Ежегодные затраты будут зависеть от числа сданных комнат S, от размера мотеля (тоже от числа комнат). Кроме того, будут учтены фиксированные за-

траты. Доходы зависят от числа сданных комнат R.

Составление сметы доходов даёт следующую таблицу:

	R=0	R=10		R=20				R=30		R=40	R=50
S=20	-121	62		245				245		245	245
S=30	-168,75	14,25		197,25				380,25		380,25	380,25
S=40	-216,5	-33,5		149,5				332,5		515,5	515,5
S=50	-264,25	-81,25		101,75				284,75		467,75	650,75
Решение.
1. Критерий Лапласа
				M	1
		max				aij .
		i		j 1 M
2. Критерий Вальда.
		max min aij
				i	j
3. Критерий Сэвиджа.
		max min a			max a				.
		i j		ij		i		ij

Величина в скобках – сожаление между наиболее благоприятным и дей-

ствительным выбором.

4. Критерий Гурвица.

max max aij (1		) min aij .
i	j	j

Коэффициент оптимизма α.

В данном случае M=6.

Решение по Лапласу S=40. Если все события равновероятны.

78

Решение по Вальду S=20. В этом случае можно гарантировать, что убыток не превосходит 121.

Решение по Сэвиджу S=40. В этом случае можно гарантировать, что сожа-

ление не будет больше 135,25.

		min	min сожале-	=0,5
			ние
S=20	153,5	-121	-405,75	62
S=30	197,25	-168,75	-270,5	105,75
S=40	210,5	-216,5	-135,25	149,5
S=50	193,5	-264,25	-143,25	193,25

Задача 3.

Турфирма подбирает место для строительства летнего лагеря в Сибирской тайге для экстремального туризма в условиях дикой природы. Турфирма счита-

ет, что число туристов может быть 200, 250, 300 или 350 человек. Стоимость ла-

геря будет минимальной, поскольку он строится для удовлетворения только не-

больших потребностей. Отклонения в сторону уменьшения или увеличения от-

носительно идеальных уровней потребностей влекут за собой дополнительные затраты, обусловленные строительством избыточных (неиспользуемых) мощно-

стей или потерей возможности получить прибыль в случае, когда некоторые по-

требности не удовлетворяются. Пусть переменные а1 – а4 представляют воз-

можные размеры лагеря (на 200, 250, 300 или 350 человек), а переменные s1 – s4

– соответствующее число участников сбора. Следующая таблица содержит мат-

рицу стоимостей (в тыс. руб.), относящуюся к описанной ситуации.

	s1	s2	s3	s4
а1	50	100	180	250
а2	80	70	120	230
а3	210	180	120	210
а4	300	220	190	150

Описанная ситуация анализируется с точки зрения следующих критериев.

79

Критерий Лапласа. При заданных вероятностях Ps 1/4,j 1,2,3,4, ожи-

j

даемые значения затрат для различных возможных решений вычисляются сле-

дующим образом.

Ma (1/4)(50100180250)145

1

Ma (1/4)(8070120230)125оптимум

2

Ma (1/4)(21080120210)180

3

Ma (1/4)(300220190150)215

4

Минимаксный критерий. Этот критерий использует исходную матрицу

стоимостей.

	s1	s2	s3	s4	Максимум по
					строке
а1	50	100	180	250	250
а2	80	70	120	230	230
а3	210	180	120	210	210
					минимакс
а4	300	220	190	150	300

Критерий Сэвиджа. Матрица потерь определяется посредством вычита-

ния чисел 50, 70, 120 и 150 из элементов столбцов от первого до четвертого со-

ответственно. Следовательно,

	s1	s2	s3	s4	Максимум по
					строке
а1	0	30	60	100	100
а2	30	0	0	80	80
					минимакс
а3	160	110	0	60	160
а4	250	150	70	0	250

Критерий Гурвица. Результаты вычислений содержатся в следующей таб-

лице.

	Минимум по	Максимум по строке	k(минимум по строке)+(1-
	строке		k)(максимум по строке)
а1	50	250	250–200k
а2	70	230	230–160k
а3	120	210	210–90k
а4	150	300	300–150k
		80