9806
.pdfПосле преобразований, аналогичных тем, которые были проделаны для уравнения эллипса, соотношение приобретает вид
xc − a2 = ±a( x − c )2 + y2 .
Возведя в квадрат и упростив, получим (c2 - a2 ) x2 - a2 y2 = a2 (c2 - a2 ) .
Учитывая, что, в отличие от эллипса, для гиперболы a < c , можно ввести
b2 = c2 − a2 . Тогда уравнение примет вид |
b2 x2 - a2 y2 = a2b2 |
или |
||||
|
x2 |
- |
y2 |
=1. |
(25.3) |
|
|
a2 |
|
||||
|
|
b2 |
|
|
||
Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы. |
||||||
Так как уравнение (25.3) содержит x и y |
только в чётных степенях, то ги- |
пербола симметрична относительно осей Ox и Oy , а также относительно начала координат. Оси симметрии гиперболы называются её осями, а точка пересечения осей – центром гиперболы. Положив y = 0 в уравнении
(25.3), найдём две точки пересечения гиперболы с осью Ox : A1 (-a;0) ,
A2 (a;0), которые называются вершинами гиперболы. Если взять x = 0 в
уравнении (25.3), то получим y2 = -b2 . Следовательно, с осью Oy гипербола не пересекается. Отрезок A1 A2 = 2a принято называть действитель-
ной осью гиперболы (а ОA1 = a – действительной полуосью); отрезок
B1B2 = 2b , соединяющий точки B1 (0; -b) и B2 (0;b) , называется мнимой осью ( ОB1 = b – мнимой полуосью). Прямоугольник со сторонами 2a и
2b называется основным прямоугольником гиперболы (рис. 25.3).
Из уравнения (25.3) следует, что если x < a , то y не имеет действи-
тельных значений, то есть, нет точек гиперболы с абсциссами −a < x < a .
Должно выполняться условие |
x2 |
|
³1 или |
|
x |
|
³ a . Это означает, |
что гипер- |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
бола состоит из двух частей: |
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
её точки расположены справа |
от прямой |
||||||||||||||||||
x = a , образуя правую ветвь, |
|
и слева от прямой x = −a , образуя левую |
|||||||||||||||||
ветвь. Наконец, из уравнения (25.3) видно, что с возрастанием |
|
x |
|
возрас- |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
тает и |
|
y |
|
, так как разность |
x2 |
|
- |
y2 |
сохраняет постоянное значение. Тем |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
самым приходим к заключению: если y > 0 , то точка M ( x, y ) при возрас-
тании x , начиная от x = a , движется всё время «вправо» и «вверх»; если y < 0 , то M ( x, y ) движется «вправо» и «вниз». Так образуется неограни-
180
Лекция 26. Парабола. Приведение кривых к каноническому виду
26.1. Парабола. Множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки F (фокуса) и данной прямой L (директрисы), называется параболой. Расстояние от фокуса до директрисы параболы принято обозначать через p (рис. 26.1). Величину p называют фокальным параметром параболы.
Для получения уравнения параболы необходимо ввести систему координат на плоскости. Проведём ось абсцисс через фокус параболы перпендикулярно директрисе, будем считать её направленной от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и ди-
ректрисой (рис. 26.1). Тогда координаты фокуса |
F ( p / 2;0) , а уравнение |
||
директрисы в этой системе координат имеет вид |
x = − |
p |
. |
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
Рис. 26.1 |
|
|||
Координаты произвольной точки M параболы обозначим x и |
y , за- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
2 |
|
|
|
пишем расстояние |
MF = |
x − |
|
|
+ y |
|
. Расстояние от точки M |
до ди- |
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ректрисы равно MQ , где Q – основание перпендикуляра, опущенного из
M на директрису. Поскольку |
Q |
имеет |
координаты |
− |
p |
; y |
, то |
||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
MQ = x + |
p |
. Тогда для параболы получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
2 |
|
|
p |
|
|
|
|
||
|
|
|
x − |
|
|
+ y |
|
= x + |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
183
Возведя обе части равенства в квадрат получим каноническое уравнение
параболы
y2 = 2 px . |
(26.1) |
Как для эллипса и гиперболы, уравнение параболы тоже является частным случаем уравнения второго порядка. Оно получается из (25.1) при
A = B = D = F = 0.
Уравнение (26.1) содержит переменную y только в чётной степени, что доказывает симметрию параболы относительно оси Ox . Так как p > 0 , то переменная x должна быть неотрицательной. Это означает, что парабола расположена справа от оси Oy . Если x = 0 , получаем y = 0 . При возрас-
тании x возрастает и y (причём, |
если |
x → +∞ , то y → +∞ ). Построив в |
||
|
y = |
|
|
и отразив его симметрично |
первой четверти график функции |
|
2 px |
||
относительно оси Ox , получим |
геометрическое изображение параболы |
(рис. 26.1). Ось симметрии параболы (в данном случае совпадающая с осью Ox ) называется её осью. Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется её вершиной (в нашем случае вершина совпадает с началом координат). Для описания геометрического смысла фокального параметра p можно взять какое-либо значение абсциссы, например, x = 1. Из
уравнения |
(26.1) найдём соответствующие |
ему |
значения ординаты: |
|||||
y = ± |
|
|
|
M1 (1; |
|
) и M 2 (1;− |
|
), |
2 p |
|
|||||||
. |
Это даёт на параболе две точки |
2 p |
2 p |
расстояние между которыми равно 22 p . Тем самым, чем больше p , тем больше расстояние M1M 2 . Следовательно, параметр p характеризует «ширину» области, ограниченной параболой.
Кроме рассмотренных классических кривых, уравнение линии второго порядка может привести ещё к нескольким геометрическим случаям, называемым вырожденными.
26.2. Вырожденные случаи. Если в уравнении линии второго поряд-
ка
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 |
(26.2) |
коэффициенты B = D = E = F = 0 , то остаётся только два слагаемых, т.е. Ax2 + Cy2 = 0 . При одинаковых знаках A и C уравнению соответствует на
плоскости одна точка – начало координат. При разных знаках A и C – |
па- |
||||
|
|
|
|
|
|
ра пересекающихся прямых |
y = ± − |
A |
x . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
C |
|
|
Если в уравнении (26.2) остаются ненулевыми два других слагаемых, |
|||||
например, оно имеет вид |
Cy2 + F = 0 , то возможны две ситуации: |
при |
|||
|
184 |
|
одинаковых знаках коэффициентов C и F решений нет, а при разных знаках C и F получаются две параллельные прямые.
Если из уравнения (26.2) остаётся одно слагаемое Cy2 = 0 или Ax2 = 0 , то на плоскости получается одна прямая. Если B = D = E = 0 и в уравнении Ax2 + Cy2 + F = 0 коэффициенты A > 0,С > 0, F > 0 , то опять ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости.
26.3. Приведение уравнения линии второго порядка к канониче-
скому виду. Мы рассмотрели все геометрические ситуации, к которым может привести общее уравнение линии второго порядка (п. 26.2). В задачах аналитической геометрии обычно задаётся вид уравнения второго порядка с конкретными числовыми коэффициентами. В нём могут присутствовать произведение координат x и y (т.е. B ¹ 0 ) или переменные x и y без квадратов ( D ¹ 0 или Е ¹ 0 ). Это будет означать, что в исходной системе координат уравнение не является каноническим. Нужно перейти к другой системе координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид. Это даст возможность определить, к какому из рассмотренных случаев относится заданное уравнение. После этого легко будет построить график заданной кривой.
Для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду используются только те преобразования системы координат, которые не изменяют расстояния между точками, то есть не деформируют кривую. К таким преобразованиям, в частности, относятся параллельный перенос и поворот осей координат. Этих преобразований достаточно для решения поставленных в этой лекции задач. Разберём далее, что происходит с уравнениями при том или ином преобразовании координат.
26.4. Параллельный перенос осей координат. Рассмотрим на плос-
кости прямоугольную декартову систему координат xO y
Рис. 26.2
185
Выберем |
начало |
вспомогательной системы координат в точке |
O′(x0 ; y0 ). Оси |
O′x′ |
и O′y′расположим параллельно соответствующим |
осям O x и O y , одинаково с ними направив. Масштаб сохраняем. Такой переход от системы xO y к системе O′x′y′ называется параллельным пе-
реносом осей координат.
Для произвольной точки M координаты относительно исходных осей обозначим через (x; y), а координаты по отношению к «новым» осям обо-
значим (x′; y′). Поскольку |
имеет место векторное равенство |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
OM =OO′+O′M (рис. 26.2), то можно записать в координатах |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= x |
′ |
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
(26.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = y′+ y |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (26.3) позволяют находить исходные координаты (x; y) по из-
вестным (x′; y′) при параллельном переносе. «Новые» координаты выра-
жаются через исходные следующим образом:
|
′ |
= x −x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(26.4) |
||
|
′= y − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть, например, исходное уравнение имеет вид |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x2 +2x +4 y2 −16 y =8 |
|
|
или |
|
( |
x +1 2 |
+4 |
( |
y −2 |
) |
2 |
= 25 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|||
После выполнения параллельного переноса, задаваемого формулами |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
= x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= y −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оно приобретёт вид |
|
|
′2 |
|
|
|
|
|
′2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
+ |
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
25 |
25 / 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Видим, что в новых координатах получилось каноническое уравнение эллипса с полуосями a =5 и b = 5 / 2 с центром в начале координат O′.
186
Рис. 26.3
Из формул (26.4) ясно, что точка O′ в исходной системе имеет координаты (−1;2). На рисунке 26.3 отражено построение, соответствующее тако-
му преобразованию.
26.5. Преобразование поворота системы координат. Повернём ис-
ходную систему координат xO y вокруг начала координат на угол ϕ (положительным считается поворот против часовой стрелки) в положение
O x′y′ (рис. 26.4).
Рис. 26.4
Пусть точка M имеет в исходной системе координаты (x; y) и коор-
динаты (x′; y′) в «новой» системе координат O x′y′. Чтобы установить
связь между исходными и новыми координатами точки M , выполним дополнительные построения. Через A и B обозначим проекции точки M на координатные оси O x и O y , а через D и C — проекции её на оси O x′ и O y′ (рис. 26.4). Из точки D опустим перпендикуляры на отрезок AM (основание перпендикуляра — точка F ) и ось O x (основание перпендикуля-
ра – точка D′). Тогда из геометрических соображений получаем, что
187
x = OA = OD′ − AD′ = OD′ − FD =
= OD cos ϕ− MD sin ϕ= x′cos ϕ− y′sin ϕ,
y = AM = AF + FM = DD′ + MF =
= OD sin ϕ+ MD cos ϕ= x′sin ϕ+ y′cos ϕ.
Таким образом, формулы, выражающие исходные координаты (x; y)
произвольной точки M через её новые координаты при повороте осей на угол ϕ, имеют вид
|
|
|
|
′ |
|
′ |
sin ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = x |
cos ϕ− y |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(26.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x′sin ϕ+ y′cos ϕ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исходная система xO y |
получается поворотом новой системы O x′y′ |
||||||||||||
( |
) |
. Поэтому, если в равенствах (26.5) поменять местами исход- |
|||||||||||
на угол −ϕ |
|
||||||||||||
ные и новые координаты, заменяя |
одновременно ϕ на |
( |
) |
, то можно |
|||||||||
−ϕ |
|
||||||||||||
выразить новые координаты точки |
M через её исходные координаты |
||||||||||||
|
|
|
|
′ |
= x cos ϕ+ y sin ϕ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y′ |
=−x sin ϕ+ y cos ϕ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим, например, |
уравнение эллипса |
x2 |
+ |
y2 |
=1. |
|
Оно не яв- |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ляется каноническим, поскольку в нём a < b . Чтобы поменять оси местами, выполним поворот на угол ϕ=900 и перейдём к системе координат Оx′y′ (рис. 26.5). В формулы (26.5) подставим cos ϕ = 0 и sin ϕ = 1:
|
|
′ |
x =−y |
|
|
|
|
. |
|
y = x′ |
|
|
|
|
|
|
|
Теперь, действительно, получилось каноническое уравнение
x′2 + y′2 =1.
4 2
188
Рис. 26.5
Аналогично рассмотренному примеру для приведения уравнения
|
y2 |
− |
x2 |
= 1 к каноническому виду тоже выполним поворот на угол ϕ=900 |
|||||
|
b2 |
a2 |
|||||||
|
|
|
x′2 |
|
y′2 |
|
|||
В новой системе координат уравнение приобретёт вид |
− |
=1. Оно |
|||||||
b2 |
a2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
определяет гиперболу, вершины и фокусы которой лежат на оси Oy . Эта гипербола называется сопряжённой по отношению к гиперболе (25.3). Они имеют одинаковые асимптоты (рис. 26.6).
Рис. 26.6
189