9947
.pdf
|
y x2 2x 1 |
|
|
|
y 2x x2 |
|
y arcsinx |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9.115. |
|
|
|
y 0 |
|
|
. |
9.116. |
|
9.117. |
y arccosx . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
y 0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y sin x |
|
|
|
|
|
|
x y 2 |
|
|
x y 2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
y 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
y x . |
|
|
|
y x . |
|
|
|||||||||||
9.118. |
|
|
|
|
9.119. |
|
|
9.120. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
x 0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
y |
2 |
x |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9.121. |
|
x 1 |
. |
|
|
|
9.122. |
|
y |
1 |
. |
9.123. |
|
y 1 |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
x |
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В задачах 9.124 - 9.132 вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
от точки B 1;1 до точки |
A 1;1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9.124. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
9.125. |
y x2 2 между точками пересечения кривой с осью x. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
9.126. |
y e x между точками с абсциссами |
x 0 |
и x 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9.127. |
y |
|
e e (цепная линия) между точками с абсциссами |
x 1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и x 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3t sint |
t 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9.128. Циклоиды |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y 31 cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
0 t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9.129. Астроиды x 4cos3t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y 4sint |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x Rcost tsint |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9.130. Эвольвенты окружности |
|
|
|
|
|
|
|
от t1 0 |
до |
t2 |
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y Rsint tcost |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.131. Кардиоиды |
|
|
31 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
и |
. |
|||||||||||||||||||||
9.132. Окружности 2 3cosмежду точками, для которых |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
80
Глава 10
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
§1. Область определения функции нескольких переменных
В задачах 10.1 - 10.12 найти и изобразить на координатной плоскости xy области определения функций:
|
z |
x 2y |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
10.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.2. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
10.3. |
2 |
|
|
. |
|||||||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4y 4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10.4. |
z x y 1xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 10.5. z 1x 1y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
lnxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
lnx y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
z lnx y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
10.6. |
10.7. |
|
10.8. |
y x . |
10.9. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
x 2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 y2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ln1 x y |
|
|
z y arcsinx 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
y |
. 10.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
10.11. |
|
z sinx . |
|
10.12. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z lny 4x 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
§2. Линии уровня функции нескольких переменных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В задачах 10.13 - 10.24 написать |
уравнения линий |
|
уровня функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z f x;y и построить их: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
y x2 |
|
|
|
|
z x y y |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
10.13. |
|
z y x . |
10.14. |
|
|
|
y . 10.15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 10.16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
z |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z x y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z x y 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z x y |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
.10.17. |
|
|
|
10.18. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
10.19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
10.20. |
|||||||||||||||||||||||||||
.10.21. z y2 x. |
10.22. |
|
z |
y |
. |
10.23. |
|
z |
x2 |
. |
|
|
|
|
10.24. |
z |
2y |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§3. Частные производные функции нескольких переменных
В задачах 10.25 - 10.42 найти частные производные первого порядка:
|
z x y |
|
|
2 |
3 |
|
u |
v |
||
|
|
|
z |
|
|
|||||
|
|
|
|
z x 3xy y |
|
|
|
|
|
|
10.25. |
|
. |
10.26. |
|
v |
u. |
||||
|
|
. 10.27. |
|
|||||||
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x 4 |
10.110. |
z xy3x 2y |
D: |
, |
. |
|
|
|
0 y 4 |
|
|
|
|
|
0 x 2 |
|
2 |
|
|
D: . |
|
10.111. z xyx 3x y, |
||
|
|
0 y 3 |
|
|
|
Глава 11
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§1. Основные понятия и определения
В задачах 11.1 11.11проверить, являются ли решением данных дифференциальных уравнений указанные функции (С – произвольная постоянная).
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.1. y 5x |
|
|
для |
xy |
2 y . 11.2. |
y x 2 для xy |
|
dx dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
11.3. y ln cos x для |
|
y tg x . |
11.4. y Ce 4 x |
|
для |
y 4 y 0 . |
|
||||||||||||||||||||||||
11.5. y C x 3 для 3 y x y .11.6. |
y x C e x для |
y y e x . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||
11.7. y Ce |
|
|
|
для |
|
y |
|
3 y 0 . |
11.8. y |
|
|
для |
|
y |
|
x |
|
y |
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
11.9. y |
С 2 |
|
x 2 |
для |
|
x y dx xdy 0 .11.10. |
x 2 |
xy y 2 |
C |
|
|
|
для |
||||||||||||||||||
|
|
2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 2 y y 2x y 0 .11.11. y arctg x y C |
для |
|
x y 2 |
dy |
|
1. |
|||||||||||||||||||||||||
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11.12. Функция |
y φ x задана параметрически: |
x tet , |
|
y e t . Докажите, |
|||||||||||||||||||||||||||
что эта функция является решением уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 xy |
dy |
y 2 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В задачах |
11.13 11.18 составить дифференциальные уравнения заданных |
||||||||||||||||||||||||||||||
семейств кривых( С, С1 , С2 – произвольные постоянные). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
11.13. y Cx3 .11.14. |
|
x 2 y 2 С 2 .11.15. |
x 2 y 2 |
Cx 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
11.16. y sin x C cos x . 11.17. |
y C e x C |
2 |
e x .11.18. y (C C |
2 |
x)e x . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.19.Составить дифференциальные уравнение для семейства парабол, с вершиной в начале координат и осью, совпадающей: а) с осью абсцисс, б) с осью ординат.
11.20. Составить дифференциальное уравнение семейства эллипсов, имеющих постоянную большую ось, равную 2a .
11.21. Составить дифференциальное уравнение семейства линий, у которых отрезок касательной между точками касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.
В задачах 11.22 11.24 в семействе кривых найти ту, которая удовлетворяет заданным начальным условиям.
11.22. x |
2 |
y |
2 |
С , |
y 0 3 . |
11.23. y (C1 |
C2 x)e |
2x |
, y 0 1, |
|
||||||||
|
|
|
|
y 0 0 . |
||||||||||||||
11.24. |
y C1e |
x |
C2 e |
2x |
C3e |
x |
, y 0 0 |
, |
|
|
, |
|
|
|||||
|
|
|
y 0 1 |
y 0 2 . |
|
В задачах 11.25 11.27 для данного дифференциального уравнения построить поле направлений. Методом изоклин построить приближённо графики интегральных кривых.
11.25. y x 2 .11.26. y x y .11.27. y x 1.
В задачах 11.28 11.32 для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через заданную точку
M .
11.28. y y x 2 , |
M 1; 2 .11.29. y 2 y 2 , |
M 1; 2 .11.30. |
y xy , |
|||||||||||||||||
M 0 ; 1 .11.31. |
y x 2 y , |
M 3; 0 .11.32. |
y y x , M 4 ; 2 . |
|||||||||||||||||
|
|
§2. Уравнения с разделяющимися переменными |
||||||||||||||||||
В задачах 11.33 11.55найти общее решение (общий интеграл) данных |
||||||||||||||||||||
дифференциальных уравнений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11.33. y |
x |
.11.34. |
y |
y |
.11.35. y |
|
x |
0 .11.36. |
y |
y |
0 . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
y |
|
|
x |
|
|
y |
|
|
x |
|
|
|||||||
11.37. |
y xy 2 0 . |
11.38. |
yy |
1 |
.11.39. |
xy 2 y 1 . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2x 1 |
|
|
||||||||||||||||||
11.40. |
x 2 y x 1 0 . 11.41. |
xyy 1 x 2 .11.42. y 2 y 1 ctg x . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11.43. 1 y dx 1 x dy 0 .11.44. |
|
|
y 2 1 dx xydy .11.45. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
3 y 2 dx |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
88 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ydy x2 ydy . 11.46. ( xy x) y y 0 .11.47. y y ln y .
11.48. y ln y xy 0 .11.49. y 4 e x dy e x dx 0 .11.50. dy y 2 tg xdx 0.
11.51. |
6xdx 6 ydy 2x |
2 |
ydy 3xy |
2 |
dx .11.52. |
|
y xy sin x . |
|||||||
|
|
y 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
e1 x2 |
|
e2x |
|
|
||||||
11.53. |
2x 2xy 2 |
2 x 2 y 0 .11.54. |
tg ydx |
dy 0 . |
||||||||||
x 1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.55.y cos x y 1 sin x 0 .
Взадачах 11.56 11.70найти частное решение дифференциального уравнения (задача Коши) удовлетворяющее данным начальным условиям.
|
|
|
x |
2 |
dy y |
2 |
dx 0 , |
|
1 |
|
1 |
|
xdy 1 y |
2 |
dx |
0 , y 1 |
π |
|
|||||||
11.56. |
|
|
y |
|
|
|
|
. 11.57. |
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
11.58. x xy 2 dx x 2 y y dy 0 , y 0 1.11.59. ydx sin 2 |
xdy 0 , |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
cos |
2 |
xdy cos |
2 |
ydx 0 , |
y 0 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y |
|
|
1.11.60. |
|
|
|
.11.61. |
y |
sin xdx dy , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
cos x sin ydy cos y sin xdx , y π π . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y |
|
|
1.11.62. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.63.1 x2 dy ydx 0 , y 0 e .
11.64.1 x 2 dy 1 y 2 dx 0 , y 0 0 .
11.65. |
e x dy 2 y dx 0 , y 0 0 .11.66. ln y x dy ydx , |
y 1 1 . |
|
||
11.67. |
e x dy 2x 1 dx 0 , y 0 0 .11.68. |
yy |
e y 0 |
, y 1 |
0 . |
|
|||||
|
|
x |
|
|
|
11.69. |
y xe x y , y 2 2 .11.70. x y 6 1 dx y 2 x 4 1 dy 0 , |
y 0 1. |
11.71. Определить и построить кривую, проходящую через точку 2 ; 2 , если
отрезок любой касательной к кривой, заключённый между осями координат, делится точкой касания пополам.
11.72. Определить и построить кривую, проходящую через точку 1; 1 , для
которой отрезок, отсекаемый на оси Ox касательной к кривой в любой её точке, равен квадрату абсциссы точки касания.
11.73. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N 0 бактерий. Из эксперимента известно, что скоростьразмножения
89