10046

40

Рис. 2.8. Трубы с наружным спиральным оребрением:

а – навивным паяным; б – накатным на монометаллической трубе; в – накатным на биметаллической трубе; г – навивное с завальцовкой в канавку; д – L-образное навивное; е – L-образное с навивкой внахлест.

2.3 Методы сравнения поверхностей теплообмена по энергетическим

показателям

Выбор критериев для сравнения поверхностей теплообмена зависит от их назначения и области применения. Например, для транспортных теплооб-

менников важнейшими являются весогабаритные характеристики при заданных тепловой мощности и затратах мощности на прокачку охлаждающей среды. От этого зависят затраты топлива на перемещение объекта. Для стационарных

41

установок, к которым, с полным основанием, можно отнести воздушные кон-

денсаторы теплосилового цикла, на первое место выходит соотношение между тепловой мощностью и затратами мощности на прокачку охлаждающего возду-

ха. Тем не менее, анализ работ, посвященных рассматриваемому вопросу, пока-

зывает, что в настоящее время выработан универсальный подход, позволяющий осуществить выбор критериев сопоставления поверхностей с учетом всех ос-

новных факторов, существенно влияющих на их эффективность [1, 9, 10, 14, 15, 37]. Суть этого подхода сводится к тому, что общая эффективность теплооб-

менника или теплообменной поверхности может быть представлена в виде про-

изведения трех безразмерных показателей

η η1η2η3 ,

(2.16)

где η1, η2, η3 – коэффициенты, учитывающие влияние геометрических парамет-

ров образца и эталона, способа интенсификации теплообмена, теплофизических свойств теплоносителей и поверхности теплообмена.

3. РАСЧЕТ ТРЕНИЯ И ТЕПЛООБМЕНА НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ С ПРЕРЫВИСТЫМ ЛАМИНАРНЫМ ПОДСЛОЕМ

3.1 Пограничный слой при продольном обтекании пластины

Трение при продольном обтекании пластины.

При турбулентном течении жидкости около поверхности, как известно,

поток рассматривают как структуру, состоящую из области невозмущенного потока, в котором скорость постоянна и не отличается от скорости набегаю-

щего потока U, и небольшой пристенной области (пограничный слой), где про-

исходит значительное изменение скорости движения жидкости от 0 до U. В

свою очередь, пограничный слой рассмотрим как двухслойную структуру, со-

стоящую из области ламинарного подслоя и ядра турбулентного пограничного слоя. В [4, 12] принято, что ламинарный подслой будет периодически разви-

42

ваться до некоторой придельной толщины δ0, после чего разрушаться

(рис. 3.1). Lкp – длина, на которой происходит безотрывное развитие подслоя.

Рис. 3.1. Модель турбулентного пограничного слоя на пластине с периодически прерывистым ламинарным подслоем.

Принимается также, что в турбулентном ядре профили скоростей под-

чиняются степенному закону

		1
u		y
				n
					,	(3.1)
U		δ

а в пристенном слое развивается в соответствии с решением Г. Блазиуса для ламинарного пограничного слоя на пластине [21, 34]:

δ		5	Reкр	ν,	(3.2)
	0
			u0

где и0 – скорость на внешней границе ламинарного подслоя, причем принято допущение, что и0 ≠ f (у) при 0 ≤ у ≤ δ0.

Используя степенной закон распределения скоростей в турбулентном по-

граничном слое (3.1) при у = δ0, имеем:

				1
		δ
			0		n
u0	U					.	(3.3)
	δ

Тогда из (3.3) и решения Блазиуса (3.2) определим скорость

					1
					ν
		5 Reкр					n 1
u0	U					.			(3.4)
		U
					δ

43

Выражение для трения на поверхности обтекаемого тела по макси-

мальной скорости:
τ		C		ρ		U 2			,	(3.5)
	ст		fx
					2
а по скорости на границе подслоя и0:
		C					u2
τ					ρ		0		,	(3.6)
	ст		f 0
					2

где Cf0 – средний коэффициент трения на участке длиной Lкp, который, если воспользоваться решением Г. Блазиуса [34] для ламинарного пограничного слоя на пластине, можно представить в виде зависимости

C	f 0	1,328 Re 0,5 .	(3.7)
		кр

Принимая во внимание (3.5) и (3.6) и учитывая (3.7), получаем

2

C 1,328 Re 0,5 u0

fx кр U

или

	2						2
				U δ n 1
	C fx 1,328 5n 1 Reкр0,5								.
					ν

А из уравнения импульса для степенного распределения скоростей [34]

δ 1 n 2 n C

fx

x ,

n

2

n 1

1

n 2 n

n 1

n 1

n 3

n 3

1,328

2

0,5

n 1

n 3

2

n 3

δ

5n 1 Reкр

n 1

Ren 3 .

n 1

n

2

И так как C fx

2

δ

1 n 2 n

1

,

x

n

1 n 2 n

2

2

n 1

n 3

1,328

2

0,5

n 1

n 3

2

n 3

n 3

C fx 2

5n 1 Reкр

n 1

Rexn 3 .

n

n 1

2

При n = 7

C fx 1,193 Reкр0,3 Rex0,2

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

44

и Reкр = 22150

C fx 0,0576 Rex0,2 .

Полученная зависимость совпадает с решением из Из (3.3) и (3.9) следует:

					1						1						1		1
			1 n	2 n n 3			n 3
	u									n 3				1,328		n 3
	0																		5n 3
	U		n				n 1							2

Так как δ0/δ = (u0/U)n,

n

n

n

n

1 n

2 n n 3

n 3

δ

0

n 3

1,328

n 3

5n 3

δ

n

n 1

2

При n = 7

δ0 / δ 0,688 Re0,7кр Rex0,7

и Reкр = 22150

[34].

	1			1
Ren 3			Ren 3 .
кр				x

nn

Reкрn 3 Rexn 3 .

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(3.15)

δ

0

/ δ 708,6 Re 0,7 .

x

Если в формулу (3.14) подставить (3.9) получим

1

1

1

n 2

1 n

2 n n 3

n 3 n 3

1,328

n 3

δ0

5n 3

n

n

1

2

При n = 7

δ

0

5, 275 x Re0,4

Re 0,9

кр

x

и Reкр = 22150

(3.16)

		0,5	n 1		n 2
	Re		n 3		Re n 3	x. (3.17)
		кр			x

(3.18)

δ	0	277,85 x Re 0,9 .	(3.19)
		x

Теплообмен в пограничном слое.

Используем аналогию процессов переноса импульса и тепла в погра-

ничном слое [1,2], учитывая влияние числа Pr на профиль температур введе-

нием поправки Prm :

t tст

T tст

				1
	u			y		n
		Pr					Pr .	(3.20)
U				δ

45

Из зависимостей (3.2) и (3.20) следует:

t

1

t

0

ст

u

0

m

δ

0

n

m

Pr

Pr

T tст

U

δ

или с учетом (3.9):

1

1 n

2 n

1

1

1

1

1

t

n 3

n 3

t

0

ст

n 3

1,328

n 3

m

5n 3

Reкрn 3 Rexn 3 Pr

. (3.21)

T tст

n 1

n

2

Тогда из условия равенства потоков: αx T tст α0

t0

tст следует

St x

αx

α0 t0 tст

,

(3.22)

ρUCP T tст

ρUCP

2

0,664 Re

0,5 Pr

ρ u

C

где α

0

кр

3

0

P

– средний коэффициент теплоотдачи при

ламинарном обтекании пластины, или

n 3

2

1 n

2 n

2

n 1

2

0,5(n 1)

2

2

n 3

1,328

m

n 3

n 3

St x

5n 3

Reкр n 3

Rexn 3 Pr

3 , (3.23)

n 1

n

2

где m = 0,067.

При n = 7 и Reкр = 22150

St

x

0,0297 Re 0,2

Pr 0,6 .

(3.24)

x

Зависимость (3.24) практически совпадает с решением Э. Польгаузена,

приведенным в [34].

Зависимость для числа Стэнтона можно получить также, решив урав-

нение

St x

δ

1 n 2 n

1

Pr 0,6

δ

t

1 n

2 n 1

x

.

n

x

n

46

3.2 Установившееся течение в трубе

Трение при развитом течении в трубе.

Исходные соотношения:

Степенной закон для распределения скоростей для установившегося изо-

термического течения в трубе с учетом δ = R

		1
u		y
				n
					.
Umax
		R

Касательное напряжение на стенке по средней скорости потока

τ		λ ρ	uср2	.
	ст
		8

(3.25)

(3.26)

Касательное напряжение на стенке по скорости на границе ламинарного подслоя и турбулентного ядра пограничного слоя:

		1,328 Re 0,5	ρ	u2
τ				0	.	(3.27)
	ст
		кр		2

Из [34] известно, что средняя скорость связана с максимальной скоростью следующим соотношением:

1				1			1
			1			2
	n			n
uср Umax								,	(3.28)
				2

причем d = 2R.

Приравнивая формулы для касательных напряжений (3.26) и (3.27), полу-

чаем:

λ 1,328 Reкр0,5	8		u	0	2
					;	(3.29)
	2
		u
			ср

										n
	1			1
										n 1
u0				1			2					1		0,5				1
		n			n
												10n 1 Ren 1					Ren 1			(3.30)
uср					2									кр			d

47

и подставив зависимость (3.30) в формулу (3.29), окончательно получаем:

2 n

1

1

n 1

1

2

2

0,5 (n 1)

2

n

n

λ 5,312

10n 1 Re

n 1

Re n 1 .

(3.31)

2

кр

d

При n = 7

λ 13, 464 Re 0,5

(n 1)

n 1

Re 0,25 ,

(3.32)

кр

d

и Reкр = 22150 для установившегося турбулентного течения получаем

λ 0,316Re 0,25 ,

(3.33)

d

что соответствует эмпирическому закону Г. Блазиуса [34].

Теплообмен при гидродинамически стабилизированном и термически развитом (δ = R, δ1 = R) течении в трубе.

Если использовать выполнение аналогии переноса импульса и теплоты в пограничном слое при Pr = 1, когда профили скоростей и температур подобны

[21, 34], а также учесть поправку для профиля температур Prm , тогда

t tст					1					t0 tст
		u			y
							n
			Pr					Pr	или
Tmax tст										Tmax tст
	Umax				R

u0

Umax

					1
			δ
	m			0		n		m
Pr							Pr		.
		R

Используя зависимость (3.28), получаем:

																								n
								1										1
																							n 1										1
					1								1				2																	0,5						1
	t0	tст						n											n										u0			n												m
				10 n 1																														Reкрn 1 Redn 1 Pr
	tср tст																																												.	(3.34)
																2										Umax
И с учетом (3.30) окончательно:
																													n
															1									1
																													n 1
																	1			2											0,5					1
			t0	tст						1			n											n																	m
					10 n 1																										Reкрn 1 Redn 1 Pr
																																										.				(3.35)
			tср tст														2
Тогда из условия равенства потоков: α tср tст α0 t0																																							tст следует

48

St	α		α0 t0 tст		(3.36)
				,
	ρUсрCP		ρUсрCP tср tст

где α0 – средний коэффициент теплообмена при ламинарном обтекании пласти-

ны (см. пояснения к формуле (3.22)).

Из (3.35) и (3.36) следует:

											2n
			1					1
											n 1
	1					2								2		0,5(n 1)		2		m	2
St 0,664			n					n					10 n 1			Reкр n 1	Redn 1 Pr			3		,	(3.37)
					2

где m = 0,067.

При n = 7

St 1,683 Re 0,375 Re 0,25		Pr 0,6	(3.38)
кр	d
и Reкр = 22150
St 0,041 Re 0,25	Pr 0,6 .		(3.39)
d

Формула (3.39) отличается от используемой часто в расчетах эмпири-

ческой зависимости St = 0,023 Re–0,2 Pr–0,6, что свидетельствует о необходимости более точного учета отличия температурного профиля от скоростного при те-

чении в трубе. Решения для пластины и трубы с использованием уточненных температурных профилей приведены ниже (см. пп. 3.5 и 3.6).

3.3 Оценка протяженности зоны рециркуляции

Для оценки протяженности зоны рециркуляции примем за основу схему потока, представленную на рис. 3.2. Опытные данные ряда исследователей по-

казывают, что максимальная скорость возвратного течения, на расстоянии lр / 2

от сечения отрыва, равна приблизительно 0,2U. После зоны рециркуляции по-

ток присоединяется. Этот процесс повторяется периодически. Схема такого те-

чения представлена на (рис. 3.2).

49

Рис. 3.2. Схема потока с зонами рециркуляции в подслое.

Протяженность зоны присоединения потока будем обозначать х1. Зоны развития ламинарного подслоя – х2. Зоны рециркуляции – х3.

Число Рейнольдса в точке отрыва потока:

		Re				0, 2Ux3	.	(3.40)
			x отр
						ν
Толщина подслоя в точке отрыва при n = 7:
δ	0	277,099 x Re 0,9 .						(3.41)
							x
Опытные данные показывают,				что в зоне рециркуляции течение анало-

гично обтеканию обратного уступа, поэтому можно применять п = 3 для фор-

мулы (3.6), т. е.:

δ3 1,16 Rex313

или

δ3 1,16 x3 x 13 0, 2 13 Rex13 .

Тогда из условия равенства δ0 и δ3 следует: x3 1651,127 x Rex0,85

и

x			1651,127 x Re 0,85	5,9586 Re0,05 .
	3		x
δ			277,099 x Re 0,9	x
	0
			x

(3.42)

(3.43)

(3.44)