10290
.pdf21.1. Дифференциал.Прежде, чем ввести понятие дифференциала, рассмотрим следующую задачу: пусть скорость велосипедиста в данный момент
v0 12 км час 103 м сек .
Какое расстояние он проедет за следующие 30 секунд? Ответ, очевидно, не однозначный:
1)если он продолжает двигаться с той же скоростью, то пройденный путь
S v0 t 100 м;
2)если он «ускорился» (или движется под гору), то расстояние
S 100 м;
3)если устал (или движется в гору), то пройденное им расстояние
S 100 м.
Самый реальный прогноз (лучше иметь какую-то информацию, чем неопределённость)
S v0 t S (t0 ) t ,
причём этот прогноз тем точнее, чем меньше промежуток времени t .
Например, |
за |
время |
t 3cek. |
велосипедист |
проедет расстояние |
S 10м, и |
эта |
величина «почти» |
точная, даже |
если велосипедист |
сознательно начнёт менять скорость своего движения.
Теперь рассмотрим математическую задачу. Пусть задана некоторая функция y f (x) , и мы умеем вычислять её значение в точке x0 , т.е. f (x0 )
известно, а требуется найти её значение в точке x0 x при заданном |
x |
. Допустим, что процедура «прямого» вычисления значения функции |
f ( |
x0 x ) нам недоступна. Например, нужно найти arctg1.02 , зная значение
arctg1 |
4 |
0.7854 . Возникает естественное желание: в равенстве |
|
|
|
|
|
f ( x0 x ) = f (x0 ) + y |
найти, хотя бы приближённо, приращение функции y . Оказывается, это можно сделать, если данная функция дифференцируема в точке x0 . Действительно, в этом случае в точке (x0 , f (x0 )) существует касательная к
150
графику функции y f (x) . Тогда приращение функции |
y можно |
приближённо заменить приращением ординаты касательной |
dy (см. рис. |
21.1)
y dy f (x0 ) x
|
|
|
|
Рис. 21.1 |
|
||
Таким образом, приращение функции y |
представлено в виде двух |
||
слагаемых |
|
||
y f (x0 ) x ( x) . |
(21.1) |
Первое из них называют дифференциалом функции в данной точке и
обозначают символом
dy f (x0 ) x .
Ввиду важности этого понятия, только что определённого кратко с помощью формулы (21.1), приведём его словесную формулировку, акцентирующую внимание на наиболее характерных свойствах дифференциала.
Дифференциалом функции в данной точке называется главная часть приращения функции в этой точке, линейная относительно приращения независимой переменной x .
Второе слагаемое (заметим, что оно может быть любого знака) представляет собой бесконечно малую величину более высокого порядка,
чем x . Напомним, что есть специальный символ |
( x) o( x) |
|
(читается: равно o - малое от |
x ). Действительно, сравнивая бесконечно |
|
малые ( x) y f (x0 ) x |
и x , имеем |
|
151
|
( x) |
|
|
y |
|
|
f (x0 ) f (x0 ) 0 . |
lim |
x |
lim |
|
x |
f (x0 ) |
|
|
x 0 |
x 0 |
|
|
|
|
Сравним теперь бесконечно малые y и dy
lim |
y |
lim |
|
f (x0 ) x ( x) |
dy |
|
f (x0 ) x |
||
x 0 |
x 0 |
Другими словами, обе бесконечно малые
|
1 |
1 |
lim |
( x) |
1 |
|
|
||||||
|
|
|||||
|
|
f (x0 ) x 0 |
x |
|
y и dy эквивалентны. В связи
с этим дифференциал называют главной частьюприращения функции. Убедимся на следующем примере, что дифференциал действительно
составляет «львиную» долю приращения функции. Площадь квадрата со стороной x равна S (x) x2 . Вычислим приращение этой функции
S (x x)2 x2 2x x ( x)2 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 21.2 |
|
|
|||
Из рисунка видно, что первое слагаемое, |
представляющее собой |
дифференциал, равно площади двух прямоугольников, а второе равно площади квадрата со стороной x .
Заменяя приращение функции дифференциалом, мы получаем универсальную формулу для вычисления значения функции в точке близкой
к точке x0 |
|
|
|
|
|
|
|
f (x0 x ) f (x0 ) f (x0 ) x . |
|
(21.2) |
|||||
Применим её к поставленной выше задаче вычисления |
arctg1.02 |
||||||
arctg (1 0.02) |
|
1 |
|
|
|
|
0.79 . |
|
|
|
x 0.7854 |
0.5 0.02 |
|||
|
2 |
||||||
4 |
|
1 x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
152 |
|
|
Отметим еще раз геометрическое содержание приближённого равенства (21.2), переписав его в других обозначениях
y y0 f (x0 )(x x0 ) .
Отбрасывая в приращении функции бесконечно малую величину более высокого порядка, чем x , мы заменяем кривую в окрестности точки x0
её касательной в этой точке, т.е. линеаризуем данную функцию, заменяя её
линейной функцией.
Заметим, что дифференциал независимой переменной равен еёприращению, т.е.
d x x .
Пусть f (x) x , тогда |
d f (x) d x f |
|
(x) x |
|
||
|
x x x . |
|||||
Таким образом, дифференциал функции вычисляется по формуле |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
d f (x) f (x)d x . |
|||||
Отсюда получаем выражение производной через дифференциалы |
||||||
|
f (x) |
d y |
. |
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
d x |
|
|
Отметим еще так называемое свойство инвариантности |
||||||
дифференциала. Пусть |
сначала имеем функцию y f (u) , где u – |
независимая переменная. Тогда по определению dy f (u)du .
В случае же, когда u (x) , используя формулу производной сложной функции, получим
dy f (u) (x)dx f (u)du .
Таким образом, выражение для дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой или зависимой переменной.
Дифференциалы высших порядков определяются по индукции: дифференциал n -го порядка равен дифференциалу от дифференциала (n 1) -го порядка
d n x d (d n 1x) .
153
Для n 2 имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 |
y d |
|
dy |
|
f |
|
x |
|
d x d x |
f |
|
x |
|
d x2 . |
||
( dx – единый символ, поэтому в равенстве |
(dx)2 dx2 скобки опускают). |
|||||||||||||||
Отсюда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
d 2 y |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21.2. Правило Лопиталя. Франсуа маркиз де Лопиталь (1661-1704) математик-любитель, ученик Иоганна Бернулли, автор первого печатного учебника курса дифференциального исчисления.
Под «правилом Лопиталя» понимают один из способов вычисления некоторых пределов. Пусть речь идёт о вычислении предела отношения
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f (x) |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
причём известно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lim f (x) f (x0 ) 0 |
, lim g(x) g(x0 ) 0 . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|||
Предположим, что функции |
f (x) |
|
|
и g(x) имеют в точке |
x0 |
непрерывные |
|||||||||||||||
производные и |
g (x0 ) 0 . Рассмотрим разности f |
и |
g , выделив их |
||||||||||||||||||
главные части: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f f (x) f (x0 ) f (x0 ) x ( x) , |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
g g(x) g(x0 ) g (x0 ) x ( x) , |
|
|
|
|
||||||||||||||
где x x x0 , |
а и |
бесконечно малые более высокого порядка, чем |
|||||||||||||||||||
x , т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
( x) |
0 , lim |
( x) 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x x0 |
|
x |
|
|
|
|
x x0 |
x |
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, lim |
f (x) |
lim |
f (x) f (x0 ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x x0 |
x x0 |
g(x) g(x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
f (x0 ) x ( x) |
|
lim |
|
f (x0 ) ( x) x |
|
f (x0 ) |
lim |
f (x) |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x x0 |
g (x0 ) x ( x) |
|
x x0 |
g (x0 ) ( x) |
g (x0 ) |
x 0 |
g (x) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
154 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнее равенство следует из непрерывности производных (предел непрерывной функции в точке равен её значению в этой точке). Отсюда
получаем правило Лопиталя для неопределённости вида |
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
lim |
f (x) |
lim |
f (x) |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x x0 |
g(x) |
x x0 |
g (x) |
|
Отметим, |
что это правило остаётся справедливым при x0 и в случае |
||||||
неопределённости вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
окажется, |
что f x0 g x0 0 и вторые производные |
непрерывны, то правило Лопиталя можно применить к нахождению предела отношения производных. Например,
|
ex e x 2x |
|
|
|
0 |
|
|
|
ex e x 2 |
|
0 |
|||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x sin x |
|
|
|
1 cos x |
|
||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
0 |
x 0 |
|
|
|
0 |
||||||||||
|
|
ex e x |
|
|
|
0 |
|
|
|
ex |
e x |
|
|
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 0 |
sin x |
|
|
|
0 |
|
x 0 |
|
cos x |
|
|
|
||||||||
Подчеркнем, что правило Лопиталя применимо только к раскрытию |
||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
неопределенностей |
|
вида |
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
. |
Остальные виды |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
неопределенностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ ] , |
|
[0 ] , |
|
[1 ] , [00 ], [ 0 ] |
|
|
могут быть приведены к указанным выше.
Например,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim x ln x [0 ] lim |
|
lim |
|
x |
|
|
|
0 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
x 0 |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Неопределенности последних трех видов сводятся к |
|
|
неопределенности |
|||||||||||||||
[0 ] с помощью логарифмирования. Например, |
|
|
|
|
получим второй |
|||||||||||||
замечательный предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim 1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
155 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем предел логарифма этого выражения
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ln 1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
(1 1 x) |
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
x |
|
|
lim |
|
1 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
x |
2 |
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, искомый предел равен
|
|
|
1 x |
1 |
|
|
lim |
1 |
|
|
|
e |
e . |
|
||||||
x |
|
|
x |
|
|
156
Лекция 22. Исследование функций и построение их графиков
В аналитическомвыражении, которым чаще всего бывает задана функция, содержится вся информация о её свойствах. График функции делает эти свойства легко обозримыми. Поэтому нужно уметь строить график функции по формуле, которой она задана. Самый простейший приём
– это построение «по точкам». Однако он требует большого объёма вычислений и при этом могут быть потеряны характерные особенности исследуемой функции. Приёмы исследования, основанные на дифференциальном исчислении, позволяют именно эти особенности и уловить. Так, например, один факт существования производной функции в точке x0 даёт возможность линеаризовать функцию в окрестности этой
точки. Дифференцируемость функции, как мы выяснили ранее, равносильна представлению её приращения в виде
y f (x0 ) x ( x) ,
где ( x) – бесконечно малая более высокого порядка, чем x . Заменяя
приращение функции y |
дифференциалом dy f (x0 ) x , т.е. полагая |
|
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) , |
мы заменяем в окрестности точки x0 кривую y f (x) касательной к ней в
этой точке. Нельзя ли это приближённое равенство превратить в точное? Такое равенство, выражающее приращение дифференцируемой функции через приращение её аргумента, было получено Лагранжем (1736-1813гг).
22.1. Формула Лагранжа имеет вид
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 ) , |
x0 x . |
(22.1) |
За знак равенства в ней мы «заплатили» тем, что не знаем точного положения точки . Эту формулу называют также формулой конечных
приращений.
Из (22.1) следует, что на интервале (x0 , x) существует точка , в которой
f ( ) f (x) f (x0 ) tg , x x0
157
т.е. касательная в этой точке параллельна прямой |
AB (см. рис. 22.1). Из |
рисунка видно, что является абсциссой |
точки P , полученной |
перемещением прямой AB параллельно себе. Формулу конечных приращений или формулу Лагранжа (22.1) мы будем неоднократно применять в дальнейшем.
Рис. 22.1
22.2.Признак монотонности функции. Применим формулу Лагранжа
кисследованию поведения функции на некотором промежутке (a,b) .
Напомним, что функция называется возрастающей в этом промежутке,
если для любых значений |
x1 x2 |
выполняется неравенство f (x1) f (x2 ) . |
|||
Выясним, каков же признак того, что функция возрастает. |
|||||
Пусть производная функции положительна во всех точках промежутка |
|||||
(a,b) . Для произвольных x1 x2 |
из этого промежутка применим формулу |
||||
конечных приращений |
|
|
|
|
|
f (x2 ) f (x1 ) |
|
|
|
||
f ( )(x2 x1) , x1 x2 . |
|||||
Поскольку правая часть этого равенства положительна, то |
f (x2 ) f (x1) , т.е. |
||||
f (x) – возрастающая |
функция. |
В |
предположении, |
что производная |
|
|
0) , получим, что функция – неубывающая в этом |
||||
неотрицательна ( f (x) |
|||||
промежутке, т.е. f (x2 ) f (x1) . |
|
|
|
||
Аналогичным образом |
можно |
получить признаки убывающей и |
|||
невозрастающей функций: |
|
|
|
|
|
f (x) 0 |
и f (x) 0 . |
|
Геометрически эти признаки означают, что в точках возрастания функции касательная к кривой составляет острый угол с положительным направлением оси абсцисс, а в точках убывания – тупой. В качестве примера найдем промежутки возрастания и убывания функции
158
|
y |
1 |
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|||||||
|
1 x2 |
|
||||||||
|
y |
|
|
2x |
|
|
|
|
0, |
x 0 |
Найдем производную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||
|
(1 |
x |
|
) |
|
|
0, |
x 0 |
Рис. 22.2
Следовательно, в промежутке ( ,0) эта функция возрастает, а в промежутке (0, ) – убывает.
22.3. Экстремумы. Под экстремумом функции в точкепонимают её максимальное или минимальное значение в некоторой окрестности этой точки. Говорят, что точка x0 – точка максимума (минимума), если в
|
|
|
|
|
|
некоторой |
окрестности этой |
точки |
( |
x x0 |
) выполняется |
неравенство |
|
|
|
|
|
|
f (x) f (x0 ) , |
f (x) f (x0 ) . |
|
Как находить экстремумы, зная аналитическое выражение функции? Заметим, что точки экстремумов разделяют интервалы возрастания и убывания функции (точки максимумов) и наоборот (точки минимумов). Исходя из приведенных выше условий монотонности функции, естественно предположить, что в точках экстремумов производная функции обращается в ноль или не существует. Для дифференцируемых функций имеет место следующее.
Необходимое условие экстремума. Пусть функция имеет конечную производную в (a,b) и x0 – точка максимума (для определенности). Тогда
производная в этой точке равна нулю f (x0 ) 0 , т.е. касательная в точке
экстремума горизонтальна (такие точки иногда называют стационарными). Действительно, по определению производной
159