10296
.pdfВыведем теперь уравнение эллипса. Для этого введём прямоугольную декартову систему координат. В качестве оси абсцисс мы возьмём прямую, проходящую через F1 и F2 , считая её направленной от F1 к F2 , начало
системы координат поместим в середине отрезка F1F2 (рис. 25.1).
Рис. 25.1
В этой системе координат для произвольной точки M координаты обозначим через x и y . Фокусы, оказавшись теперь на оси Ox
симметрично относительно начала, будут иметь координаты F1 c;0 и F2 c;0 . Расстояния MF1 и MF2 между точками заменим их выражениями через координаты. Получим
x c 2 y2 x c 2 y2 2a .
По существу, это соотношение представляет собой уравнение эллипса.Ему удовлетворяют координаты точек в том и только том случае, когда точки лежат на эллипсе. Проведём алгебраические преобразования, упрощающие эту запись. Для этого уединим в уравнении первый радикал, возведём в квадрат обе части полученного равенства
|
|
|
x c 2 y2 4a2 4a |
x c 2 y2 x c 2 y2 |
и приведём его к виду a x c 2 y2 a2 cx . Возведя в квадрат обе части последнего равенства, найдём
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2 .
180
Мы отмечали, что a c , значит a2 c2 0 , и можно ввести в рассмотрение
|
|
|
|
|
|
|
|
новую величину b |
|
a2 c2 (при этом |
b a ). Тогда уравнению можно |
||||
придать вид b2 x2 a2 y2 a2b2 или |
|
||||||
|
x2 |
|
|
y2 |
|
||
|
|
|
|
1. |
(25.2) |
||
|
a2 |
b2 |
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.
Особенностью уравнения является то, что оно содержит x и y только в чётных степенях, поэтому если точка x, y принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки x; y , x; y , x, y . Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ox и Oy , также относительно начала
координат. Оси симметрии эллипса называются его осями, а точка пересечения осей – центром эллипса. Точки, в которых эллипс пересекает свои оси, называются его вершинами. Положив y 0 в уравнении (25.2),
найдём две вершины A1 a;0 и A2 a;0 на оси Ox . Положив x 0 , найдём две точки пересечения эллипса с осью Oy : B1 0; b и B2 0;b (рис. 25.1). Итак, эллипс имеет четыре вершины A1, A2 , B1, B2 , которые ограничивают на осях отрезки A1 A2 2a и B1B2 2b (эти отрезки тоже принято называть осямиэллипса), а ОA1 a и ОB1 b называются соответственно большой и
малой полуосямиэллипса.
Исследовав форму эллипса путём анализа его канонического уравнения, можно теперь непосредственно построить в первой четверти
|
|
b |
|
|
|
|
график функции |
y |
|
a2 x2 и, отразив его симметрично относительно |
|||
a |
||||||
|
|
|
|
|
осей координат, получить овальную замкнутую кривую, изображённую на рисунке 25.1. Отметим, что при этом все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми x a , x a , y b , y b .
Введём ещё одну величину, характеризующую форму эллипса. Отношение расстояния между фокусами эллипса к длине его большой оси
называется эксцентриситетом эллипса: ac . Величина эксцентриситета
0 1, так как a c 0. Поскольку
|
2 |
|
c2 |
a2 b2 |
b 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, то |
|
a |
2 |
a |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
b 2 |
b |
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
2 |
|
||||||
|
1 |
|
|
, |
|
|
. |
|||
|
a |
|
||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
Видим, что эксцентриситет определяется соотношением осей эллипса. В случае 0 (если a b ) эллипс превращается в окружность с уравнением
181
x2 y2 a2 . Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше отношение
b и тем больше эллипс вытянут. a
25.2. Гипербола. Множество всех точек M плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек F1 и F2 есть величина
постоянная, называется гиперболой. Указанная разность берётся по абсолютному значению и обозначается 2a . Точки F1 и F2 называются
фокусами гиперболы. Как и ранее, 2c F1F2 - расстояние междуфокусами.
Таким образом, если |
точка M гиперболы находится ближе к фокусу F2 |
||||||||||
(рис. 25.2), |
выполняется равенство MF1 MF2 2a , а если |
M находится |
|||||||||
ближе к фокусу F1 , то MF2 MF1 |
2a . Из рассмотрения суммы длин сторон |
||||||||||
треугольника MF1F2 |
|
видим, |
что |
MF1 MF2 F1F2 и MF2 MF1 F1F2 . |
|||||||
Поэтому, |
в |
зависимости |
от расположения точки M по отношению к |
||||||||
фокусам, |
|
MF1 MF2 |
F1F2 или MF2 MF1 F1F2 . В наших обозначениях |
||||||||
получаем |
2a 2c или a c . |
|
|
|
|
|
|
||||
Для получения уравнения вводим систему координат так, чтобы |
|||||||||||
фокусы F1 |
и F2 лежали на оси Ox , |
а начало координат совпадало с |
|||||||||
серединой |
|
отрезка F1F2 |
(рис. 25.2). В этой системе |
координаты |
|||||||
произвольной точки M обозначим x |
и y , а координаты фокусов будут |
||||||||||
соответственно: F1 c;0 , |
F2 c;0 . Заменив расстояние MF1 |
и MF2 между |
|||||||||
точками их выражениями через координаты, получим |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x c 2 y2 |
x c 2 y2 2a . |
|
После преобразований, аналогичных тем, которые были проделаны для уравнения эллипса, соотношение приобретает вид
xc a2 a |
x c 2 y2 . |
Возведя в квадрат и упростив, получим |
c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2 . |
Учитывая, что, в отличие от эллипса, для гиперболы a c , можно ввести
b2 c2 a2 . Тогда уравнение примет вид |
b2 x2 a2 y2 a2b2 или |
||||
|
x2 |
|
y2 |
1. |
(25.3) |
|
a2 |
b2 |
182
Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.
Так как уравнение (25.3) содержит x и y только в чётных степенях, то гипербола симметрична относительно осей Ox и Oy , а также относительно
начала координат. Оси симметрии гиперболы называются её осями, а точка пересечения осей – центром гиперболы. Положив y 0 в уравнении (25.3),
найдём две точки пересечения гиперболы с осью Ox : A1 a;0 , A2 a;0 , которые называются вершинами гиперболы. Если взять x 0 в уравнении
(25.3), то получим y2 b2 . Следовательно, с |
осью Oy |
гипербола не |
||||||||||
пересекается. Отрезок |
A1 A2 2a принято называть действительной осью |
|||||||||||
гиперболы (а ОA1 a |
– действительной полуосью); отрезок B1B2 2b , |
|||||||||||
соединяющий точки B1 0; b и B2 0;b , называется мнимой осью (ОB1 b |
||||||||||||
– мнимой полуосью). Прямоугольник со сторонами 2a и 2b |
называется |
|||||||||||
основным прямоугольником гиперболы (рис. 25.3). |
|
|
||||||||||
Из уравнения (25.3) следует, что если |
|
x |
|
a , то |
y |
не имеет |
||||||
|
|
|||||||||||
действительных значений, то есть, нет |
точек |
гиперболы |
с |
абсциссами |
||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x a . Должно выполняться условие |
|
|
1 |
или |
x |
a . Это означает, |
||||||
|
a2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что гипербола состоит из двух частей: её точки расположены справа от прямой x a , образуя правую ветвь, и слева от прямой x a , образуя левую ветвь. Наконец, из уравнения (25.3) видно, что с возрастанием x
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
возрастает и |
|
y |
|
, так как разность |
|
|
сохраняет постоянное значение. |
|
|
|
a2 |
b2 |
|||||
|
|
|
||||||
Тем самым приходим к заключению: если y 0 , то точка M x, y при |
||||||||
возрастании x , |
начиная от x a , движется всё время «вправо» и «вверх»; |
|||||||
если y 0 , |
то |
M x, y движется |
«вправо» и «вниз». Так образуется |
неограниченная правая ветвь. При x от значения x a получается левая неограниченная ветвь гиперболы (рис. 25.2).
183
Рис. 25.2
Присмотримся более внимательно к тому, как именно точка M «уходит в бесконечность». В лекциях по математическому анализу было введено понятие наклонной асимптоты графика функции. Из уравнения
(25.3) выразим переменную y ba x2 a2 . Далее для полученных двух
функций используем формулы нахождения коэффициентов уравнения y kx d наклонной асимптоты при x
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
|
b |
|
|
|
a |
2 |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
k lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
x |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
d lim f x kx |
lim |
|
|
x2 a2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
b |
lim |
x2 a2 |
|
|
|
x2 a2 |
|
|
b |
lim |
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
0 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
a |
|
||||||||||||||||||
|
a x |
|
x |
2 |
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a x |
|
2 |
2 |
x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Следовательно, |
прямые |
y |
b |
x |
являются |
наклонными |
асимптотами |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правой ветви гиперболы при x . Для левой ветви из соображений симметрии при x получаются те же асимптоты.
Итак, построение гиперболы по каноническому уравнению (25.3) следует начинать с изображения основного прямоугольника, продолжая
184
диагонали которого мы получим асимптоты. Обе бесконечные ветви рисуем неограниченно приближающимися к ним (рис. 25.2). Фокусы находятся на
|
|
|
|
|
расстоянии c a2 |
b2 от начала координат. |
|
||
Гипербола с равными полуосями a b |
называется равносторонней, |
|||
её каноническое |
уравнение имеет вид |
x2 y2 a2 . Основной |
прямоугольник равносторонней гиперболы становится квадратом; прямые y x и y x являются асимптотами, перпендикулярными друг к другу.
Отношение расстояния между фокусами к расстоянию между вершинами гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и
обозначается |
буквой : |
|
|
c |
. Для |
|
гиперболы |
|
1, |
так как c a . |
||||||||||||||
|
a |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
c2 |
a2 b2 |
b 2 |
|
|
b 2 |
b |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
1 . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, то |
1 |
|
, |
|
|
||||||||
|
a |
2 |
a |
2 |
|
|
a |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
Следовательно, как и для эллипса, эксцентриситет гиперболы определяется отношением её осей. Он характеризует форму основного прямоугольника гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, тем меньше
отношение ba , то есть основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной оси. Для равносторонней гиперболы 2 .
Лекция 26. Парабола. Приведение кривых к каноническому виду
185
26.1. Парабола. Множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки F (фокуса) и данной прямой L (директрисы), называется параболой. Расстояние от фокуса до директрисы параболы принято обозначать через p (рис. 26.1). Величину p называют фокальным
параметром параболы.
Для получения уравнения параболы необходимо ввести систему координат на плоскости. Проведём ось абсцисс через фокус параболы перпендикулярно директрисе, будем считать её направленной от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между
фокусом и директрисой (рис. 26.1). Тогда координаты фокуса |
F p / 2;0 , а |
||
уравнение директрисы в этой системе координат имеет вид |
x |
p |
. |
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
Рис. 26.1 |
|
|
|
|||
Координаты произвольной точки |
M параболы обозначим x |
и |
y , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
2 |
|
|
|
|
запишем расстояние |
MF |
x |
|
|
y |
|
. Расстояние от точки |
M |
до |
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
директрисы равно MQ , где Q – основание перпендикуляра, опущенного из
M на директрису. Поскольку |
|
|
имеет |
координаты |
|
|
p |
|
, то |
||||||||
Q |
|
|
|
; y |
|||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
MQ x |
p |
. Тогда для параболы получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
p 2 |
|
2 |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
y |
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Возведя обе части равенства в квадрат |
получим каноническое уравнение |
параболы |
|
y2 2 px . |
(26.1) |
186 |
|
Как для эллипса и гиперболы, уравнение параболы тоже является
частным случаем уравнения второго порядка. Оно получается из (25.1) при
A B D F 0.
Уравнение (26.1) содержит переменную y только в чётной степени, что доказывает симметрию параболы относительно оси Ox . Так как p 0 , то
переменная x должна быть неотрицательной. Это означает, что парабола расположена справа от оси Oy . Если x 0 , получаем
возрастании x возрастает и y (причём, если x , то y ). Построив в первой четверти график функции y 2 px и отразив его симметрично
относительно оси Ox , получим геометрическое изображение параболы (рис. 26.1). Ось симметрии параболы (в данном случае совпадающая с осью Ox ) называется её осью. Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется её вершиной (в нашем случае вершина совпадает с началом координат). Для описания геометрического смысла фокального параметра
p можно |
взять какое-либо значение абсциссы, |
например, |
x 1. Из |
|||||||
уравнения |
(26.1) найдём соответствующие |
ему |
|
значения |
ординаты: |
|||||
|
|
|
|
M1 1; |
|
|
и M2 |
1; |
|
, |
y 2 p . |
|
|||||||||
Это даёт на параболе две точки |
|
2 p |
2 p |
расстояние между которыми равно 22 p . Тем самым, чем больше p , тем больше расстояние M1M 2 . Следовательно, параметр p характеризует
«ширину» области, ограниченной параболой.
Кроме рассмотренных классических кривых, уравнение линии второго порядка может привести ещё к нескольким геометрическим случаям, называемым вырожденными.
26.2. Вырожденные случаи. Если в уравнении линии второго порядка
Ax2 2Bxy Cy2 2Dx 2Ey F 0 |
(26.2) |
коэффициенты B D E F 0 , то остаётся только два слагаемых, т.е. Ax2 Cy2 0 . При одинаковых знаках A и C уравнению соответствует на плоскости одна точка – начало координат. При разных знаках A и C – пара
|
|
|
|
|
|
пересекающихся прямых |
y |
A |
x . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
C |
|
|
Если в уравнении (26.2) остаются ненулевыми два других слагаемых, |
|||||
например, оно имеет вид |
Cy2 F 0 , то возможны две ситуации: |
при |
|||
одинаковых знаках коэффициентов C и F решений нет, а при разных знаках |
|||||
C и F получаются две параллельные прямые. |
|
||||
Если из уравнения (26.2) остаётся одно слагаемое Cy2 0 или Ax2 |
0, |
то на плоскости получается одна прямая. Если B D E 0 и в уравнении
187
Ax2 Cy2 F 0 коэффициенты |
A 0,С 0, F 0, то опять ему |
не |
|
удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости. |
|
||
26.3. |
Приведение уравнения линии второго порядка |
к |
каноническому виду. Мы рассмотрели все геометрические ситуации, к которым может привести общее уравнение линии второго порядка (п. 26.2). В задачах аналитической геометрии обычно задаётся вид уравнения второго порядка с конкретными числовыми коэффициентами. В нём могут присутствовать произведение координат x и y (т.е. B 0 ) или переменные
x и y без квадратов ( D 0 или Е 0 ). Это будет означать, что в исходной
системе координат уравнение не является каноническим. Нужно перейти к другой системе координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид. Это даст возможность определить, к какому из рассмотренных случаев относится заданное уравнение. После этого легко будет построить график заданной кривой.
Для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду используются только те преобразования системы координат, которые не изменяют расстояния между точками, то есть не деформируют кривую. К таким преобразованиям, в частности, относятся параллельный перенос и поворот осей координат. Этих преобразований достаточно для решения поставленных в этой лекции задач. Разберём далее, что происходит с уравнениями при том или ином преобразовании координат.
26.4. Параллельный перенос осей координат. Рассмотрим на плоскости прямоугольную декартову систему координат xO y
|
|
|
|
Рис. 26.2 |
Выберем |
начало |
|
вспомогательной системы координат в точке |
|
ў |
; y0 ). Оси |
ў ў |
и |
ў ў |
O (x0 |
O x |
O y расположим параллельно соответствующим |
||
осям |
O x и O y , одинаково с ними направив. Масштаб сохраняем. Такой |
|||
|
|
|
|
188 |
переход от системы xO y к системе Oўxўyў называется параллельным
переносом осей координат.
Для произвольной точки M координаты относительно исходных осей обозначим через (x; y), а координаты по отношению к «новым» осям
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
обозначим |
|
|
|
ў |
|
|
ў |
. |
Поскольку |
имеет |
место |
|
векторное |
равенство |
|||||||||||||||||
|
|
x ; y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ў |
|
|
|
ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OM = OO + O M (рис. 26.2), то можно записать в координатах |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п x = x + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(26.3) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
опy = y + y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
Формулы (26.3) |
|
|
позволяют находить |
|
исходные |
координаты |
x; y |
|
по |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
известным |
|
|
|
ў |
ў |
при |
параллельном |
переносе. |
|
«Новые» |
координаты |
||||||||||||||||||||
|
x ; y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
выражаются через исходные следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
ў |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
п x = x - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(26.4) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
y - |
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
опy = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Пусть, например, исходное уравнение имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 + 2x + 4 y2 - 16 y = 8 |
или |
|
x + 1 |
2 |
+ 4 |
( |
y - 2 |
2 |
= 25. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
) |
|
|
|
||
После выполнения параллельного переноса, задаваемого формулами |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п x = x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
опy = y - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
оно приобретёт вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
y 2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
25 / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Видим, что |
в новых |
координатах |
получилось |
каноническое |
уравнение |
||||||||||||||||||||||||||
эллипса с полуосями |
a = 5 и b |
5 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ў |
||||||||||||||||
|
с центром в начале координат O . |
189