10303
.pdfполучим формулу для вычисления длины дуги AB .
Рис. 54.3
Если отрезки, на которые делится кривая, достаточно малые, то длина li
отрезка кривой Ai−1Ai приблизительно равна длине хорды Ai−1Ai . По теореме Лагранжа приращение yi функции y = y(x) на участке (xi−1, xi ) равно значению производной в некоторой точке ξi
приращение xi , т.е. yi = y′(ξ i) xi . Таким образом, для плоского случая (рис.54.3) будем иметь
Li ≈ Ai−1Ai = xi2 + yi2 = 1+ y′2(ξi) xi
и, следовательно,
.
L= ∫ dl = lim |
n |
′ 2 |
|
|
||
∑ |
(ξi ) xi . |
|||||
1+ y |
||||||
AB |
n→∞ |
i=1 |
|
|
|
|
|
Li→0 |
|
|
|
|
Нетрудно видеть, что под знаком предела стоит интегральная сумма для функции 1 на отрезке (a,b), и потому последний пре-
дел равен определенному интегралу от этой функции на этом отрезке. Таким образом,
b
L= ∫ dl = ∫ 1+ y′ 2(x)dx
AB a
102
Пусть теперь f (x, y)– произвольная непрерывная функция, определенная в точках близких к кривой AB . Так как, согласно определению, точка Pi
на отрезке кривой Ai−1Ai может выбираться произвольным образом, то вы-
берем ее так, чтобы она имела координаты (ξ |
, y'(ξ )) , где ξ |
есть то значение |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
i |
|
аргумента x на отрезке (xi−1,xi ), при котором |
yi = y'(ξ ) |
xi . Отсюда |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
f (x, y)dl = lim |
|
|
′ 2 |
(ξi ) |
xi . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∑ f (ξi , y(ξi )) 1+ y |
|
|
|
|
|||||||||
AB |
n→∞ |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Li→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приглядевшись к выражению под знаком предела, мы видим, что оно |
||||||||||||
представляет |
|
|
интегральную |
сумму |
для |
функции |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
g(x)= f (x,y(x)) 1+y'2(x) на отрезке (a,b)и потому предел равен |
опреде- |
ленному интегралу от этой функции на данном отрезке. В результате мы приходим к формуле
b
∫ |
f (x,y)dl = ∫ f (x,y(x)) |
|
′ 2 |
(x)dx. |
(54.5) |
|
1+ y |
||||||
AB |
a |
|
|
|
|
|
Если кривая AB на плоскости определена уравнением |
|
|||||
, , |
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
f (x, y)dl = ∫ f (x(y), y) |
1+ x′2(y)dy . |
(54.6) |
|||
AB |
c |
|
|
|
|
|
Пример. Найти массу части кривой y=2-x2соединяющей точки A(0,2) и B(1,1), если плотность распределения массы вдоль
кривой задана функцией ρ(x,y)=2x(рис.53.4).
Рис. 54.4
103
Решение. Так как y′ = −2x, то |
по формуле (54.3) искомая масса бу- |
||||||||||||||||
дет равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
||
M = ∫ ρ(x,y)d l = ∫2x 1+ |
4x2 dx = |
∫ 1+4x2 d(1+4x2) = |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
AB |
0 |
|
|
|
|
|
4 |
0 |
|
|
|||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
((1+4x2)3/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
1 |
= |
|
(5 5 −1) ≈1,7. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6 |
|
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Плоский случай. Параметрическое задание кривой. Пусть кривая AB
определена параметрическими уравнениями
x= x(t); y= y(t); α≤t ≤β,
где x(t)и y(t)дифференцируемые функции, производные которых непре-
рывны, причем значению t = α соответствует точка A, а значению t = β |
|||||||
соответствует точка B. В этом случае криволинейный интеграл |
|
||||||
1-го рода вычисляется по формуле: |
|
|
|
|
|||
∫ |
β |
|
|
|
|
|
|
′ 2 |
′2 |
(t)dt. |
(54.7) |
||||
|
|||||||
f (x, y)dl = ∫ f (x(t), y(t)) x |
(t) + y |
||||||
AB |
α |
|
|
|
|
Для её вывода достаточно в формуле (54.7) осуществить замену перемен-
ных x=x(t); a=x(α); b=x(β),dx = x′dt и вспомнить, что |
y′ |
= y′ / x′ . |
t |
x |
t tt |
Плоский случай. Уравнение кривой определено в полярных координа- |
тах. Попробуем вывести формулу для вычисления криволинейного инте-
грала 1-го рода в случае, когда кривая |
AB на плоскости задана уравнени- |
||
ем в полярных координатах: |
|
|
|
r =r(ϕ) |
ϕ |
≤ϕ≤ϕ |
(54.8) |
|
1 |
|
2 |
Вспомним, что связь между декартовыми и полярными координатами определяется формулами x=rcosϕ, y=rsinϕ. Если в них вместо r под-
ставить его выражение из уравнения (54.8), то получится параметрическое уравнение кривой AB :
x=r(ϕ)cosϕ, |
y=r(ϕ)sinϕ. |
(54.9) |
в котором в качестве параметра выступает полярный угол ϕ, изменяющийся в пределах от ϕ1до ϕ2 . При этом
x′2 (ϕ)+ y′2 (ϕ) = (r′(ϕ)cosϕ − r(ϕ)sinϕ)2 + (r′ (ϕ)sinϕ + r(ϕ)cosϕ)2
= r2(ϕ)+ r′2(ϕ).
104
Подставляя это выражение в соотношение (54.7), получим формулу для вычисления криволинейных интегралов 1-го рода в случае, когда кривая АВ на плоскости задана в полярных координатах:
∫ |
ϕ2 |
|
|
|
|
|
|||
f (x, y)dl = ∫ f (rcosϕ,rsinϕ) r2 (ϕ)+ r′2 (ϕ)dϕ. |
(54.10) |
|||
AB |
ϕ1 |
|
Пример. Найти массу половины кардиоиды r = (1+cosϕ), 0≤ ϕ≤ π,
если плотность ρ = r в каждой её точке.
Рис. 54.5
Пользуемся формулами (54.3) и (54.10):
π
M = ∫ ρdl = ∫r r2 (ϕ) + r′2 (ϕ)dϕ =
|
|
AB |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ cosϕ)2 |
+ (-sinϕ)2 dϕ = |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= ∫(1+ cosϕ) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
ϕ |
|
π |
|
|
πsin ϕ − |
sin |
3 ϕ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= ∫2cos2 |
2cos ϕ dϕ = 8∫(1− sin2 ϕ) d(sin ϕ) = 8 |
|
2 |
= |
16 |
||||||||
2 |
3 |
|
3 |
||||||||||
0 |
2 |
0 |
2 |
2 |
0 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общий пространственный случай. Если кривая AB расположена в пространстве, то, как правило, она задается параметрическими уравнениями
x = x(t); y = y(t); z = z(t) α≤t ≤β,
причем параметру t =α соответствует точка A, а параметру t =β соответ-
ствует точка B . Предполагая, что производные x′(t), y′(t), z′(t) |
непрерыв- |
ны при α ≤ t ≤ β,а функция f(x,y,z) непрерывна в некоторой |
области D, |
105 |
|
окружающей кривую AB, и, проводя рассуждения, подобные приведенным для плоского случая, придем к следующей формуле:
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
′ 2 |
′ 2 |
′ 2 |
(t)dx. |
(54.11) |
||
|
|
||||||
∫ f (x,y,z)dl =∫f (x(t),y(t),z(t)) x |
(t)+ y |
(t)+ z |
|||||
AB |
α |
|
|
|
|
|
54.3. Некоторые приложения криволинейного интеграла 1-ого рода. Определение пло щади цилиндрической поверхности. На рис.54.6 изображено ограждение переменной высоты некоторой гор изонтально расположенной территори и, ограниченной кривойL. Вопрос о расходе краски, необходимой для окр аски этого ограждения, сведется к нахождению его площади. Если ввести систему координат так, чтобы территория находилась в плоскости XOY, то можно считать, что данное огра ждение представляет собой часть цил индрической поверхности с направл яющей L и образующей, параллельной оси OZ, причем высота ограждения задается функцией z = f (x, y), определенной в каждой точке кривой L(рис.54.6). Если
рассмотреть часть п оверхности на небольшом участке кривой Ai−1Ai , то можно считать, что высота этой части постоянна и равна значению
функции z = f (x, y)в |
некоторой точке Pi (xi , yi ). |
В тако м случае площадь |
||
этого участка поверхн ости приблизительно равна |
Si ≈ z(xi, yi ) Li . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 54.6
Суммируя по всем уч асткам и переходя к пределу в поллучающейся интегральной сумме, мы придем к тому, что площадь всей б оковой поверхно-
сти ограждения будет определяться по формуле S = ∫ z(x, y)dl.
L
106
Вычисление массы, координат центра тяжести и моментов инерции материальной кривой. Часто математическую идеализацию пространственного материального объекта можно представить в виде пространственной кривойAB, вдоль которой распределена масса с линейной плотностью ρ(x, y,z) (рис.54.1). (Канаты, на которых подвешен мост через пролив Босфор, соединяющий Черное и Средиземные моря, можно рассматривать в качестве примера такого объекта. В качестве математической модели канатов можно рассматривать их осевые линии с постоянной линейной плотностью, равной массе тонкого слоя поперечного сечения). В таком случае основные механические характеристики подобных объектов могут быть вычислены с помощью криволинейного интеграла 1-ого рода.
а)Масса материальной кривой. Как мы уже знаем, масса М такой кривой может быть вычислена по формуле (54.3).
б) Моменты инерции Ix, I y, Izотносительно осей OX ,OY ,OZ . Перечисленные моменты вычисляются по следующим формулам
Ix = ∫(y2 +z2)ρ(x,y,z)dl, |
Iy = ∫(x2 +z2)ρ(x,y,z)dl, |
Iz = ∫(x2 +y2)ρ(x,y,z)dl. (54.12) |
AB |
AB |
AB |
Для их вывода, как обычно в таких ситуациях, |
разделяем кривую на мел- |
кие участки и считаем, что вся масса отрезка кривой (приблизительно рав-
ная ρ(ξi,ηi,νi) |
Li ) сосредоточена |
в некоторой ее точке P(ξi ,ηi ,νi ). Момент |
|||
инерции этой материальной точки относительно, например, оси OX, будет |
|||||
равен |
ее |
массе, умноженной |
на квадрат расстояния от |
оси, т.е. |
|
ρ(ξ ,η,ν ) L(η2 |
+ν 2 ). Суммируя по всем отрезкам кривой и переходя к пре- |
||||
i i i |
i |
i |
i |
|
|
делу, получаем искомые выражения. |
|
||||
в) |
Kоординаты центра |
тяжести. Координаты центра |
тяжести |
C(xc, yc,zc ) материальной пространственной кривой могут быть высчитаны по формулам:
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
(54.13) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xc =M |
∫xρ(x,y,z)dl, yc =M |
∫yρ(x,y,z)dl, zc =M |
∫ |
(zρ(x,y,z)dl, |
||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
AB |
AB |
AB |
|
|
где M– масса кривой.
Пример. Найдем механические характеристики верхней полуок- ружности радиуса Rс центром в начале координат, вдоль которой равномерно распределена масса с плотностьюρ .В данном примере мы имеем дело с плоской кривой и потому в соответствующих формулах мы должны опустить переменную z. Очевидно, что масса M равна длине полуокружности, умноженной на ρ , т.е. M = πρR .
107
Рис.54.7
Для нахождения моментов инерции Ix и Iyсначала запишем уравнение полуокружности в пара метрическом виде
x = Rcost, |
y = Rsint, |
0 ≤ t ≤ π, |
а затем воспользуемсся формулой (54.11) (для плоского случая) и (54.8). Будем иметь
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ix = ∫ y2ρdl =∫ρy2(t) x′2(t)+ y′2(t)dt = |
||||||||||||||||
|
AB |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
+ R2 cos2 tdt = |
||||||||
ρ∫ R2 sin2 t R2 sin2 t |
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
ρπR3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
=ρR3 ∫sin2 tdt = |
|
( |
|
t − |
|
|
sin2t) = |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
2 |
4 |
2 |
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Нетрудно понять, что Iy |
имеет такое же значение. |
Что касается координат центра тяжести C(xc, yc ), то в силу симметрии xc = 0, а для вычисления yc опять используем параметрическое уравнение полуокружности:
|
1 |
|
|
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
yc = |
∫ yρdl = |
|
∫ρy(t) x′ 2(t) + y′ 2(t)dt = |
|||||||||
M |
M |
|
||||||||||
|
|
AB |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
2R |
|
||
= |
|
∫ρRsint |
R2 sin2 t + R2 cos2 tdt = |
. |
||||||||
πρR |
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
π |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
108
Лекция 55. Криволинейные интегралы 2-г о рода (по координатам)
В данной лекци и мы рассмотрим еще одну интегральную конструкцию, которая, как и все рассмотренные ранее, изначально возникла при стремлении решить н екоторую прикладную задачу (именно в физике), а потом оказалась при менимой при решении других теоретических и прикладных задач. Речь идет о криволинейных интегралах 2 -го рода.
55.1. Определение и обозначения. Физическая зад ача, в которой подобная конструкция возникает, формулируется следующ им образом. Пусть в некоторой области D пространства определено силовое поле, т.е. на материальную точку ед иничной массы, помещенную в область D, действует зависящая от ее местонахождения вектор-сила F. И пусть в этой области материальная точка перемещается по кривой L из положения A в положение B. Требуется о пределить работу W сил данного поля при таком перемещении.
Рис. 55.1
На рисунке 55. 1 изображено плоское поле сил. Ясно, что при перемещении точки по кр ивой L по участку кривой ACB силы поля оказывают положительное воздействие, т.е. совершают положительную работу, а при движении по участку кривой DEF они оказывают отрицательное воздействие, т.е. совершают отрицательную работу. Точно также при спуске с горы мы ощущаем положительное воздействие силы тяжести, а при подъеме в гору нам приходится преодолевать отрицательное воздействие этой силы.
Если в пространстве введена декартова система к оординат, то сила,
действующая в точке M(x,y,z) может задаваться посредс твом ее разложе-
ния по единичным ве кторам i, j,k
109
|
|
|
|
F(x,y,z)=P(x,y,z)i |
+Q(x,y,z)j |
+R(x,y,z)k , |
где функции P(x,y, z),Q(x,y,z), R(x,y,z)являются проекциями силы на оси
OX,OY,OZ соответственно. |
В |
|
случае |
плоского |
поля |
сила задается |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
посредством разложения по единичным векторам i, j F(x,y)=P(x,y)i |
+Q(x,y)j |
||||||||||||
.В частности для поля, изображенного на рис. 55.1 |
|
|
|
|
|||||||||
P(x, y) = |
− y |
, |
|
Q(x, y) = |
x |
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
x2 + y2 |
|
x2 + y2 |
|
|
|||||||||
Вспомним, что, если при перемещении вдоль отрезка прямой от точки A до |
|||||||||||||
точки Bсила F постооянна |
и составляет угол |
ϕ с напра влением |
вектора |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
AB (рис.55.2а), то работа Wтакой силы |
вычисляется |
по формуле |
|||||||||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правую часть которой можно рассматривать |
как скалярное произведение |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вектора-силы F и вектора перемещения AB |
и потому можно переписать |
||||||||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
W |
( F , A B ) . |
|
|
|
|
|
(55.1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 55.2
Ясно, что в случае к риволинейной траектории перемещ ения и непостоянной по величине и направлению силы, данная формула для подсчета работы неприменима. На помощь, как часто в подобных случаях, приходит интегральная методология. В согласии с ней, для решения поставленной задачи разобьем кривую Lна n отрезков (см. рис.55.2,б). Работа W сил
110
поля по кривой AB очевидно будет равна сумме работWi (i = 1,..., n) по этим отрезкам кривой. Если считать, что: а) сила поля на отрезке кривой
A A постоянна и равна силе F(ξi ,ηi ,νi ) |
действующей в некотором положе- |
||
i−1 i |
|
|
|
нии M(ξi ,ηi ,νi ) на этом отрезке; б) перемещение происходит по отрезку |
|||
прямой, соединяющему точки Ai−1 и Ai ,то согласно формуле (55.1) |
|||
|
|
|
|
W=(F(ξη,ν),A A) |
. |
||
i |
i i i |
i−1 i |
|
|
Но скалярное произведение векторовF(ξi |
ηi,νi ) и Ai−1 Ai может быть вычисле- |
но как сумма произведений соответствующих координат этих векторов.
|
|
|
Координатами вектора F(ξi |
ηi,νi ) являются числа |
P(ξi ηi,νi), Q(ξi η,νi i), |
R(ξi ηi,νi), а координатами вектора Ai−1 Ai будут приращения координат при переходе от точки Ai−1к точке Ai т.е. числа xi, yi , zi . Следовательно,
W i ≈ P(ξi ηi ,νi ) xi + Q(ξi ηi ,νi ) yi + R(ξi ηi ,νi ) zi ) .
В таком случае вся работа сил поля будет приблизительно равна
n
W ≈ ∑(P(ξi ,ηi ,νi ) xi + Q(ξi ,ηi ,νi ) yi + R(ξi ,ηi ,νi ) zi ).
i=1
В качестве точного значения работы W естественно принять предел этой суммы при n→∞ и измельчении отрезков, на которые делится кривая L, т.е.
|
n |
W = lim |
∑(P(ξi ,ηi ,νi ) xi + Q(ξi ,ηi ,νi ) yi + R(ξi ,ηi ,νi ) zi )).. (55.2) |
n→∞ |
i=1 |
|
Отвлечемся теперь от физического содержания задачи и будем считать, что в некоторой области D пространства в окрестности пространственной кривойL, соединяющей точки A иB,определена некоторая функция
f(x,y,z).Если кривую AB разбить на n |
отрезков точками |
A0 = A ,A1,A2,A3,...,An = B,внутри каждого отрезка выбрать некоторую точку
Mi (ξi ,ηi ,νi )и сформировать интегральную сумму
n |
|
Sn =∑f(ξi ,ηi ,νi ) xi , |
(55.3) |
i=1
то предел этой суммы при n→∞ и li →0 (если он существует и не зави-
сит от способа деления кривой AB и от выбора точек M(ξη,ν )) обознача-
i i i i
ется, как
111