10482
.pdf70
Рис.3.12
71
2. Строим эпюры изгибающих моментов от сил Р1 = 1, Р2 = 1, приложенных по направлению координат у1 и у2 (рис. 3.12. а, б).
3. |
Вычисляем удельные перемещения: |
· 2 5IP кН |
|
|
|
|||||||||||||||||||
c'' IP · |
· 2 · 2 · |
5 |
|
· 2 IP |
· |
· 2 · 3 · 5 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
' |
' |
5 |
5 |
|
|
5 |
|
' |
' |
м |
|
|
|
|
|
'H м ; |
|
|
|
||||
|
' |
' |
· |
|
|
½ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
c IP |
· · C · |
|
· 5 |
C · 2 'HIP кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
c' c ' IP |
· · |
C · 3 · |
· 2 VIP кН |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
' |
' |
5 |
' |
|
|
½ |
|
|
м . |
|
|
|
|
|||||||
4. |
Определяем частоты и периоды собственных колебаний (3.9), (3.10): |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0, |
¨' '',T5CIP ; |
¨ ','V5IP . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Проверка: ¨' |
+ ¨ = 'c'' c ; |
|
'',T5CIP ','V5IP ' IP,½'T; |
2 · 5IP'H 4 · 'HIP½ ' IP,½'T . |
||||||||||||||||||||
Собственные частоты и периоды колебаний равны: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
' |
|
|
'',T5CIP |
29,19 |
радс ; |
' 0,215 с; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
','V5IP |
91,94 радс ; |
0,068 с. |
|
|
|||||||||||||||
5. |
Определяем коэффициенты форм собственных колебаний (3.13), (3.17): |
|||||||||||||||||||||||
- для основного тона: |
|
|
;)) |
|
|
C·½/VIP |
|
0,237 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
;)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
- |
|
|
|
φ11=;))=1; |
φ21= |
;-) |
|
= - |
·'H/5IP Y'',T5C/IP |
|
; |
|||||||||||||
для второго тона |
|
|
|
|
|
;)- |
|
|
|
|
C·½/VIP |
02,107 . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
;)- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
φ12=;)-=1; |
φ22=;--=- |
·'H/5IP Y','V5/IP |
|
|
|
Проверяем условие ортогональности (3.18):
2. 1. 1 + 4 . 0,237 . (-2,107) = 0,002. Погрешность 0,002/2 = 0,1% незначительна.
6.Строим собственные формы колебаний (рис. 3.12, в, г,).
7.Составляем уравнения движения системы (3.19):
y1 = a11 sin (ω1t+ α1) + al2 sin (ω2t +α2)
у2 = 0,237а11 sin (ω1t +α1) – 2,107a 12 sin (ω2t+ α2).
8.Определяем частоту гармонической нагрузки:
›0,8 ' 0,8 · 29,19 23,35 рад/с .
72
Рис.3.13
73
9.Строим эпюру изгибающих моментов от статического действия амплитуды гармонической нагрузки Р =6 кН (рис. 3.13, а).
10.Определяем перемещения от амплитудного значения гармонической
нагрузки: |
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
24 |
024 · 10 |
YC |
м; |
|
|
|
||
|
ž |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∆' 0 ef · 2 |
· 2 · 3 · 3 |
· 12 0 ef |
|
|
|
|
|||||||||
|
∆ž 0 1 |
· 1 · 3 · 3 · 1 |
· 12 0 27 |
06,75 · 10YCм. |
|
|
||||||||||
|
Определяем |
|
ef |
2 |
4 |
2 |
|
|
ef |
|
|
|
|
: |
|
|
11. |
ž |
главные коэффициенты канонических уравнений |
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
16 |
· 10 |
YC |
0 |
1 |
|
|
|
YC |
м/кН ; |
|||
|
c'' c'' 0 |
'› |
3 |
|
|
2 · 23,35 03,837 · 10 |
|
|
||||||||
|
c c 0 |
› 16 |
· 10 |
YC |
0 |
4 · 23,35 04.023 · 10 |
YC |
м/кН . |
||||||||
|
ž |
|
1 |
|
9 |
|
|
1 |
|
|
|
|
Составляем канонические уравнения (3.27):
12. 03,387 · 10YCÎ' 1,125 · 10YCÎ 0 24 · 10YC 0;
1,125 · 10YCÎ' 0 4,023 · 10YCÎ 0 6,75 · 10YC 0,
решением которых определяем амплитуды сил инерции:
Î' 07,3494 кН; Î 03,733 кН.
13. |
Строим эпюры изгибающих |
моментов |
от амплитуд сил инерции |
|||||||
(рис. 3.13, б,в). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
Вычисляем значения динамических изгибающих моментов в сечениях рамы |
|||||||||
(3.28) и строим эпюру È (рис. 3.13, г). |
|
|
|
|
||||||
15. |
Вычисляем значения динамических поперечных сил в сечениях рамы: |
|||||||||
|
É'5 É5' |
|
14,699 0 0 |
7,3494 кН; |
||||||
|
0 0 |
2 |
||||||||
|
É5C ÉC5 |
|
012 |
6,0 кН; |
||||||
|
|
|
2 |
|||||||
|
ÉM5 0 |
3,733 |
|
026,699 0 0 |
010,766 кН; |
|||||
|
|
2 |
|
3 |
|
|||||
|
É5M |
3,733 |
|
026,699 0 0 |
0 0 7,033 кН |
|||||
|
|
2 |
|
|
3 |
|
||||
и строим эпюру динамических поперечных сил ÉÈ |
(рис. 3.13, д). |
|||||||||
16. |
Вычисляем значения |
динамических |
продольных сил в сечениях рамы |
74
(рис. 3.13, е): |
|
|
|
|
|
|
N23 = N32 = 0; |
N34 = -7,033 кН; |
N35 = 1,349 кН, и строим эпюру динамических |
||||
продольных сил Ng (рис. 3.14, а). |
|
|
|
|
|
|
17. Выполняем статическую проверку (3.29) (рис. 3.14, б): |
||||||
∑ Ç 0: |
-7,033 - 3,733 + 10,766 = 0; |
|
|
|||
∑ Ð 0: |
7,349 -. 6,0 - 1,349. |
= 0; . |
|
. |
|
|
∑ 5 0: |
-7,349 2 - 6,0 |
2 + 7,033 |
3 + 3,733 |
|
1,5 = 0. |
|
Пример 3.5.2. Выполнить динамический расчет рамы (рис. 3.14,в) на |
||||||
действие гармонической нагрузки |
Ñ Š Ñ · ‡ˆ‰ÒŠ , если Ñ •, •кН/м; Ò |
|||||
•, Ó†Ô. Построить эпюры динамических изгибающих моментов È, поперечных сил |
||||||
ÉÈ и продольных сил ÊÈ. |
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
координатные оси ' и |
1. Определяем степень свободы n=2 и вводим |
|
|||||
(рис. 3.14.в). |
|
|
|
|
|
|
2. Строим эпюры изгибающих моментов от сил Р1 = 1, |
Р2 = 1, приложенных по |
|||||||
направлению координат у1 и у2 (рис. 3.3). |
|
|
|
|
|
|||
3. Вычисляем удельные перемещения (пример 3.3.1): |
'+ |
м . |
||||||
C,HT м ; |
|
c |
'+ |
м |
; |
c' c ' |
||
c'' IP кН |
|
IP |
кН |
|
0 IP |
кН |
||
4. Определяем частоты и периоды собственных колебаний: |
|
|||||||
' 15,6 радс |
; |
' |
0,403 с; |
|
|
|||
82,7 радс |
; |
|
0076 с. |
|
|
5. Определяем коэффициенты форм собственных колебаний и строим формы колебаний (рис. 3.4): φ11 =1; φ21 = 0 9384; φ12 =1; φ22 = 0,102 .
6. Составляем уравнения движения системы:
y1 = a11 sin (ω1t+ α1) + al2 sin (ω2t +α2)
у2 = -9,384а11 sin (ω1t +α1) + 0,102a12 sin (ω2t+ α2).
7.Определяем частоту гармонической нагрузки:
›0,8 ' 0,8 · 15,6 12,48 рад/с .
75
76
8.Строим эпюру изгибающих моментов от статического действия амплитуды гармонической нагрузки q =0,2 кН/м (рис. 3.14, г).
9. Определяем перемещение от амплитудного значения гармонической
нагрузки:
∆'ž 0 2ef1 · 12 · 3,6 · 5 · 23 · 2 0 6,0ef 06 · 10YCм;
∆ž 0 2ef1 · 12 · 3,6 · 5 · 23 · 6 6ef6 4 · 2,7 · 3 6 · 3,6 54ef 54 · 10YCм.
10. Определяем главные коэффициенты канонических уравнений: |
м/кН ; |
|||||||
c'' c'' 0 |
'› 4,67 · 10 |
YC |
0 0,4 · 12,48 0155,84 · 10 |
YC |
||||
ž |
1 |
|
1 |
|
|
|||
c c 0 |
› 102 · 10 |
YC |
0 0,4 · 12,48 058,51 · 10 |
YC |
м/кН . |
|||
ž |
1 |
1 |
|
|
11. Составляем канонические уравнения: |
||
0155,84 · 10YCÎ' |
0 |
10 · 10YCÎ |
010 · 10YCÎ' |
0 |
58,51 · 10YCÎ |
решением которых определяем амплитуды сил инерции:
Î' 00,09881 кН; Î 0,9398
06 · 10YC 0;
54 · 10YC 0, кН.
12.Вычисляем значения динамических изгибающих моментов в сечениях рамы (3.28) и строим эпюру È (рис. 3.14, д).
13.Вычисляем значения динамических поперечных сил в сечениях рамы и строит эпюру Qg (рис. 3.14, е).
14. Вычисляем значения динамических |
продольных |
сил в сечениях рамы |
|||||||
и строим эпюру Ng (рис. 3.15, а). |
|
|
|
|
|
|
|||
15. Выполняем статическую проверку (3.29) (рис. 3.15, б): |
|
||||||||
∑ |
Ç 0: |
0,9398+0,2 . 6 – 2,14 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
Ð 0: |
0,0988+1,888. |
-1,99. = 0; . |
|
|
. |
|
|
|
∑ |
8 0: |
-0,0988 2+1,888 5+0,2 |
6,3-2,14 |
|
6 = 0. |
|
|
||
16. Определяем амплитуды вынужденных колебаний (3.24): |
|||||||||
0,4 0 4,67 · 10C · 12,48 0 1 · ]' 0,4 · 010 · 10YC |
· ] |
0 6 · 10YC 0; |
|||||||
0,4 · |
010 · 10YC · ]' 0,4 · 102 · 10YC |
· 12,48 0 1 |
· ] |
54 · 10YC 0 |
77 |
|
]' 00,0006241 м; ] 0,01482 м, |
и строим форму вынужденных |
колебаний (рис. 3.15.в).
17. Составляем уравнения движения системы при вынужденных колебаниях
78
y1 = a11 sin (ω1t+ α1) + al2 sin (ω2t +α2)-0,0006241. sin ›&;
у2 = -9,384а11 sin (ω1t +α1) + 0,102a12 sin (ω2t+ α2)+0,01482. sin ›&.
Пример 3.5.3. Выполнить динамический расчет рам (рис. 3.16,а; 3.17, в) на действие гармонической нагрузки Р(t) = P sinθt, при Р = 8 кН, θ = 0,9ω1. Построить эпюры Mg, Qg, Ng. Результаты решения приведены на рисунках 3.16 и 3.17.
Пример 3.5.4. Выполнить динамический расчет рам (рис. 3.18, 3.19) на действие гармонической нагрузки P(t)-PSinθt, при Р=10kH θ=0,8ω)1. Построить эпюры динамических изгибающих моментов, поперечных и продольных сил самостоятельно.
4. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ
СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСНОВНОЙ
СОБСТВЕННОЙ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ
Решение задачи о колебаниях системы с распределенной массой (с бесконечным числом степеней свободы) приводит в общем случае к сложным математическим выкладкам. При динамическом расчете сооружений на практике часто бывает достаточной оценка усилий, напряжений и деформаций, возникающих при главных колебаниях основного тона. Поэтому, широкое распространение получили приближенные методы (способы) определения основной (первой) собственной частоты колебаний. Из приближенных наиболее часто используются: энергетический метод; способ приведенной массы; способ замены распределенной массы сосредоточенными массами; способ Данкерлея.
4.1. Энергетический метод. Формула Рэлея |
|
В этом методе используется закон сохранения механической энергии: |
|
П E ×%#&. |
(4.1) |
При этом пренебрегают силами сопротивления и полагают, что колебания
79
отдельных точек системы (рис.4.1) около положения равновесия происходят по
гармоническому закону: |
Î'& Î sin & Ø , |
|
|
(4.2) |
|
где Î - уравнение собственной формы колебаний. |
|
Тогда все точки системы одновременно проходят через положение равновесия, |
||||||||||||||||
где 0, П=0, а кинетическая энергия E максимальная [5] |
|
|||||||||||||||
E |
[;\ |
|
|
|
|
O |
Ù |
|
Î |
|
|
|
Î |
|
RÎ, |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
(4.3) |
|||||||
|
|
|
' |
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и затем одновременно достигают крайних положений, где их скорости равны нулю, E 0, а потенциальная энергия становится П максимальной [5]