10546

A =| F	|| S |cosϕ = < F		,S > .

Операция скалярного произведения позволяет выразить проекцию вектора на вектор и угол между векторами следующим образом:

< a,b >		, cosϕ =	< a,b >		,
Пр ba =
	|b |		| a	| |b |

причем, если скалярное произведение векторов положительно, то угол между ними острый, а если отрицательно – тупой. В частности, скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны)

< a,b > = 0 a b .

Из определения скалярного произведения следует коммутативность этой операции

< a,b > = < b,a > ,

а из свойств проекций векторов вытекают следующие ее свойства:

< ka,b > = < a,kb > = k < a,b >, < a,b + c > = < a,b > + < a,c > .

Докажем последнее из них

< a,b + c > = | a | (Прa (b + c) =| a | (Прab + Прac) =

|a| Прab+|a| Прac =< a,b > + < a,c > .

Интересно отметить, что скалярное произведение вектора на себя дает

< a,a > = | a | | a |cos00 =| a |2 ,

поэтому модуль вектора выражается через скалярное произведение следующим образом

a = < a,a > . (7.1)

Пример.В параллелограмме ABCD одна из сторон вдвое больше другой и острый угол между ними равен 600 . Найти острый угол между диагоналями параллелограмма и проекцию малой диагонали на большую.

51

Введём декартову систему координат, взяв за начало точку A и выбрав базис {e1,e2} ≡{0.5AB, AD} (см. рис.7.3). Пусть длины базисных векторов для определённости равны единице.

D C

?

e2

?

A		B
	e1

Рис. 7.3

В этом базисе диагонали параллелограмма имеют разложение

d1 = DB = 2e1 − e2 ,	d2 = AC = 2e1 + e2 .

Искомые величины выражаются через скалярное произведение

	< d1,d2		>					< d1,d2	>
cos( BOC) =				,	Пр	d	=			.
1	| d1 | | d2 |				d	1		| d2 |
					2

Вычисляем скалярное произведение, применяя более компактное по написанию обозначение

d1 d2 = (2e1 − e2 ) (2e1 + e2 ) = 4e1 e1 − e2 e2 = 3.

Модули векторов вычисляем по формуле (7.1):

								)2		4e 2			+ e2	= 5 − 4cos600 = 3
|d	1	|=	d	d	=	(2e	− e		=		− 4e e
			1	1		1	2			1	1	2	2

| d2 |= (2e1 + e2 )2 = 4e12 + 4e1e2 + e22 = 5 + 4cos600 = 7 .

	< d1,d2	>		3
Итак, Прd d1 =			=				≈1.13
				7
2	| d2 |

cos( BOC) =		3				≈ 0.65 BOC ≈ arccos0.65 ≈ 490
1		3		7	1
					52

7.2. Скалярное произведение в прямоугольных координатах. Выразим скалярное произведение через координаты его сомножителей. Пусть задана декартова прямоугольная система координат с ортонормированным

	}
			a = { ax ,ay ,az}			b = { bx,by ,bz}. Тогда,
базисом { i , j,k		и два вектора			и
учитывая свойства скалярного произведения, получим
		< a,b > = < axi + ay j + azk, bxi + by j + bzk > =
		= axbx < i ,i > + axby < i , j > + axbz < i ,k > +
+ aybx < j,i > + ayby < j, j > + aybz < j,k > +

+azbx < k,i > + azby < k, j > + azbz < k,k >=

= axbx + ayby + azbz .

Итак, скалярное произведение равно сумме произведений одноимённых координат сомножителей:

< a,b > = axbx + ayby + azbz .

Теперь мы в состоянии выразить полученные выше формулы для модуля вектора, проекции вектора на вектор и угла между векторами в координатах данных векторов. А именно,

a	= < a,a > =	a2	+ a2	+ a2	,
		x	y	z

axbx + ayby

+ azbz

< a,b >

Пр a

=

=

,

b

|b |

bx2 + by2 + bz2

axbx + ayby

+ azbz

cosϕ =

< a,b >

=

.

| a | |b |

ax2 + ay2 + az2

bx2 + by2 + bz2

В частности, условие ортогональности двух векторов выражается через их координаты следующим образом:

axbx + ayby + azb = 0 .

53

Продемонстрируем, как в декартовой системе координат решаются некоторые задачи.

7.3. Деление отрезка в заданном отношении: найти координаты точки

C(x, y, z), которая делит отрезок, соединяющий точки

A(x1, y1,z1) и B(x2 , y2 ,z2 )

(внутренним или внешним образом), в отношении λ (см. рис. 7.4).

, ,

, ,

0

, ,

, ,

, ,

, ,

Рис. 7.4

Для её решения отметим, что

векторы

AC ={x − x1,

y − y1, z − z1} и

CB = {x2 − x,

y2 − y, z2 − z} коллинеарны, то есть AC = λ CB . Запишем это

векторное равенство в координатах:

x − x1 = λ (x2 − x) , y − y1 = λ (y2 − y), z − z1 = λ (z2 − z),

откуда найдем координаты точки

C

x =

x1 + λx2

, y =

y1 + λy2

, z =

z1 + λz2

.

1+ λ

1+ λ

1+ λ

Покажем в заключение этого раздела, как векторная алгебра объясняет действие так называемого уголкового отражателя, представляющего собой комбинацию из трёх взаимно перпендикулярных зеркал. Многочисленные применения этого прибора связаны с его способностью менять направление света на строго противоположное независимо от того, с какого направления свет на него падает. Пусть луч света сначала попадает, например, на плоскость xOy и направляющий вектор этого луча

a ={ax ,ay ,az}. Спрашивается, каков будет направляющий вектор a1 для

отражённого луча? Оба эти вектора одинаковой длины и расположены в плоскости, перпендикулярной к плоскости xOy. Очевидно, что у направ-

54

ляющего вектора отражённого луча третья проекция сменит знак, а первые две проекции останутся прежними, т.е. a1 ={ax,ay ,−az} (см. рис. 7.5).

zy

		az
a1	a
−az
O
		x
	Рис. 7.5

Таким образом, отразившись от трёх координатных плоскостей, луч света будет иметь направление, противоположное первоначальному a3 = {−ax ,−ay ,−az } = −a .

Следующий рисунок иллюстрирует «работу» уголкового отражателя на конкретном примере.

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0
0		1
1
2		2
	3
	4	3

Рис. 7.6

Уголковые отражатели применяются для точного измерения расстояний, обеспечения безопасности движения транспорта и в военном деле.

55

Лекция 8. Векторное и смешанное произведения векторов

8.1. Векторное произведение векторов. Векторным произведением-

векторов a и b

называется вектор c = [a ×b]

или просто c = a × b такой,

что:

• c a и c

b

•упорядоченная тройка векторов {a,b,c}

правоориентированная

•

c

=

a

sinϕ, где ϕ–угол между векторами.

b

Упорядоченная тройка векторов называется правоориентированной или правой, если после приведения их к общему началу с конца третьего

вектора c кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору

b виден происходящим против часовой стрелки. В противном случае – тройка называется левоориентированной или левой. При перестановке местами любых двух векторов или при замене одного из векторов на противоположный тройка меняет ориентацию.

c c

b				a
a
				b
Рис. 8.1
С этим расположением векторов				связаны правоориентиро-
	a	, b ,	c

ванная и левоориентированная	декартовы прямоугольные системы коор-
динат.
k		k
	j	i

		j
	i

Рис. 8.2

56

Обратим внимание на то, что значение модуля векторного произве-

дения

c		=		a				sin ϕ
							b

равно площади параллелограмма, построенного на этих векторах

b

ϕ

a

Рис. 8.3

В механике с помощью этой операции вычисляется момент силы.

Пусть, например, O – одна неподвижная точка некоторого тела, к другой

точке A которого приложена сила F . Момент этой силы относительно

неподвижной точки выражается векторным произведением M				= OA× F ,
а его модуль равен	M	=| F | |OA|sinϕ =| F |d – «произведению силы | F |

на плечо d =|OA|sinϕ».

M

d

φ

Рис. 8.4

Рассмотрим основные свойства операции векторного произведения.

Во-первых, эта операция позволяет выяснить коллинеарны или нет два за-

данных вектора. А именно, векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю

a ||b	a × b = 0.
			= 0.
Действительно, это следует из равенства |a × b |=| a		| | b |sin0
Что произойдет, если в векторном произведении		c = a × b		переста-
					× a ?
вить местами сомножители, т.е. что собой представляет вектор			d	= b
	57

			a и
Очевидно, что вектор d	перпендикулярен векторам			b , его модуль
равен модулю вектора c	, но тройка {b,a,c} стала левой, а, значит, тройка
{b,a,−c} будет правой. Таким образом,		d = −c или [a × b]		= −[b × a].

c

b

O

d a

Рис. 8.5

Умножение одного из сомножителей векторного произведения на число приводит к умножению результата на это число, т.е.

[ka × b] = [ a × kb] = k[a × b] .

Ввыражениях, содержащих векторное произведение и сложение, скобки «раскрываются» так же, как и при обычном умножении и сложе-

нии, т.е.

[(a + b)×c]= [a×c]+[b ×c].

Как найти векторное произведение, если его сомножители заданы

своими координатами? Пусть векторы a и b в ортонормированном бази-

се векторов {i , j,k}, образующих правую тройку, имеют следующее разложение:

a = a

+ a

+ a

+ b

i

y

j

k ,

b

= b i

y

j

+ b k .

x

z

x

z

Вначале приведем таблицу векторного умножения базисных векторов, где в левом столбце находится первый сомножитель, в верхней строке – второй, а на пересечении строки и столбца соответствующее произведение.

58

Таблица 1.

Вычисление векторного произведения координатных ортов в правоориентированной системе координат

	×
		i	j	k
	i	0	k	- j
	j
		-k	0	i
		j
	k		-i	0

Теперь, используя эту таблицу и приведенные выше правила раскрытия скобок, получим:

+ a

+ b

[a × b] = [ (a

i

y

j + a

k ) × (b i

y

j

+ b k )] =

x

z

x

z

= axbx[i × i ]+ aybx[ j

× i ]

+ azbx[k

× i ]+

+axby[i

× j]

+ ayby[ j

× j]+ azby[k

× j]+

+axbz[i

× k]

+ aybz[ j

× k]+ azbz[k

× k] =

= i (aybz − azby ) − j(axbz − azbx ) + k(axby − aybx ) =

az

a

a

ax ay

ay

= i

b

b

− j

b

x

b

z

+ k

b

b

y

y

z

x

z

x

Чтобы запомнить, как вычисляются координаты векторного произведения, заметим, что

		i	j	k
[a×b] =		ax	ay	az		,
		bx	by	bz

где в правой части равенства стоит символический определитель, раскрывая который по элементам первой строки, получим приведенное выше выражение векторного произведения через координаты сомножителей. Такое представление векторного произведения позволяет обнаружить те его свойства, о которых говорилось выше. Например, при смене порядка сомножителей в определителе поменяются местами две строки, что приводит к смене знака определителя, а, значит, к смене знака векторного произведения. Любознательный читатель может таким образом проверить справедливость и других свойств векторного произведения.

59

Полученное выражение векторного произведения через координаты сомножителей дает возможность вычислить площадь треугольника по координатам его вершин

C(x3, y3,z3 )

b

a

A(x1, y1,z1)

B(x

2

, y

,z

2

)

2

Рис. 8.6

Образуя какую-нибудь пару векторов, например,

a =

= { x

− x , y

− y , z

− z

} = { a ,a

} и

AB

2

2

2

,a

1

1

1

1

2

3

b

= AC = { x3 − x1, y3

− y1, z3 − z1} = {b1, b2, b3}

найдём

S = 1 | a b

|= 1 |

i

j

k

| .

a a a

1

2

3

2

2

b

b

b

1

2

3

8.2. Смешанным произведением векторов

называется чис-

a

, b ,

c

ло, равное

< a ×b,c > ,

(8.1)

т.е. сначала находится вектор d

= a×b , а затем он умножается скалярно на

вектор c . Поэтому смешанное произведение иногда называют векторноскалярным произведением векторов. Отметим, что смешанное произведение выражается через скалярное и векторное произведения и не является какой-то «новой» операцией над векторами. Как мы сейчас увидим, знак смешанного произведения говорит о взаимной ориентации данных трех векторов (правую или левую тройку они образуют), а его модуль дает объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.

60