10933
.pdfПТО РААСН
_________________________________________________________________________________
Очевидно, если =1 (нет сцепления) или , то =, т.е. прочность бетона (композита) равна прочности матрицы. Если модуль упругости заполнителя (воздух) =0, то =0 и тогда =.
Повышение соотношения приводит к незначительному увеличению прочности бетона (см.рис.1). Следовательно, заполнитель действительно можно в первом приближении условно представить дефектом в виде пор.
Функция (1) описывает зависимость прочности композита от соотношения объемного содержания, модулей упругости материала матрицы и заполнителя. Но функция прочности (1) не отвечает на вопросы: как меняется прочность от крупности заполнителя, размеров дефектов, масштабного уровня структуры.
Ответы на поставленные вопросы попытаемся получить, рассматривая фрактальные модели разрушения композитов, сформированные на основе следующих принципов:
-все твердые тела состоят из масштабноинвариантных структурных элементов конечного размера (фракталов), которые по физическим и химическим свойствам, соотношению фаз подобны целому;
-структура твердого тела представляется иерархически организованной системой, которая формируется по принципу «структура в структуре» или «композит в композите» и на каждом масштабном уровне может быть представлена двумя обобщенными компонентами – матрицей и наполнителем (заполнителем);
-каждый элементарный акт разрушения соответствует разрушению одного структурного элемента;
-параметры критерия разрушения фрактала не должны противоречить классической теории разрушения, применяемой в предельных случаях;
-система, состоящая из большого числа подсистем множества элементов, образующих структуру бетона, характеризуется флуктуацией физических параметров, которые являются причиной развития метастабильных состояний.
По Мандельброту структура фрактальна, если состоит из частей, которые в ка-
ком-то смысле подобны целому. Следовательно, формируя фрактальную модель разрушения композита необходимо, в соответствии с первым принципом, структуру на каждом масштабном уровне представить в виде системы структурных элементов подобных целому; основной структурообразующий элемент (первичный фрактал) дол-
_________________________________________________________________________________
220 Вестник ПТО РААСН, выпуск 20
ПТО РААСН
_________________________________________________________________________________
жен отвечать требованиям геометрического, физического, химического подобия. Предполагая тождественность фазового, элементного, химического состава структурных элементов всех уровней условие масштабной инвариантности запишем в следующем виде:
(2)
где - относительное объемное содержание матрицы, заполнителя, пор на i
– ом масштабном уровне.
Тогда, рассматривая кубическую модель формирования структуры композита, принимаем: размер (диаметр) заполнителя в виде идеального шара равным ; расстояние между заполнителями – ; относительное содержание заполнителя в единице объема - . Ранее было показано [6], что и характерный размер структурного элемента определяются через по формуле:
. (3)
Фрактальная модель, представленная на рис. 2, построена с учетом условий:
Рис. 2. Фрактальная модель структуры бетона:
а) первичный фрактал; б) расчетная модель фрактала; в) цепочный фрактал; г) плоский фрактал; 1,2,3,4,5, - уровни структуры
_________________________________________________________________________________
Нижний Новгород, 2017 |
221 |
ПТО РААСН
_________________________________________________________________________________
ориентация трещин относительно силовых линий произвольная; размер трещин коррелируется с размером дефектов , диапазон изменения которых варьируется в пределах, указанных в таблице 1; при изготовлении бетонных изделий формируется множество врожденных дефектов, размеры которых зависят от качественного уровня технологий; каждой технологии изготовления цементных композитов соответствуют дефекты ℓ0, размер которых можно нормировать, как показатель качественного уровня технологии; прочность цементных композитов на различных масштабных уровнях структуры зависит от размеров трещин (дефектов) и упругопрочностных свойств матрицы.
На границе с дефектом в матрице под влиянием концентрации напряжений формируется область пластического деформирования, размеры которой Д. Броеком предложено определять по формуле вида:
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
(4) |
где |
- коэффициент интенсивности напряжений при растяжении. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Можно предположить, что если расстояние между дефектами меньше 2 |
, то |
||||||||||||
материал в этой области |
разрушается, дефекты, объединяясь, разупрочняют структуру |
||||||||||||||
материала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Следовательно, записав условие разрушения структуры в виде |
неравенства (5), |
||||||||||||
можно |
судить об иерархической последовательности разрушения структуры компози- |
||||||||||||||
та; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
В таблице 2 приведен состав композита и определенные по формуле (3) числен- |
|||||||||||||
ные оценки расстояния |
|
между дефектами на различных масштабных уровнях. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 2 |
||
|
|
|
|
|
|
Расстояние между дефектами |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
Показатели |
|
|
|
Компоненты |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
п/п |
структуры |
|
|
Цемент |
Поры |
|
МК |
Песок |
Щебень |
|
Ʃ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3000 |
- |
|
2000 |
2600 |
2800 |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
m, кг на 1 |
|
500 |
- |
|
50 |
950 |
1000 |
|
|
2500 |
|
|
|
|
м3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
0,167 |
0,086 |
|
0,025 |
0,365 |
0,357 |
|
|
1 м3 |
|
|
|
4 |
d, см |
|
|
- |
0,05 |
|
0,005 |
0,5 |
5.0 |
|
|
- |
|
|
|
5 |
, см |
|
|
- |
0,038 |
|
0,0087 |
0,064 |
0,68 |
|
|
- |
|
|
|
6 |
|
|
|
- |
0,47 |
|
0,22 |
0,62 |
2.05 |
|
|
- |
|
Для цементного композита экспериментально определены значения
.
Соответственно получено .
Следовательно, если в расчетном условии (5) принять предельный случай , то в стадии разрушения оказываются все структурные уровни, кроме
первого (Санти). Если в условии (5) принять в качестве расчетного значение , кото-
_________________________________________________________________________________
222 Вестник ПТО РААСН, выпуск 20
ПТО РААСН
_________________________________________________________________________________
рое по Д. Броеку rn2 |
2 |
|
|
|
, то можно определить минимальный уровень напряжения и |
||
2 2 |
|||
|
n |
|
|
уровень структуры, с которых начнется разрушение материала: |
|
||
. |
(6) |
||
Анализ минимальных напряжений (см. табл.2), определенных по формуле (6), |
|||
показывает, что первые разрушения структуры будут происходить |
при уровне напря- |
жений 0,22 МПа и они обусловлены развитием дефектов около частиц микрокремнезема (МК), затем с повышением уровня напряжений произойдет развитие дефектов, соизмеримых соответственно с размерами пор, песка и щебня.
2. Прочность фрактального элемента при сжатии и растяжении.
Впервые зависимость прочности материала от размеров трещины установил Гриффитс. В дальнейшем работами Г.И. Баренблатта, Г.П. Черепанова, В.В. Панасюка была создана теория, согласно которой разрушение рассматривается как процесс развития трещин. С учетом теории хрупкого разрушения рассмотрим прочность фрактала.
При растяжении фрактального элемента реализуется отрывной механизм разрушения и условие прочности имеет вид:
Очевидно, разрушение произойдет в результате роста трещины длиной
2 ℓ0, расположенной под углом к силовым линиям. Тогда прочность материала структурного элемента будет равна:
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(7) |
где - коэффициент интенсивности напряжений при растяжении. |
|
||||||||
|
При сжатии возможна реализация механизма разрушения бетона путем |
среза. |
|||||||
Тогда прочность материала можно определить из |
условия прочности Кулона – Навье, |
||||||||
которое имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(8) |
где τ |
0,5 sin2 ; |
|
sin2 ; |
S |
|
|
k2 |
– прочность бетона на сдвиг. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
0 |
0.5sin2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Подставив выражения , и в неравенство (8) и решая его относительно, получаем:
|
. |
|
|
Очевидно, трещина разрушения должна располагаться под углом |
к си- |
ловым линиям и тогда прочность бетона при сжатии будет равна: |
|
|
|
, |
(9) |
где |
- коэффициент интенсивности напряжений при сдвиге. |
|
|
Отношение пределов прочности при сжатии и растяжении для бетона будет рав- |
|
но: |
|
|
|
. |
(10) |
_________________________________________________________________________________
Нижний Новгород, 2017 |
223 |
ПТО РААСН
_________________________________________________________________________________
Установлено, что |
. |
В формулах (9) и (7) длина трещины |
2ℓ0 дается как расстояние, измеренное по |
прямой от начала до конца трещины. Но при фрактальной структуре материала «берега» трещины имеют характер ломаной кривой, следовательно, площадь поверхности разрушения и соответственно величина поверхностной энергии будет больше, чем учитывается в модели Гриффитса.
Площадь поверхности, образованной при развитии трещины в композите с фрактальной структурой, будем аппроксимировать функцией вида:
,
где - топологическая размерность; - фрактальная размерность; - масштабный уровень измерения; - площадь гладкой поверхности. Для гладкой прямой линии (i=1) =1; для гладкой поверхности = 2, i=2.
Следуя Гриффитсу с учетом фрактальности строения структуры композита, уравнение баланса энергий высвобождаемой (энергия релаксации упругих связей) и расходуемой на образование новых поверхностей разрушения V, можно записать в виде:
где - удельная плотность поверхностной энергии; ;
- толщина пластины с трещиной (=1); - площадь релаксации;
. Критическая (для заданных напряжений ) длина трещины 2ℓ будет соответствовать максимуму функции W, который находим из условия dW/dℓ=0.
Отсюда получаем:
; . (11)
Фрактальная размерность (Хаусдорфа - Безиковича) экспериментально определялась путем измерения на различных масштабных уровнях границы раздела фаз (порового пространства и матрицы) с применением программного комплекса: «Идентификация и анализ пористости строительных материалов [11]. Обоснование методов определения фрактальной размерности границы раздела фаз изложено в работах В.П. Селяева, О.А. Фролкина, Т.А. Низиной, Л.И. Куприяшкиной, Л.М. Ошкиной [11, 12, 13,
14].
Если формулы (7) и (9) записать с учетом полученного решения (11), то получим выражения для определения прочности композита на различных масштабных
уровнях в следующем виде:
|
(12) |
. |
(13) |
Для подтверждения достоверности полученных решений (10), (12), (13) |
прове- |
дем анализ экспериментальных данных, представленных в нормативной (СНиП 2.03.01 - 84•) и научной литературе [4].
Известны решения Хука-Бенявского и Брейса-Марела, в которых показана зави-
симость прочности горных пород от коэффициента трения и получены выражения, аппроксимирующие соотношения прочностей при сжатии и растяжении [2].
_________________________________________________________________________________
224 Вестник ПТО РААСН, выпуск 20
ПТО РААСН
_________________________________________________________________________________
Анализ экспериментальных данных показывает, что формула (10) более адекватно описывает зависимости: прочности бетона от коэффициента трения; между прочностью при сжатии и растяжении. Формулы Хука-Бенявского и Брейса-Марела дают заниженные значения. В таблице 3 и на рисунке 4 приведены данные о зависи-
мости соотношения |
от коэффициента трения. Экспериментально А.В. Колотуш- |
киным была установлена зависимость коэффициента трения от класса бетона по прочности на сжатие B [4, 9], которую можно представить в виде линейной функции вида:
. |
(14) |
Формула получена по экспериментальным данным испытания бетонов классов |
В10÷В50 и полученные результаты хорошо интерпретируются прямыми линиями (см. рис.3).
_________________________________________________________________________________
Нижний Новгород, 2017 |
225 |
ПТО РААСН
_________________________________________________________________________________
Т а б л и ц а 3
Зависимость соотношения прочности от коэффициента трения
№ |
Соотношение |
|
|
Коэффициент трения, |
|
|||
п/п |
|
|
|
|
||||
|
0.0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
0,9 |
1.0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Хук-Бенявский |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.0 |
1.48 |
2.19 |
3.14 |
4.3 |
5.09 |
6.0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Брейс-Марел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.0 |
4.88 |
5.97 |
7.14 |
8.3 |
9.09 |
10.0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Формула (8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1,35 |
5.4 |
6.75 |
9.0 |
13.5 |
27 |
54 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (10) и (14) дают возможность получить функцию, выражающую зависимость прочности при растяжении от прочности при сжатии в более простом (по сравнению с формулой Фере) и физически обоснованном виде:
,
(15)
где 1-=(0.6-0.005 B); =4·1,35=5,4; , нормативные сопротивления бетона (СНиП 2.03.01-84*).
В литературе для оценки прочности бетона при растяжении рекомендовано применять формулу Фере, которая имеет вид:
=0,233, , (16)
где R – кубиковая прочность, следовательно R=B; - коэффициент вариации, равный 0,135.
Сравнение результатов, полученных по формулам (15) и (16), приведено в таблице 4. Первые строки таблицы 1, 2, 3 представляют данные по СНиПу. Коэффициент
определен по формуле (14), полученной по экспериментальным данным. В пятой и седьмой строках таблицы представлены расчетные значения / и , полученные по формулам (10) и (15), которые имеют хорошую сходимость с нормативными данными.
Т а б л и ц а 4
Нормативные и рассчитанные по формулам авторов, Брейса-Морела, Фере значения величин и /
№ |
Прочностные |
|
Класс бетона, B (СНиП 2.03·01-84*) |
||||
п/п |
характеристики |
|
|
|
|
|
|
|
бетона |
10 |
|
20 |
30 |
40 |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, МПа |
7,5 |
|
15.0 |
22.0 |
29.0 |
36.0 |
2 |
, МПа |
0,85 |
|
1.4 |
1.8 |
2.1 |
2.3 |
3 |
/ |
8.8 |
|
10.7 |
12.2 |
13.8 |
15.6 |
|
(СНиП) |
|
|
|
|
|
|
_________________________________________________________________________________
226 Вестник ПТО РААСН, выпуск 20
ПТО РААСН
_________________________________________________________________________________
Окончание табл.4
4 |
|
|
0,45 |
0,5 |
0,55 |
0,6 |
0,65 |
5 |
/ |
, (10) |
9.8 |
10.8 |
12.0 |
13.5 |
15.4 |
7 |
|
(15) |
0,76 |
1,39 |
1.83 |
2,14 |
2.33 |
8 |
|
(16) |
0,84 |
1.3 |
1.75 |
2.12 |
2,46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Фере дает хорошую |
сходимость расчетных значений |
с норма- |
тивными (строка 8), но формула (15) |
авторов имеет лучшую сходимость. |
|
3. Масштабный эффект.
Особый интерес представляют формулы (12) и (13), которые свидетельствуют о том, что прочность цементных композитов зависит от фрактальной размерности D и
масштабного фактора . Прочность цементного композита зависит от масштабного уровня структуры, от объема материала в образце. Чем больше объем, тем большее количество фракталов участвует в работе, тем выше вероятность появления фракталов, предрасположенных к разрушению. Зависимость среднего предела прочности композитов от объема изделия исследована на вероятностных моделях в работах В.В. Болотина [10] и предложена формула вида:
, |
(17) |
где и - эмпирические коэффициенты; - некоторый стандартный объем; - соответствующий ему предел прочности.
По экспериментальным результатам исследования масштабного эффекта, проведенным Эмпергером, Бухгарцем, Г.Д. Цискрели, в работе [10] получены численные
значения коэффициентов: a=0,58, b=0,42, .
Исследование масштабного эффекта на фрактальных моделях приводит к функциям (12) и (13), согласно которым следует, что с увеличением фрактальной размерности и с уменьшением масштаба измерений прочность увеличивается D. Экспериментальными исследованиями установлено, что фрактальная размерность поровой структуры цементных композитов может изменяться в пределах от 1 до 2.0 ( при определении D по первой модели). Для высоконаполненных цементных композитов по экспериментальным данным [13] можно принять D=1,5.
Тогда запишем формулу (13) в виде произведения прочности стандартного кубика бетона на i – ом масштабном уровне на коэффициент приведения к стандартному объему:
.
Если принять, что прочность стандартного кубика с размером ребра равна = , то получим, что /=1, если =1.97.
В относительных единицах с учетом, что D=1,5; =15 см получим формулу
вида:
. (18)
Изменение прочности кубов из цементных композитов в зависимости от размера ребра определялось по формулам (17) и (18). Результаты вычислений приведены в таблице 5 и на рис. 5.
_________________________________________________________________________________
Нижний Новгород, 2017 |
227 |
ПТО РААСН
_________________________________________________________________________________
Т а б л и ц а 5
Изменение прочности /кубов из цементных композитов в зависимости от размера ребра (масштабного фактора )
№п/п |
|
|
|
|
|
Численные значения |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1·10- |
1·10- |
1·10- |
1·10- |
1·10-1 |
1,5·10- |
2.0·10- |
4.0·10- |
|
|
|
5 |
4 |
3 |
2 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1,97 |
=15 |
11.1 |
6.23 |
3.5 |
1.97 |
1.1 |
1.0 |
0,93 |
0,788 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
- |
- |
42,58 |
4.78 |
1. |
0,86 |
0,79* |
0,685 |
|
0.58+0.42 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
, см |
|
0,001 |
0,01 |
0,1 |
1.0 |
10 |
15 |
20 |
40 |
5 |
1,75 |
|
10.0 |
5.6 |
3,16 |
1,77 |
1.0 |
0,89 |
0,84 |
0,7 |
|
; |
=10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Результаты анализа, полученных данных, свидетельствуют о том, что для описания масштабного эффекта предпочтительнее применять формулы (13, 18), которые: дают более точные оценки изменения прочности при испытании кубов различных размеров; учитывают, через фрактальную размерность D, структурную неоднородность композита. Если D – фрактальная размерность равна единице, что соответствует однородной бездефектной структуре, то прочность образцов из такого материала не зависит от размеров, т.е. масштабный эффект отсутствует. Если принять D равной 2, что характеризует структуру материала с высокой степенью неоднородности, то масштабный эффект будет проявляться сильнее.
Выводы
1.Предложены принципы, на основании которых сформированы фрактальные модели структуры цементных композитов, в виде иерархически организованной масштабноинвариантной системы.
2.Анализ предложенных моделей позволил установить: зависимость прочности от размеров дефектов структуры (формулы 7 и 9); влияние сил трения на прочность
_________________________________________________________________________________
228 Вестник ПТО РААСН, выпуск 20
ПТО РААСН
_________________________________________________________________________________
цементных композитов при сжатии (9); вид функции, определяющей связь между прочностью при растяжении и сжатии (15).
3. Учет фрактального строения структуры цементных композитов позволил получить физически обоснованную аналитическую функцию для описания масштабного эффекта, согласно которой прочность композита зависит от масштабного уровня струк-
туры, размеров образцов () и фрактальной размерности (D) (см. формулы 13 и 18).
Библиография
1.Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. Т1. Наука.
1975, 832-с.
2.Селяев В.П., Куприяшкина Л.И., Неверов В.А. Селяев П.В. Фрактальные модели разрушения бетонов. Региональная архитектура и строительство. – Пенза: ПГУ-
АС, 2015. – N1 - c.11-23.
3.Разрушение и усталость. Под редакцией Л. Браутмана. Том 5. Перевод с английского под редакцией Г.П. Черепанова. Мир. М. 1978. С.483.
4.Селяев В.П., Селяев П.В., Кечуткина Е.Л. Основы фрактальной механики разрушения бетона. Механика разрушения строительных материалов и конструкций. Материалы VIII Академических чтений РААСН. – Международной научно-технической конференции. – Казань. КГАСУ. 2014. С. 298-304.
5.Зиновьев В.Н., Романовский Д.В., Шувалов Р.А. Классификация микротрещин и границы их появления в бетоне при сжатии. Часть 4-1. Бетон и железобетон. N4
(595), 2015, с. 20-32.
6.Селяев В.П., Селяев П.В. Эволюция и проблемы технологий, надежности создания изделий на основе цементных композитов. Сборник трудов. КитайскоРоссийский форум инженерных технологий. В 2015 г. Ханчжоу, Китай 2015, с. 185-195.
7.Селяев В.П., Селяев П.В., Алимов М.Ф., Кечуткина Е.Л. Анализ физических характеристик диаграмм деформирования цементных композитов при сжатии. Академия. Архитектура и строительство N1, 2016 г., с. 129-134.
8.Савенков Г.Г., Барахтин Б.К., Рудомешкин К.А., Лебедева Н.В. Динамическая трещиностойкость металлических материалов в условиях быстрого распространения самоподобной трещины. ЖТФ, Т.84, вып.7, 2014, с. 52-57.
9.Селяев В.П., Селяев П.В., Сорокин Е.В., Колотушкин А.В.,
Кечуткина Е.Л. Влияние сил трения на |
прочность бетона. Региональная архи- |
тектура и строительство. – Пенза: ПГУАС. 2012. |
– N3 – c. 12-17. |
10.Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. Изд-во литературы по строительству. М., 1965, 278 c.
11.Идентификация и анализ пористости строительных материалов / В.П. Селяев, Т.А. Низина, О.А. Фролкин, В.В. Цыганов, Ю.А. Ланкина // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ, N200 66 103 64 от 24.01.2006г. в Роспатенте по заявке N 200 56 130 72 от 24.11.2005 г.
12.Селяев В.П., Соломатов В.И., Ошкина Л.М. Химическое сопротивление наполненных цементных композитов. – Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2001-152 с.
13.Куприяшкина Л.И. Наполненные цементные композиции. – Саранск: Изд-во Мордов. ун-та. 2007. – 180с.
14.Низина Т.А. Защитно-декоративные покрытия на основе эпоксидных и акриловых связующих. – Саранск. Изд-во Мордов. ун-та. 2007. – 260 с.
_________________________________________________________________________________
Нижний Новгород, 2017 |
229 |