10949
.pdf91
92
93
2) груз Р= 1 находится правее рассеченной грузовой панели1-4. Для левой отсеченной частисоставляемусловияравновесияввиде
∑М3=0, RA×a+V5×(14+a)=0
иполучаемуравнениеправойветвилиниивлиянияусилияV5:
V5 =-0,5×RA.
Примыкающие к стойке V5двухъярусные шпренгеля оказывают влияние на ординаты линиивлияния,которыеполученыпостановкойгрузаР=1вузлы5 и 6.
3.ОпределениеусилийО3,U5,Д5,V5отравномернораспределеннойнагрузки по линиям влияния
О3 = - 70× (0,4375 + 0,875 + 1,3125 + 1,75 + 3,0625 + 2,625 + 2,1875 + 1,75 + 1,3125 + 0,875 + 0,4375) = -1163,75 кН (сжатие)
U5 =q× =20×1/2×42×2,3333=980,0кН(растяжение)
Д5=70× (- 0,168 - 0,336 - 0,504 - 0,672 +1,176 +1,008 +0,840 +0,672 +0,504 + 0,336 + 0,168) = 211,68 кН (растяжение)
V5 = 70× (0,167 + 0,333 - 0,0005 + 0,6667 - 0,292 - 0,25 - 0,208 - 0,167 -0,125-0,083-0,042) = 0 кН.
4. Сравнение результатов аналитического расчета и расчета по линиям влияния
Усилия |
О6 |
U5 |
Д5 |
V5 |
|
(кН) |
(кН) |
(кН) |
(кН) |
Способы расчета |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическоерешение |
-1163,75 |
980,0 |
211,63 |
0 |
|
|
|
|
|
По линиям влияния |
-1163,75 |
980,0 |
211,68 |
0 |
|
|
|
|
|
Погрешностьрасчета(%) |
0 |
0 |
0,024 |
0 |
|
|
|
|
|
94
95
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Литература: [1, гл. 2,4]; [2, гл. 4].
Пример 4.1. Аналитически определить усилия в указанных стержнях ферм от заданной нагрузки(рис.4.14).
Результатырешения:1)V2 =20кН;O2 =-20кН;
2)Оъ =-40кН;V2 =-44,72кН;V3 =20кН;
3)О1 =23,72кН;V2 =7,5кН;
4)U2-47,44кН;Д4=-15,81кН;
5)О1=-10кН;Д3 =-14,14кН;
6)О1=-20кН;Д3 = -14,14 кН; U4 = - 30 кН.
Пример4.2.Вычислить усилиявуказанныхстержняхферм(рис.4.15-4.17).
Пример 4.3. Построить линии влияния усилий в указанных стержнях ферм (рис. 4.25-4.27)присоответствующемгрузовомпоясе.
Пример 4.4. Определить знаки усилий в стержнях фермы (рис.4.19, 4.20), загруженных силой Р.Определитьзнакиусилийвстержнях ферм(рис.4.21,4.22)самостоятельно.
5. ТРЕХШАРНИРНЫЕАРКИ
Статически определимая трехшарнирная арка образуется двумя криволинейными стерж-
нями, соединенными между собой ключевым шарниром «С» и с основанием - пятовыми шарни-
рами«А» и«B»(рис.4.1).Будемрассматриватьтолькопростыеарки, вкоторых пятовыешарниры лежат на одном уровне, загруженные вертикальной нагрузкой. Расстояние между опорами называется пролетом арки - l, а высота от уровня опор до ключевого шарнира - стрелой подъема f.
Геометрические характеристики арок вычисляются по следующим формулам. |
|
||||||||||||||||||
Для параболических арок: |
= |
4∙ |
( |
− ); |
|
|
|
|
(5.1) |
||||||||||
|
|
|
|
4∙ |
1 |
|
|
||||||||||||
= |
|
( − 2 |
); |
|
= |
|
; |
|
(5.2) |
||||||||||
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
||||||||||||
Для круговых арок: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
|
|
|
|
− |
+ ; |
|
|
(5.3) |
|||||||||
|
− |
2 |
− |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
+ |
− |
|
(5.4) |
|
= 2 + 8 ; |
= |
|
; |
|
|
= |
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
Для синусоидальных арок:
= |
|
|
|
; |
(5.5) |
|
|
||||||
= |
|
|
|
|
|
(5.6) |
|
|
|
|
|
96
Рис. 5.1
5.1Расчетнанеподвижную нагрузку
5.1.1Определение опорныхреакций
Рассмотрим трехшарнирную арку с пятовыми шарнирами, расположенными на
одном уровне, при действии вертикальной нагрузки (рис. 5.1).
Разложим каждую опорную реакцию на две составляющие: одну по направлению линии, соединяющей пятовые шарниры, другую по вертикали. Для определения че-
тырех неизвестных |
V ,V ,H ,H |
составим три уравнения равновесия для всей арки: |
|||||
иусловие шарнирного соединения полуарок ключе- |
|||||||
вым ∑X = 0,∑M = 0,∑M |
= 0 |
|
прав |
|
|||
шарниром |
∑M |
лев |
= 0 |
∑M |
= 0 |
||
|
|
|
или |
|
|
. |
Вертикальные составляющие опорных реакций представляют собой опорные реакции в простой балке при пролете, равном расстоянию между пятовыми шарни-
рами: |
|
1 |
(5.7) |
= 0; |
= |
||
= 0; |
= |
1 |
(5.8) |
97
Проектируя все силы на ось X, убеждаемся, что горизонтальные составляющие реак-
ций равны между собой по абсолютной величине и противоположны по направлению:
∑ = 0; НА=НВ |
(5.9) |
Для определения распора Н = НА=Нв составим условие равновесия левой части арки в виде суммы моментов относительно ключевого шарнира:
лев = 0; |
− |
лев ( − ) − = 0 |
(5.10) |
Из рис. 4.1 видно, что
−лев ( − ) =
выражает изгибающиймомент в сечении «С» простой балки под ключевым шарниром арки. Получим выражение для определения распора:
( 5.11)
=
5.1.2 Определение изгибающихмоментов
Выразим изгибающий момент в произвольном сечении «x» (рис.5.1):
где |
= |
- |
− |
лев |
( − ) − |
− ∑ лев ( − ) = |
|
изгибающий момент в сечении балки, располо- |
|||
|
|
|
|||
женном под соответствующим сечением арки. Таким образом: |
|||||
|
|
|
= |
− |
(5.12) |
3.1.1 Определение поперечныхсил
Для вычисления поперечной силы в произвольном сечении « x » будем проек-
тировать все силы, расположенные слева от этого сечения на нормальную ось п.
|
∑ лев = |
лев |
|
|
|
лев |
|
где |
= |
-−поперечная |
сила в |
сечении |
балки, расположенном под со- |
||
|
− |
= |
|
|
− |
ответствующим сечением арки. Таким образом:
= |
− |
(5.13) |
|
|
3.1.2 Определение продольныхсил
Для вычисления продольной силы в произвольном сечении “х” будем проек-
тировать все силы, расположенные слева от этого сечения на касательную ось τ.
= − |
+ |
лев |
− |
, или |
(5.14) |
|
= −( |
+ |
) |
|
|
Пример 5.1. Для трехшарнирной параболической арки (рис.5.2) вычислить аналитически внутренние усилия в сечениях и построить эпюры изгибающих моментов , поперечных и продольных сил. При определении усилий направление осей проекций принято в соответствии с декартовой системой координат.
Решение:
1. Определяем координаты намеченных сечений и углы наклона касательной к оси арки в этих сечениях, используя зависимости (5.1), (5.2)
|
|
|
|
4∙ |
98 |
|
|
4∙ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Полученные значения= |
|
|
∙ ( − ); = |
= |
|
|
∙( −2 |
) |
|||
|
|
||||||||||
∑ |
|
|
заносим в таблицу 4.1. |
|
|
|
|
|
|||
2.Определяем составляющие опорные реакции арки (5.5), (5.6) |
|||||||||||
= 0; (1,4∙5^2)/2+3∙10+1,6∙5∙17,5 − |
|
∙20 = 0; |
= 9,375кН, |
||||||||
∑ |
= 0; |
∙20 −1,4∙5∙17,5 − 3∙10 − (1,6∙5^2)/2 = 0; |
= 8,625кН, |
||||||||
∑ |
лев.с. |
= 0; 8,625∙10 − |
∙5 − 1,4∙5∙7,5 = 0; |
|
= 6,75кН. |
||||||
2. |
|
||||||||||
∑ |
|
Производим проверку найденных составляющих опорных реакций: |
|||||||||
= 0; |
6,75 −6,75 = 0,∑ |
= 0; 8,625 − 1,4∙5 − 3 −1,6∙5 + 9,375 = 0, |
∑лев.с. = 0; 8,625∙10 − 6,75∙5 −1,4∙5∙7,5 = 0.
3.Строим балочные эпюры изгибающих моментов и поперечных сил
( |
, |
) от заданной нагрузки (рис.5.3). |
|
|
4. |
Определяем внутренние усилия |
, и по формулам (5.7)-(5.9) в сече- |
ниях арки. Все вычисления сводим в таблицу 5.1.
5.Строим эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил в арке от заданной нагрузки (рис 5.4).
6.Выполняем статическую проверку. Рассматриваем равновесие левой отсеченной части трехшарнирной арки относительно сечения 5 и составляем уравнение равновесия:
∑X = 0;; |
6,75 − 6,881∙0,97 − 0,3∙0,242 = 0, |
∑ = 0 |
8,625 − 1,4∙5 − 3 + 6,881∙0,242 − 0,3∙0,97 = 0, |
∑лев.с. = 0; −8,625∙12,5 + 6,75∙4,687+1,4∙5∙10 + 3∙2,5 = 0.
Аналогично рассчитываем равновесие правой отсеченной части арки относительно сечения 6 и составляем уравнения равновесия
∑ |
= 0;; |
|
−6,75 + 6,566∙0,895 + 1,791∙0,447 = 0, |
|
∑ |
= 0 |
= 0 |
; |
9,374 − 1,6∙5+ 1,791∙0,895 − 6,566∙0,447 = 0, |
∑ |
пр.с. |
|
−1,575 − 1,6∙5∙2,5 − 6,75∙3∙3,75 + 9,374∙5 = 0. |
Вычислить значения внутренних усилий в сечениях 1 и 2 трехшарнирной арки
(рис.5.5).
Результаты решения:
1) |
М2 |
= |
1,15 кНм; |
Q2= 2,1/−2,07 кН; |
N2= |
−9,05/6,28 кН. |
|||
М1 |
= |
2,65 кНм; |
Q1= |
− 0,01 кН; |
N1 |
= |
−7,56 кН. |
||
2) |
М1= |
Q1= |
N1 = |
||||||
|
М2= |
0; |
Q2= |
0,79 кН; |
N2= |
−25,53 кН. |
|||
3) |
М1= |
3,75 кНм; |
Q1 |
= |
−1,19 кН; |
N1 |
= |
−25,83 кН. |
|
|
М2 |
= |
1,67 кНм; |
Q2 |
= |
1,16 кН; |
N2 |
= |
−12,01 кН. |
4) |
М1= |
−11,37 кНм; |
Q1= |
−2,04 кН; |
N1 |
= |
−12,31 кН. |
||
|
М2= |
−54,5 кНм; |
Q2= |
5,99 кН; |
N2= |
−40 кН. |
|||
|
|
|
−0,96 кНм; |
|
|
−13,03 кН; |
|
|
−44 кН. |
99
Рис. 5.2
Рис. 5.3
100
Рис 5.4