VVS-LabRabota-05-OsnTeoriiKosmichPoleta
.pdfКурс «Введение с специальную технику
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5
Знакомство с основными понятиями теории космического полета
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1) Закон всемирного тяготения
Сила, с которой притягиваются два тела в инерциальном пространстве с массами M1 и m2
пропорциональна произведению этих масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними.
F f |
M1 m2 |
, |
(1) |
|
r2 |
||||
|
|
|
где f 6,67 1011 м3/кг·с2 - коэффициент пропорциональности (гравитационная постоянная); Тело с большей массой можно условно считать центром притяжения (притягивающим
центром). Пусть в нашем случае M1 m2 , тогда параметр f M1 назовем гравитационной постоянной притягивающего центра. Тогда выражение (1) запишется в виде:
F |
m2 |
, |
|
(2) |
|
|
|||
|
r2 |
|
|
|
К примеру, если притягивающим центром является Земля, то |
З |
3,986 105 км3/с2, если |
||
притягивающим центром является Солнце - Солн 1,32 1020 м3/с2 . |
|
|
2) Законы Кеплера
Первый закон Кеплера. Траектория тела (планеты или КА), движущегося относительно притягивающего центра (или другими словами – в центральном поле тяготения), имеет форму эллипса, в одном из фокусов которого находится притягивающий центр.
Указанный эллипс также иначе называют орбитой тела (планеты или КА).
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
ИСЗ |
|
b |
p |
|
r |
|
|
|
||
|
|
|
|
ϑ |
f1 |
|
|
|
|
α |
|
O |
f2 |
π |
|
|
|||
c |
|
c |
|
|
rα |
rπ |
Рисунок 1 – Траектория движения КА в центральном поле тяготения
1
Курс «Введение с специальную технику
Из рисунка 1 видно, что положение КА на орбите планеты характеризуется следующими параметрами:
r - радиус-вектор, направленный из притягивающего центра (Земли) в центр масс движущегося тела (КА);
- точка перигея орбиты КА (самая близкая к Земле точка орбиты);
- точка апогея орбиты КА (самая далекая от Земли точка орбиты);
f1 , f2 - фокусы эллипса;
a - большая полуось орбиты;
b - малая полуось орбиты;
c - расстояние между фокусом и центром эллипса (сжатие орбиты);
p - фокальный параметр эллипса (орбиты);
- угол истиной аномалии, т.е. угол между осью OX З и радиусом вектором текущего положения КА на орбите (от 0 до 360 град.);
r - радиус-вектор перигея орбиты КА, т.е. расстояние от притягивающего центра до точки перигея обиты;
r - радиус-вектор апогея орбиты КА, т.е. расстояние от притягивающего центра до точки апогея обиты;
e - эксцентриситет орбиты (отношение расстояния между центром эллипса и его фокусом к
большой полуоси, e ac ).
Также введем дополнительные функциональные зависимости:
a |
r |
r |
; |
|
|
(3) |
||||
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r RЗ |
h ; |
|
(4) |
|||||||
где RЗ |
|
- радиус Земли ( RЗ 6371 км); h |
- высота перигея орбиты ИСЗ; |
|||||||
r RЗ |
h ; |
|
(5) |
|||||||
где h |
|
- высота апогея орбиты ИСЗ; |
|
|||||||
e |
r |
r |
; |
|
|
(6) |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
r |
r |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
p |
2 r r |
|
; |
(7) |
||||||
|
||||||||||
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Удобнее пользоваться уравнением эллиптической орбиты в полярных координатах:
r |
|
p |
|
; |
|
|
|
|
(8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 e cos |
|
|
|
|
|||||||
В |
точках |
перицентра и апоцентра углы |
равны соответственно 0 и 180 градусов. |
||||||||
Подставляя эти углы в последнее выражение (8) можно получить: |
|||||||||||
r |
|
p |
, |
r |
|
|
p |
. |
(9) |
||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 e |
|
|
1 |
e |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Второй закон Кеплера. Радиус-вектор планеты в равные промежутки времени описывает равновеликие площади. Этот закон указывает на неравномерность движения КА по эллиптической орбите. Схема, иллюстрирующая второй закона Кеплера, приведена на рисунке 2.
2
Курс «Введение с специальную технику
Рисунок 2 – Схема для иллюстрации второго закона Кеплера
На этом рисунке площади S1 , S2 и S3 , описываемые радиусом-вектором за равные промежутки времени t t , равны. Следовательно, неравны длины путей на этих участках:
l1 l2 |
l3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В последующие годы второй закон Кеплера был получен из так называемого интеграла |
||||||||
площадей или закона сохранения момента импульса: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
|
m r |
V const , |
|
|
|
|
|||
где m - масса спутника, V - вектор текущей скорости спутника. |
|
||||||||
|
В скалярной форме выражение можно записать (для постоянной массы): |
||||||||
|
r V cos const . |
|
|
|
|
(11) |
|||
|
В точках апогея и перигея углы равны нулю (см. рис. 3), |
следовательно, из закона |
|||||||
сохранения площадей |
|
|
|
|
|
||||
|
r V |
r |
V , отюда |
V |
|
r |
. |
(12) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
V |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 3 - Схема для расчета соотношения скоростей КА в апогее и перигее эллиптической орбиты
Пример 1. Пусть r 6571 км (высота перигея орбиты в 200 км, радиус Земли 6371 км),
V 10, 25 км/с, |
r 42371 км (высота апогея орбиты 36000 |
км). Определить скорость КА в |
|||||||
апогее. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Из соотношений (12) можно получить V V |
r |
10,25 |
|
6571 |
|
1,54 |
км/с |
||
r |
42371 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
3
Курс «Введение с специальную технику
Третий закон Кеплера. Квадраты периодов обращения (длительности обращения) планет вокруг притягивающего центра прямо пропорциональны кубам больших полуосей их орбит (см. рис. 4).
T 2 |
|
a3 |
|
|
1 |
1 |
. |
(13) |
|
T 2 |
|
|||
|
a3 |
|
||
2 |
|
2 |
|
|
где T1 , T2 - периоды обращения спутников вокруг одного притягивающего центра.
Рисунок 4 – К иллюстрации третьего закона Кеплера
Абсолютное время периода обращения тела, движущегося вокруг притягивающего центра можно получить по следующей зависимости (приводится без вывода):
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 2 |
a 2 |
|
, |
|
(14) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
где - гравитационная постоянная (к примеру, для Земли З |
3,986 105 |
км3/с2 ). |
3) Интеграл энергии и первая космическая скорость
Расчет скорости КА на круговых и эллиптических орбитах, основывается на законе сохранения энергии, который для центрального поля тяготения выглядит следующим образом
|
2 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
V |
|
З |
|
|
|
|
, |
(15) |
|
|
|
||||||
|
|
|
r |
|
a |
|
||
где З - |
гравитационная постоянная притягивающего центра; r |
- радиус-вектор КА на орбите; |
a - большая полуось орбиты.
Для расчета скорости на околоземных орбитах часто используют расчетную формулу, в которой присутствует первая космическая скорость. Преобразуем формулу (15) к следующему виду
|
|
|
|
R |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
З |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|||
V |
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
V |
|
|
R |
|
|
|
, |
(16) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
З |
|
RЗ |
r |
|
a |
|
|
RЗ |
|
|
З |
r |
|
a |
|
I |
|
З |
r |
|
a |
|
где VI |
З |
- первая космическая скорость (скорость движения по круговой орбите спутника |
|
RЗ |
|||
|
|
Земли при r RЗ ).
4
|
Курс «Введение с специальную технику |
Гравитационная постоянная Земли равна З |
3,986 105 км3/с2, средний радиус Земли |
составляет 6371 км, поэтому нетрудно рассчитать, что первая космическая скорость для Земли составляет 7910 м/с.
Если орбита имеет форму окружности ( e 0 , a r r r ), то выражение (16) можно представить в форме
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
R |
|
|
|
|||
V VI |
RЗ |
|
|
|
VI |
RЗ |
|
|
|
|
|
VI |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
З |
, |
(17) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
a |
|
rкр |
|
rкр |
|
|
|
rкр |
|
|
|
где rкр - радиус круговой орбиты.
Пример 2. Определить скорость КА на круговой опорной орбите высотой 200 км.
Решение. По формуле (17) имеем V V |
|
|
|
RЗ |
|
7,91 |
|
6371 |
|
7,790 км/с. |
I |
|
6371 200 |
||||||||
|
|
|
rкр |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
4) Расчет приращения скорости, необходимой для перевода ИСЗ с опорной орбиты на эллиптическую орбиту
Расчет производится с использованием той же зависимости (16), но с учетом допущений,
что приращение скорости дается мгновенно в точке перигея будущей эллиптической орбиты.
При расчете в формулу подставляются соответствующие параметры эллиптической орбиты.
|
|
|
|
|
|
Рисунок 5 – Схема перевода КА на эллиптическую орбиту |
|
|||
Пример 3. |
Определить приращение скорости V1 , необходимой для перевода КА с |
|||||||||
опорной орбиты высотой Hкр 200 км на эллиптическую орбиту высотой апогея |
H 36000 км |
|||||||||
(см. рис. 5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Рассчитаем следующие параметры |
|
|||||||||
rкр RЗ |
Hкр , |
rкр 6371км 200км 6571 км. |
|
|||||||
r |
rкр |
6571 км. |
|
|
||||||
r |
RЗ |
H |
|
6371км 36000км 42731км. |
|
|||||
a |
r r |
|
|
6571 42731 |
24471км. |
|
||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя полученные значения в выражение (16) получим
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Курс «Введение с специальную технику |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
||
V |
V |
I |
|
R |
|
|
|
|
7,910 |
6371 |
|
|
|
|
|
10,25 км/с. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
З |
|
|
|
a |
|
|
6571 |
|
24471 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
Требуемое приращение скорости рассчитывается как разность скорости КА в перигее эллиптической орбиты и скорости КА на круговой опорной орбите, то есть
V1 V Vкр 10,25 7,79 2,46 км/с
5) Расчет приращения скорости, необходимой для перевода ИСЗ с эллиптической орбиты на высокую круговую орбиту
Расчет, так же как и в предыдущем случае, производится с использованием той же зависимости (16) и учетом того, что приращение скорости дается мгновенно в точке апогея
эллиптической орбиты (см. рис. 6).
Рисунок 7 - Схема перевода КА с эллиптической орбиты на высокую круговую орбиту
Искомая добавка скорости определяется как разность между скоростью КА на высокой круговой орбите и скоростью КА в точке апогея эллиптической орбиты.
Пример 4. Определить приращение скорости V2 , которая необходима для перевода КА с
эллиптической орбиты на высокую круговую орбиту. Параметры орбит принять такими же, как и в примере 3.
Решение. Рассчитаем сначала скорость полета КА по эллиптической орбите в точке апогея. При этом воспользуемся данными, полученными в примере 3.
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
V |
VI |
RЗ |
|
|
|
|
7,91 |
6371 |
|
|
|
|
|
1,589 км/с. |
|
|
r |
|
a |
|
|
42371 |
|
24471 |
|
|
Теперь рассчитаем скорость КА на высокой круговой орбите с высотой, соответствующей радиусу апогея эллиптической орбиты.
Расчетная формула будет практически такой же, как и формула (17), с той лишь разницей, что вместо радиуса опорной орбиты необходимо подставлять радиус высокой круговой орбиты. Таким образом, можно получить следующие результаты:
V |
V |
|
|
|
RЗ |
|
7,91 |
|
6371 |
|
3,067 км/с. |
I |
|
|
|
|
|||||||
кр 2 |
|
|
|
r |
42371 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда приращение скорости |
V2 , которая необходима для перевода КА на высокую |
||||||||||
круговую орбиту в точке перигея эллиптической орбиты, будет следующим |
|||||||||||
V2 |
Vкр 2 |
V 3,067 1,589 1,478км/с. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
Курс «Введение с специальную технику
Соответственно, для перелета с опорной круговой орбиты на высокую круговую орбиту требуется перелет с двумя последовательными приращениями скорости V1 и V2 .
Общее приращение скорости V составит
V V1 V2 |
(18) |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Объясните закон всемирного тяготения.
2.Что такое притягивающий центр?
3.Объясните первый закон Кеплера (схема движения и все параметры).
4.Объясните второй закон Кеплера.
5.Объясните третий закон Кеплера.
6.Что такое первая космическая скорость?
7.Объясните схему перелета с опорной круговой орбиты на эллиптическую орбиту.
8.Объясните схему перелета с эллиптической орбиты на высокую круговую орбиту
9.Объясните схему перелета с опорной круговой орбиты на высокую круговую орбиту.
ЗАДАНИЕ
Рассматривается перелет с опорной круговой орбиты с высотой Hкр1 200 км на высокую круговую орбиту с высотой H кр 2 . На высокую орбиту выводится КА с массой M КА . Для
выведения КА используется ракетный блок в форме цииллиндра (см. рис. 8) с соответствующими: конструктивной характеристикой s ; скоростью истечения газов из сопла реактивного двигателя; диаметром корпуса D .
l
D
КА
Рисунок 8 – Схема разгонного ракетного блока для перелета между орбитами
Плотность материала конструкции разгонного ракетного блока К 3000 кг/м3 . Плотность топлива в ракетном блоке составляет T 980 кг/м3.
Требуется рассчитать:
массу топлива mT , необходимую для перелета между двумя круговыми орбитами;
массу разгонного ракетного блока mРБ ;
длину корпуса разгонного ракетного блока l .
Исходные данные берутся из таблицы 1 в соответствии с вариантом студента. Для расчетов используются зависимости, приведенные в лабораторной работе №2 «Ориентировочный расчет массовых и габаритных характеристик ракеты»
7
Курс «Введение с специальную технику
Таблица 1 – Исходные данные для расчетов
№ вар. |
Hкр2 , км |
MKA, кг |
s |
ω, м/с |
D, м |
|
|
|
|
|
|
1 |
400 |
15000 |
11 |
3200 |
1 |
2 |
500 |
10000 |
11 |
3200 |
1 |
3 |
600 |
8000 |
11 |
3200 |
1 |
4 |
700 |
7000 |
11 |
3200 |
1 |
5 |
800 |
6000 |
11 |
3200 |
1,5 |
6 |
900 |
5000 |
11 |
3200 |
1,5 |
7 |
1000 |
4000 |
11 |
2700 |
1,5 |
8 |
3000 |
400 |
11 |
2700 |
1,5 |
9 |
5000 |
500 |
11 |
2700 |
2 |
10 |
6000 |
600 |
11 |
2700 |
2 |
11 |
7000 |
700 |
11 |
2700 |
2 |
12 |
8000 |
1000 |
11 |
3200 |
2 |
13 |
9000 |
1000 |
12 |
3200 |
2 |
14 |
10000 |
1500 |
12 |
3200 |
2 |
15 |
12000 |
1500 |
12 |
3200 |
1 |
16 |
16000 |
1500 |
12 |
3200 |
1 |
17 |
18000 |
1500 |
12 |
3200 |
1 |
18 |
20000 |
2000 |
12 |
3200 |
1 |
19 |
23000 |
2000 |
12 |
3200 |
1 |
20 |
25000 |
2000 |
12 |
2700 |
1,5 |
21 |
27000 |
3000 |
12 |
2700 |
1,5 |
22 |
30000 |
3000 |
12 |
2700 |
1,5 |
23 |
36000 |
4000 |
12 |
2700 |
2 |
24 |
40000 |
4000 |
12 |
2700 |
2 |
8