892
.pdf
|
|
N |
N |
N |
N |
|
|
|
|
|
b0 1 |
b1 x1i b2 |
x2i yi |
|
|
||
|
|
i 1 |
i 1 |
i 1 |
i 1 |
|
|
|
|
|
N |
N |
N |
|
|
N |
|
|
|
b0 x1i b1 x12i b2 x1i x2i |
xi yi |
. |
||||
|
|
i 1 |
i 1 |
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
N |
N |
|
N |
|
N |
|
|
|
b0 x2i b1 x1i x2i b2 |
x22i |
x2i yi |
||||
|
|
i 1 |
i 1 |
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
Если от натуральных значений факторов перейти к кодированным и |
|||||||
|
|
|
n |
|
N |
|
|
|
учесть свойства симметричности ( x ji |
0 ; |
x2i 0 ), нормированности |
||||||
|
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
N 2 |
N 2 |
|
|
|
N |
|
|
|
( x1 |
N ; x2 |
N ) |
и ортогональности ( x1i x2i 0 ), то система урав- |
|||||
i 1 |
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
нений примет следующее значение:
n
b0 N 0 0 yi
i 1
N
b0 0 b1N b2 0 x1i
i 1
N
b0 0 b1 0 b2 N x2i
i 1
|
N |
|
|
|
b0 N yi |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
N |
|
|
yi или |
b1N x1i |
yi . |
|
|
i 1 |
|
|
|
N |
|
|
yi |
b2 N x2i yi |
||
|
i 1 |
|
|
Откуда легко находят коэффициенты уравнения регрессии как в общем виде, так и для рассматриваемого примера двухфакторного эксперимента:
|
|
|
1 |
|
|
N |
|
|
|
|
|
у у |
2 |
у |
у |
4 |
|
|
||
b0 |
|
|
|
|
yi |
или |
b0 |
1 |
|
3 |
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
N i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
N |
|
|
|
|
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
|
|
|
|||
b1 |
|
|
|
|
x1i yi |
или |
b1 |
|
|
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
N i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
N |
|
|
|
|
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
|
|
||||
b2 |
|
|
|
x2i yi |
или |
b2 |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||
|
|
|
N i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку x ji может принимать в матрице значение (+1) и (-1), то суммировать результаты опытов уj нужно с теми знаками, с которыми соот-
ветствующие вектор-столбцы ( xi ) находят в матрице.
Чтобы способ определения всех коэффициентов (включая b0) был одинаковым, в матрицу планирования вводят дополнительный фиктивный
вектор-столбца x0i , у которого все значения равны (+1), тогда матрица для трехфакторного эксперимента будет выглядеть следующим образом.
191
Номер опыта |
|
|
|
|
|
х0 |
х1 |
х2 |
х3 |
|
|
|
|
|
1 |
+ |
+ |
- |
- |
|
|
|
|
|
2 |
+ |
- |
- |
- |
|
|
|
|
|
3 |
+ |
+ |
+ |
- |
|
|
|
|
|
4 |
+ |
- |
+ |
- |
|
|
|
|
|
5 |
+ |
+ |
- |
+ |
|
|
|
|
|
6 |
+ |
- |
- |
+ |
|
|
|
|
|
7 |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
|
|
|
|
8 |
+ |
- |
+ |
+ |
|
|
|
|
|
Рис. 6.3. Матрица планирования эксперимента с фиктивным фактором х0
Общий вид уравнения, определяющий коэффициенты уравнения регрессии, будет следующий:
|
1 |
N |
|
|
|
bj |
x ji y j |
(6.11) |
|||
|
|||||
|
N i 0 |
|
|
Чем больше коэффициент bj, тем большее влияние фактор оказывает на исследуемый параметр у. Если коэффициент bj сопоставим с ошибками опыта, то соответствующий фактор хj считают несущественным.
Помимо определения коэффициентов bj план полного факторного эксперимента позволяет определить возможные взаимодействия факторов. В этом случае уравнение регрессии усложняют. Допустим, для трехфакторного эксперимента
у = b0+b1х1+b2х2+b3х3+b12х1х2+b13х1х3+b23х2х3+b123х1х2х3 (6.12)
В этом случае матрицу планирования можно представить так:
Номер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi |
|
опыта |
х0 |
х1 |
х2 |
х3 |
х1 х2 |
х1 х3 |
х2 х3 |
х1 х2 х3 |
|||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
+ |
- |
- |
|
- |
|
- |
|
+ |
|
+ |
|
y1 |
|
2 |
+ |
- |
- |
- |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
- |
|
y2 |
|
3 |
+ |
+ |
+ |
- |
|
+ |
|
- |
|
- |
|
- |
|
y3 |
|
4 |
+ |
- |
+ |
- |
|
- |
|
+ |
|
- |
|
+ |
|
y4 |
|
5 |
+ |
+ |
- |
+ |
|
- |
|
+ |
|
- |
|
- |
|
y5 |
|
6 |
+ |
- |
- |
+ |
|
+ |
|
- |
|
- |
|
+ |
|
y6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
y7 |
|
8 |
+ |
- |
+ |
+ |
|
- |
|
- |
|
+ |
|
- |
|
y8 |
Рис. 6.4. Матрица планирования трехфакторного эксперимента с возможными взаимодействиями факторов
Соответствующие коэффициенты уравнения регрессии окажутся равными
192
b12 |
|
y y |
|
y y |
|
у у |
|
у |
|
у |
|
|
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
7 |
8 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 y2 y3 y4 у5 у6 у7 у8 |
|
||||||||||||
b13 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.12) |
|||
|
|
y1 y2 y3 y4 у5 у6 у7 у8 |
|
|
; |
||||||||||
b23 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 y2 y3 y4 у5 у6 у7 у8 |
|
|
|
|||||||||
b |
|
|
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
123 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. знаки перед уi ставятся из столбца матрицы, где определено соответствующее взаимодействие.
Опыт изучения взаимодействий показал, что парные взаимодействия достаточно вероятны, но взаимодействия более высоких порядков встречаются исключительно редко.
6.2.4. Дробный факторный эксперимент (ДФЭ)
В полном факторном эксперименте число опытов снижено за счет линеаризации области исследования, т.е. вместо обычных трех уровней в
этом плане остается два, тогда общее число опытов будет, как уже отмечалось ранее, N = 2m.
Возможность дальнейшего снижения числа опытов состоит в том, что в плане ПФЭ количество опытов (строк матрицы) может быть существенно больше числа искомых коэффициентов. Например, при трехфакторном эксперименте всего четыре неизвестных коэффициента (и стало быть для их определения достаточно четырех уравнений), а матрица включает восемь опытов.
Если допустить, что проведение восьми опытов затруднительно (может быть они очень трудоемки или до роги) и попытаться обойтись только половиной (говорят полурепликой), то встает вопрос, какие из восьми планов ПФЭ нужно проводить и к каким ошибкам, к какой потере информации приведет такое сокращение.
Если задачу попытаться решить просто, допустим, взяв первую или вторую четверку опытов из матрицы ПФЭ, то получится:
Номер |
|
|
|
yi |
опыта |
х1 |
х2 |
х3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
- |
- |
y1 |
2 |
- |
- |
- |
y2 |
3 |
+ |
+ |
- |
y3 |
4 |
- |
+ |
- |
yn |
Номер |
|
|
|
yi |
опыта |
х1 |
х2 |
х3 |
|
|
|
|
|
|
5 |
+ |
- |
+ |
y1 |
6 |
- |
- |
+ |
y2 |
7 |
+ |
+ |
+ |
y3 |
8 |
- |
+ |
+ |
yn |
Рис. 6.5. Варианты поиска возможности сокращения числа опытов Варианты оказались неудачными, так как матрицы стали несиммет-
ричными, поскольку в них сумма элементов х3 не равна нулю, т.е. наруше-
193
но свойство симметричности, и определить значение коэффициентов стало невозможно.
При поиске вариантов следует избегать случаев, когда векторстолбцы одинаковы или линейно зависимы.
Приемлемыми могут оказаться два варианта:
Заметим, что в приемлемых планах ДФЭ произведения всех трех факторов равняются либо
|
|
|
|
|
x1 x2 x3 |
1 или x1 x2 |
x3 |
1 . |
(6.13) |
Выражения (6.13) называют определяющим контрастом. Приняв заранее то или иное значение определяющего контраста, найти матрицу дробного факторного эксперимента несложно.
Сокращение числа опытов по плану ДФЭ ведет к некоторой потере информации о возможных взаимодействиях.
Перемножив определяющий контраст матрицы (рис. 6.6а) последова-
тельно на х1 , х2 , х3 можно получить:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 |
x2 x3 |
х1 ; |
x1 x2 |
x3 x2 ; |
x1 x2 |
x2 |
x3 |
|
|
(6.14) |
||||||
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Учитывая, что x2 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
x2 |
x3 , |
x2 |
x1 x3 , |
x3 x1 x2 , |
|
|
(6.15) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но тогда оценка коэффициента b1 |
|
(которая зависит от вектор-столбца x1 ) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будет смешана с парным взаимодействием x2 x3 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер опы- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
х1 |
|
|
х2 |
|
|
х3 |
|
|
|
х1 |
х2 х3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
- |
|
|
- |
|
|
|
y1 |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
- |
|
|
- |
|
|
+ |
|
|
|
y6 |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
y7 |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
- |
|
|
+ |
|
|
- |
|
|
|
y8 |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
194
Номер опы- |
|
|
|
|
|
|
|
|
та |
yi |
|||||||
х1 |
х2 |
х3 |
х1 |
х2 х3 |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
- |
- |
- |
у2 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+ |
+ |
- |
у3 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
+ |
- |
+ |
у5 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
- |
+ |
+ |
у8 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б)
Рис. 6.6. Возможные планы полуреплики трехфакторного эксперимента
Совершенно аналогично b2 будет смешано с взаимодействием x1 x3 ,
а b3 – с x1 x2 .
Соотношения (6.15) называют генерирующими соотношениями. Иными словами, в полуреплике трехфакторного эксперимента теря-
ется информация о парных взаимодействиях. Потеря существенна, так как вероятность парных взаимодействий может быть высокой.
Но уже в четырехфакторном эксперименте определяющий контраст
равен х1х2х3х4 = 1, а генерирующие соотношения |
|
х1 = х2х3х4, х2 = х1х3х4, х3 = х1х2х4, х4 = х1х2х3 , |
(6.16) |
т.е. основные эффекты, зависимые от b1, b2, b3, b4, с парными взаимодействиями смешаны уже не будут, а вероятность тройных взаимодействий считается уже ничтожной. Таким образом, разрешимость дробных реплик растет с увеличением числа факторов (когда ДФЭ и необходим). Пример возможного сокращения числа опытов при ДФЭ приводится в таблице 6.7.
Таким образом, использование планов ПФЭ и особенно дробных реплик может существенно снизить число опытов по определению уравнения регрессии для линейных моделей.
6.2.5. Исследование поверхности отклика в области оптимума
К сожалению, линейные модели не всегда адекватны, особенно когда эксперимент ведется уже вблизи оптимального для функции у = f(x1x2…xn) значения.
В этом случае для аппроксимации поверхности отклика используют модель второго порядка.
195
Таблица 6.7.
Число опытов при различных планах эксперимента
факторовЧисло |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
13 |
14 |
15 |
|||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Классическийэксперимент |
уровняхх-3 |
27 |
81 |
|
243 |
|
729 |
|
2187 |
6561 |
19683 |
59049 |
177147 |
531441 |
1594323 |
4782969 |
14348907 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
опытов |
ПФЭ |
8 |
16 |
|
32 |
|
64 |
|
128 |
256 |
512 |
1024 |
2048 |
4096 |
8192 |
16384 |
32768 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ре- |
плики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дробность |
1/2 |
1/2 |
|
1/4 |
|
1/8 |
|
1/16 |
1/16 |
1/32 |
1/64 |
1/128 |
1/256 |
1/512 |
1/1024 |
1/2048 |
||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
опытов |
ДФЭ |
4 |
8 |
|
8 |
|
8 |
|
8 |
16 |
16 |
16 |
16 |
16 |
16 |
16 |
16 |
|
Число |
при |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для двухфакторного эксперимента, например, уравнение окажется следующим:
y b0 b1x1 b2 x2 |
b11x12 |
b22 x22 b12 x1x2 , |
(6.17) |
||
а в общем случае |
|
|
|
|
|
m |
|
|
m |
|
|
yˆ b0 bi xi |
bik |
xi xk bii xi2 . |
(6.18) |
||
i 1 |
i,k 1 |
|
i 1 |
|
|
|
i k |
|
|
|
|
Поскольку количество коэффициентов в этом уравнении регрессии значительно больше, то и число необходимых опытов увеличится.
Если описанию области оптимума предшествует планирование первого порядка, то существует возможность включения его в новый план эксперимента. Центром нового плана может быть центр ПФЭ или его дробная реплика. При этом к плану первого порядка прибавляют определенное число точек, подобранных подходящим образом.
Новые точки располагают на координатных осях на расстоянии от центра плана (рис. 6.7).
Рис. 6.7. Расположение опытов в центральном композиционном плане
Эти точки называют звездными, а расстояния – звездным плечом. Кроме этого, прибавляют один или несколько опытов в центре плана. В зависимости от критерия, по которому выбирают звездное плечо, различают ортогональные центральные и рототабельные центральные композиционные планы.
Число опытов N в центральных композиционных планах при m факторах определяют по формуле:
N NЯ .П. N No ,
где NЯ .П. 2т р – число опытов в использованном плане первого
порядка, составляющем так называемое ядро плана (здесь р – дробность реплики);
N = 2m – число звездных точек; No – число опытов в центре плана.
В качестве примера на рис. 6.8 приведен центральный композиционный план при двух факторах [48].
Из-за звездных точек в расширенной матрице уже нет одинаковых
197
|
|
|
|
|
столбцов, какими были столбцы х0 , |
х2 |
и х2 |
в планах первого порядка. |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Это дает возможность определить коэффициенты перед х2 |
(i = 1, 2,…m). |
|||
|
|
|
i |
|
Но матрица осталась не ортогональной (во всяком случае, для столбцов х0 ,
х12 и х22 ).
Номер |
|
|
|
|
|
|
|
Место |
опыта |
x0 |
x1 |
x2 |
x1 x2 |
x12 |
x22 |
точек |
|
1 |
+1 |
+1 |
- |
|
-1 |
+1 |
+1 |
|
2 |
+1 |
-1 |
- |
+1 |
+1 |
+1 |
Ядро |
|
3 |
+1 |
+1 |
+ |
+1 |
+1 |
+1 |
плана |
|
4 |
+1 |
-1 |
+ |
|
-1 |
+1 |
+1 |
|
5 |
+1 |
+ |
0 |
|
0 |
2 |
0 |
|
6 |
+1 |
- |
0 |
|
0 |
2 |
0 |
Звездные |
7 |
+1 |
0 |
+ |
|
0 |
0 |
2 |
точки |
8 |
+1 |
0 |
- |
|
0 |
0 |
2 |
|
9 |
+1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
Центр |
|
плана |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.8. Центральный композиционный план двухфакторного эксперимента
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы матрица |
стала |
ортогональной |
относительно |
х0 , |
х2 |
и х2 |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
необходимо сделать преобразования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
xi |
xi |
|
xij |
xi |
x1 |
, i = 1, 2…m , |
|
(6.19) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
N j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|||
где xi |
– 1 новая переменная, в которую преобразуется переменная хi |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 |
– среднее арифметическое значение переменной х2 |
, i = 1, 2…m. |
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
Ортогонализовать столбцы хi2 между собой можно за счет звездного
плеча .
Если в качестве ядра матрицы используется ПФЭ, то звездное плечо определяют из уравнения:
4 2m 2 2m 2 2m N |
0 , |
(6.20) |
0 |
|
|
а в случае, когда ядро представляет реплика с дробностью р, то
4 2m p 2 2m p 2 2m N |
0 . |
(6.21) |
0 |
|
|
198
Результаты расчетов по этим формулам при N0 = 1 приведены в табл.
6.8
~2 |
|
|
2 |
(i = 1, 2…m) вызывает только |
|
Введение переменных xi |
вместо хi |
изменение свободного члена b0 по модели (6.18):
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
bii xi , |
|
|
|
|
|
(6.22) |
||||
|
|
|
|
b0 b0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||
где b0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
- свободный член модели, в которой хi |
заменены на xi . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.8 |
|
|
|
Значения звездного плеча при ортогональном центральном |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
композиционном плане |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
5 |
6 |
|
7 |
8 |
|
|
9 |
10 |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
1,0 |
1,215 |
1,414 |
1,595 |
1,761 |
|
1,907 |
2,041 |
|
|
2,173 |
2,285 |
|||
1 |
|
- |
1,147 |
1,353 |
1,547 |
1,724 |
|
1,885 |
2,029 |
|
|
2,160 |
2,280 |
|||
2 |
|
- |
- |
1,267 |
1,471 |
1,664 |
|
1,841 |
2,000 |
|
|
2,141 |
2,269 |
|||
3 |
|
- |
- |
- |
1,369 |
1,575 |
|
1,771 |
1,949 |
|
|
2,108 |
2,247 |
|||
4 |
|
- |
- |
- |
|
- |
1,457 |
|
1,668 |
1,868 |
|
|
2,049 |
2,209 |
||
5 |
|
- |
- |
- |
|
- |
- |
|
1,536 |
1,752 |
|
|
1,958 |
2,143 |
||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
, введения звездного плеча, |
||||||||
|
Из-за необходимости преобразования xi |
|
, bi , bij и bii вычисляют по формулам: |
коэффициенты регрессии b0 |
|
N |
|
|
N |
|
|
|
|
N |
|
|
xoj y j |
xoj ; |
|
|
|
bi xij y j |
||||
b0 |
|
|
|
|||||||
|
j 1 |
|
|
j 1 |
|
|
|
|
j 1 |
|
|
N |
|
|
N |
|
|
|
2 |
N |
~2 |
|
|
|||||||||
bij xij xk y j |
xij xkj ; |
bii xij y j |
||||||||
|
j 1 |
|
|
j 1 |
|
|
|
|
j 1 |
|
i, k = 1, 2,…m; i < k; i = 1, 2,…m.
N |
|
|
|
|
|
xij2 |
|
(i = 1, 2,…m), |
|||
j 1 |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
(6.23) |
|
xij |
|
|||
|
j 1 |
|
|
|
|
Все коэффициенты регрессии, найденные таким образом, являются
независимыми один от другого, но при возвращении от переменных ~2 к xi
старым переменным хi2 , свободный член оказывается смешанным с коэф-
фициентом bii (см. 6.22).
К преимуществам ортогональных центральных композиционных планов относятся простые и удобные расчетные формулы. Однако, с точки зрения точности предсказания значений параметров оптимизации, эти планы имеют недостатки.
Большую точность обеспечивают так называемые D-оптимальные планы, но число опытов в них очень велико.
199
Очень близкими к D-оптимальным, но гораздо более простыми по использованию оказались так называемые Вт-планы. Эти планы содержат ядро ПФЭ 2m или ДФЭ 2m-p и включают 2п звездных точек, которые расположены на координатных осях на расстоянии от центра эксперимента.
Особенностью этих планов является то, что величина оказывается равной 1 для всех факторов, и центральной точки они не содержат.
В качестве примера на рис. 6.9 приведена матрица планирования Вт при т = 3 с ядром в виде ПФЭ 23.
Номер |
|
Факторы |
|
|
Номер |
|
Факторы |
|
|
||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
||
опыта |
|
|
опыта |
|
|
||||||||
x1 |
|
x2 |
|
x3 |
|
x1 |
|
x2 |
|
x3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
-1 |
|
-1 |
|
-1 |
y1 |
9 |
-1 |
|
0 |
|
0 |
y9 |
2 |
+1 |
|
-1 |
|
-1 |
y2 |
10 |
+1 |
|
0 |
|
0 |
y10 |
3 |
-1 |
|
+1 |
|
-1 |
y3 |
11 |
0 |
|
-1 |
|
0 |
y11 |
4 |
+1 |
|
+1 |
|
-1 |
y4 |
12 |
0 |
|
+1 |
|
0 |
y12 |
5 |
-1 |
|
-1 |
|
+1 |
y5 |
13 |
0 |
|
0 |
|
-1 |
y13 |
6 |
+1 |
|
-1 |
|
+1 |
y6 |
14 |
0 |
|
- |
|
+1 |
y14 |
7 |
-1 |
|
+1 |
|
+1 |
y7 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
+1 |
|
+1 |
|
+1 |
y8 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.9. Матрица планирования Вт для трехфакторного эксперимента
Первые восемь точек составляют ядро плана Вт и соответствуют полному факторному эксперименту 23, а остальные шесть – звездные точки.
В этих точках варьируется только один какой-либо фактор xj на нижнем или верхнем уровне, а остальные находятся в центре эксперимента, и их нормированные значения равны нулю.
Оценки коэффициентов регрессии вычисляют по формулам:
|
|
1 |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
1 |
N1 |
|
|
|
||
b0 |
|
|
|
|
|
|
|
yi |
|
|
|
yi |
|
; |
(6.24) |
|||
|
|
|
|
2m p 1 |
||||||||||||||
|
|
2 m 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i N1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bii |
|
|
|
xij2 yi |
b0 |
; |
|
|
|
(6.25) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 i N1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bj |
|
|
|
|
|
|
|
xij yi ; |
|
|
|
(6.26) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
2m p |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
N |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
bjk |
|
|
|
xij xik |
yi . |
|
|
|
(6.27) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n p |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В формулах (6.24) и (6.25) – N1 – число точек ядра плана, N1 = 2т-р. После составления уравнения регрессии возможно нахождение оп-
тимальных (максимальных или минимальных) точек этой функции.
Для этого нужно взять от нее все частные производные и приравнять нулю, т.е.
200