7 сем / Vse_lektsii_TAU

– взаимная корреляционная функция при изменении сдвига на	изменяет порядок
своих индексов (т.е. она не является четной).

2. Начальное значение автокорреляционной функции равно среднему значению квадрата СП:

	M [ X ( t ) X ( t 0)]=M [ X 2 ( t )]= x2 ( t )		было	2	( t ) m2
R (0)=						( t )	(или R	(0)=x2 ( t ) D			x 2 )
xx			показано	x	x		xx			x

Начальное значение центрированной автокорреляционной функции равно дисперсии:

0

Rxx (0)= M [ x( t ) x 2 ] = x2 0 2’. При 0 :

Rxy (0)=M [x( t )y( t )] – начальное значение взаимной корреляционной функции равно среднему значению произведения СП-ов

3. Значение автокорреляционной функции в нуле всегда превышает ее значение в любой другой момент времени τ:

Rxx (0) Rxx ( )

Доказательство:

Рассмотрим очевидное не равенство: x ( t ) x ( t ) 2 0 Сделаем преобразование x2 ( t ) x2 ( t ) 2 x ( t ) x ( t ) Усредним левую и правую части:

л.ч.:		x2 ( t ) x2 ( t ) 2x2				( t ) 2R (0)
							xx
п.ч.: 2 x ( t ) x ( t ) 2Rxx ( )
	Rxx (0) Rxx ( )					ч.т.д.

4. Для всех стационарных СП, не содержащих постоянную составляющую (~ при mx 0 )

и гармоническую составляющую, автокорреляционная функция при определяется соотношением

lim Rxx ( ) 0

Если СП содержит постоянную составляющую, т.е. mx 0 , то

lim R ( ) m2
	xx	x

Это свидетельствует об уменьшении зависимости между значениями случайного процесса с ростом разделяющего их интервала времени. В бесконечно удаленные друг от друга моменты времени значения СП являются независимыми, и корреляционная функция отлична от нуля только за счет присутствия постоянной составляющей в виде математического ожидания mx .

0

Для центрированного случайного процесса Rxx ( )=0 .

6

Т.о., Rxx ( ) имеет, например, такой вид:	Всегда справедливо равенство:
		2	R	(0) R	( )
		x	xx	xx

В большинстве задач, встречающихся в практике построения САУ, корреляционные функции сигналов имеют вид монотонно убывающих функций

Rxx ( )=Dxe ,

либо затухающих осциллирующих функций, например, типа

Rxx ( )=Dxe cos ( =const )

Корреляционные функции указанного типа представлены соответственно на рис. 1 а) и б).

Рис.1. Вид типовых корреляционных функций

4’. При :

lim Rxy ( ) mx my

5. Чем быстрее убывает автокорреляционная функция, тем более высокие частоты будут содержаться в случайном процессе.

Например, рассмотрим две автокорреляционные функции и две соответствующие им реализации процессов X ( t ) и Y ( t ) с одинаковыми средними значениями и дисперсиями:

1) будет показано:

7

2)

– СП Y ( t ) имеет, по сравнению с X ( t ) , более тонкую структуру, т.е. в нем присутствуют более высокие частоты.

Следовательно, автокорреляционная функция может характеризовать инерционные свойства объекта: чем быстрее затухает кривая Ryy () , описывающая сигнал на выходе

объекта, тем менее инерционен (более подвижен) объект.

6.Если случайные процессы независимы (некоррелированные), то их взаимная корреляционная функция равна нулю. В противном случае они называются коррелированными.

7.Автокорреляционная функция стационарного СП

Z ( t ) X ( t ) Y ( t ) ,

где X ( t ) и Y ( t ) – стационарные СП, равна

Rzz () Rxx () Ryy () Rxy () Ryx ()

Доказательство:

Rzz () M [ X ( t )+Y ( t ) X ( t )+Y ( t ) ]=M[ X ( t ) X ( t )]+M[Y ( t )Y ( t )]+M[ X ( t )Y ( t )]+

+M [Y ( t ) X ( t )]

				ч.т.д.
8. Время корреляции R случайного процесса							– это интервал времени между двумя
сечениями			x( t ) и x( t ) , начиная с			которого можно практически считать не-
коррелированными случайные величины						x( t ) и	x( t ) . Время корреляции R может
быть найдено из условия
		станет
	Rxx (R )		,

где – достаточно малая величина (коридор в %) (обычно берут 0,01 0,05 Rxx (0)

Например, для Rxx ()=e

								3
если взять 5% , то 0,05=e				3		R
e 3

8

Лекция № 14+ (на л.р. 8 декабря 2021)

4. Спектральная плотность СП и ее свойства.

Важной характеристикой СП является спектральная плотность. Обозначается Sx ( ) .

Знание ее позволяет оценивать качество работы САУ. Sx ( ) является частотной характеристикой СП, а корреляционная функция – функцией времени.

Спектральная плотность определяется как двустороннее преобразование Фурье корреляционной функции:

Sx ( )= Rxx ( )e j d 2

Rxx ( ) cos d

(*)

0

(т.к.

e j cos j sin , а интеграл от нечетной функции (синуса), умноженной на

четную ( Rxx ( ) ) в бесконечных пределах равен нулю мнимая часть отбрасывается).

Взаимная спектральная плотность двух СП-ов:

Sxy (j )= Rxy ( )e j d

(компл. величина; не имеет физического смысла)

Если известна спектральная

плотность

случайного процесса, то, пользуясь

обратным

преобразованием Фурье, можно определить корреляционную функцию

R ( )

1

S ( )e j d

1

S ( ) cos d

(**)

xx

2

x

x

0

R ( )

1

S (j )e j d

xy

2

xy

Свойства спектральной плотности стационарного СП

1. Спектральная плотность Sx ( ) – вещественная неотрицательная функция:

Sx ( ) 0

Кроме того, в нуле она максимальна: Sx (0) Sx ( )

2. Спектральная плотность является четной функцией частоты:

Sx ( ) Sx ( - )

(т.е. график Sx ( ) симметричен относительно оси ординат)

Доказательство: заменяем в (*) на , на - , принимаем во внимание четность Rxx ( ) ...

2’. Sxy (j ) Syx ( - j )

3. Среднее значение квадрата СП x2 ( t ) , равное Rxx (0) , можно найти как

1

x2 ( t )

Rxx (0)

1 Sx ( )d

из (** )

0

=0

1

При mx 0 получаем:

2x Rxx (0) mx2 ( t )

Sx ( )d

0

Т.е. дисперсия СП пропорциональна площади под кривой спектральной плотности.

4.Если Rxx ( ) – монотонная убывающая функция от τ, то Sx ( ) тоже монотонно убывает.

5.Чем шире график корреляционной функции, тем уже график спектральной плотности и наоборот: чем уже график корреляционной функции (и слабее взаимосвязь между соседними значениями), тем шире график спектральной плотности. Это следует из того, что при быстром протекании СП-са в спектральной плотности будут представлены бóльшие частоты (это соответствует физической сущности случайного процесса: чем медленнее протекает процесс, тем меньшее значение в процессе имеют высокие частоты).

Например, рассмотрим две автокорреляционные функции и две соответствующие им

реализации процессов X ( t ) и Y ( t )	с одинаковыми средними значениями и дисперсиями,
при этом СП Y ( t ) протекает быстрее, чем X ( t ) .
1)	было на
	прошлой
	лекции

2)

– из сравнения Rxx ( ) с Ryy ( ) и Sx ( ) с Sу ( ) видно, что чем уже график корреляционной функции, тем шире график спектральной плотности.

6.Для независимых СП Sxy (j )=0

(док-во следует из того, что у таких СП Rxy ( )=Ryx ( )=0 )

7. Спектральная плотность стационарного СП Z ( t ) X ( t ) Y ( t ) (являющегося суммой стац-х СП X ( t ) и Y ( t ) ) равна

2

Sz () Sx () Sy () Sxy (j) Syx (j)

Доказательство:

Sz ( )= Rzz ( )e j d Rxx ( )e j d Ryy ( )e j d Rxy ( )e j d Ryx ( )e j d

ч.т.д.

Физический смысл спектральной плотности

Спектральная плотность вводится чисто математически как двустороннее преобразование Фурье корреляционной функции. Но она имеет физический смысл.

Рассмотрим реализацию стационарного случайного процесса x ( t ) в виде электрического тока, протекающего через сопротивление в 1 Ом. Средняя мощность процесса (тока), выделенная за время 2Т на сопротивлении 1 Ом, равна:

1

T i2 Rdt

1

T x2 ( t ) 1dt

R

1

S

P

x2 (t )

(0)

x

( )e0d

ср

2T

2T

xx

2

T

T

Т.е. P

1

S

()d

1

S

()d

x

x

ср

2

0

– это соотношение характеризует мощность во всем диапазоне частот. Каждая составляющая вида 1 Sx ()d соответствует мощности в

бесконечно узкой полосе частот dω, а коэффициент 1 Sx ()

определяет скорость нарастания мощности по частоте или плотность мощности в спектре.

Таким образом, спектральная плотность Sx () характеризует распределение мощности составляющих в интервале частот d .

(Или, более кратко: спектральная плотность характеризует распределение мощности случайного процесса по частоте.)

5. Среднее время корреляции и средняя полоса частот стационарного СП.

Используются для приближенной характеристики СП-ов.

Среднее время корреляции 0 для любой Rxx () определяется путем формирования

эквивалентной корреляционной функции

3

		(0)	при							0
	Rxx
Rэ	( )=					0
	0 при
											0
Величина 0 определяется из условия:												Rэ ( )d Rxx ( )d	,
											0

что графически означает равенство площадей под графиками Rxx ( ) и Rэ ( ) (или равенство заштрихованных площадей):

Аналогично для средней полосы частот ω0

				(0)		при							0
			Sx
строится эквивалентная спектральная плотность			Sэ ( )=						0
			0 при
	0
Величина ω0 определяется из условия:		Sэ ( )d Sx ( )d			.
	0

что графически означает равенство заштрихованных площадей под графиками Rxx ( ) и Rэ ( ) (или равенство заштрихованных площадей):

Среднее время корреляции 0 и средняя полоса частот ω0 связаны соотношением

0 0

2

Док-во:

			1		1	0		1	0
	Rxx	(0)		Sx ( )e j 0d			Sэ ( )d			Sx (0)d Sx (0)	0
			2		2			2
						0			0

С дугой стороны,

4

						0			0
Sx (0) Rxx ( )e j 0 d						Rэ ( )d Rxx (0)d Rxx (0)2 0
						0			0
Перемножаем лев. и прав. части:
R (0)S	x	(0) S	x	(0) 0	R		(0)2	0
xx					xx					0 0	2

ч.т.д.

К тесту:

1.

Связь между корреляционными функциями и спектральными плотностями случайных процессов на входе и выходе линейной САУ:

Ryy ( ) w( ) w( )Rxx ( )d d

где w( ) – весовая функция САУ,

Rxx ( ) и Ryy ( ) – корреляционные функции случайных процессов (сигналов) на входе и выходе САУ соответственно.

Sy ( ) W (j ) 2 Sx ( )

где W (j ) – комплексный коэффициент усиления САУ,

Sx ( ) и S y ( ) – спектральные плотности сигналов на входе и выходе САУ соответственно.

2. Примеры корреляционной функции и спектральной плотности типовых случайных процессов и регулярных сигналов:

(Регулярный сигнал может быть математически представлен заранее известной функцией времени. Регулярные сигналы делятся на периодические о непериодические.)

1) x(t)=A0 const (процесс представляет собой постоянное воздействие)

R ( )=			M [ X ( t ) X ( t )]=M [A			A ]= A2
	xx				0	0	0
	Sx ( )=			Rxx ( )e j d	A02e j d 2 A02 ( )					(т.к. известно, что	e j d 2 ( ) )

5

Т.е. спектр состоит из одного пика типа -функции, расположенной в начале координат (это означает, что вся мощность постоянного сигнала сосредоточена на нулевой частоте).

Можно показать в обратную сторону, что у сигнала с такой спектр. плотностью корреляционная функция будет равна константе:

									т.к .
	R ( )=	1	S ( )e j d		1		2 A2	( )e j d		(x x ) f (x)dx	A2 e j 0		A2
					2
	xx	2		x			0			0	0		0
													0 0
									f (x0 )

( 0 ) , где 0 0

2) Белый шум.

Идеальный белый шум:

Опр. 1. Белый шум – это СП, корреляция в котором при 0 отсутствует.

Для БШ корреляционная функция представляет собой -функцию: Rxx ( )=N ( ) (N – мощность/интенсивность белого шума)

Опр. 2. Белым шумом называется СП, для которого спектральная плотность постоянна:

SБШ ( )=N const

Это означает, что БШ обладает гармоническими составляющими всех частот 0 от до одинаковой интенсивности.

6