MSU_Lektsii_Eliseev

Моделирование систем управления

© 2016, В.Л. Елисеев

Лекция 8. Управляемость и наблюдаемость

Наблюдаемость и управляемость односвязных и многосвязных систем. Теоремы об управляемости и наблюдаемости. Связь с задачами фильтрации и оптимального управления.

Односвязные системы

При рассмотрении односвязных систем (один вход, один выход), то есть, таких, поведение которых описывается одним обыкновенным дифференциальным уравнением, всегда имеется возможность управлять выходом объекта, путем подачи на вход тех или иных воздействий. По-другому говоря, управлять объектом.

Аналогично, зная математическую модель объекта и измеряя его выход легко вычислить все производные, являющиеся переменными состояния в нормальной форме представления объекта в пространстве состояний. Измерение выхода и восстановление значений переменных состояния называется наблюдением.

Другая ситуация складывается для многосвязных систем. Наличие нескольких входов и выходов, а также различные взаимосвязи между ними делают задачи управления и наблюдения не только нетривиальной, но и не всегда разрешимой в принципе.

Многосвязные системы

Управление объектом можно рассматривать как способ создания такой управляющей функции u(t), при которой выходной сигнал воспроизводит некоторую заданную функцию y(t). Возникает вопрос, а всегда ли это возможно?

Система x f ( x , u , t ) называется полностью управляемой, если из любого начального состояния x(t0) её можно перевести в любое конечное состояние x(t1) при помощи некоторого входного сигнала u(t), в течение конечного интервала времени t 0 t t1 .

Согласно определению, любое состояние объекта зависит по меньшей мере от одной составляющей вектора входного сигнала. Рассмотрим линейную стационарную систему со скалярным управлением в канонической форме с различающимися собственными значениями:

	x					1
	1
	x n				0

0		x1		b1
						u
		x n
n				b n

Это эквивалентно следующей структурной схеме:

41

Моделирование систем управления				© 2016, В.Л. Елисеев
				x1
	b1

	u(t)				x2
		b2

bn xn

Легко заметить, что если один из коэффициентов bi равен нулю, то повлиять управляющим воздействием на переменную xi невозможно. В этом случае передаточная функция системы имеет нуль в точке i. Другими словами, полюс и ноль сокращаются. В этом случае неуправляемость объекта обуславливается сокращением полюса и нуля.

Теорема: Необходимое и достаточное условие полной управляемости линейной

стационарной системы	x		Ax Bu заключается в том, что матрица
			K	B		A 2
					AB		B		A n 1 B

размерности n rn должна иметь ранг n.

Размерности матриц: A : n n ,

B : n r

С понятием управляемости тесно связано понятие наблюдаемости системы. Наблюдаемость системы устанавливает, возможно ли определить значения переменных состояния системы, относящихся к прошлому, по результатам наблюдения за одним лишь выходным сигналом.

Скалярный вход называется полным, если все величины b i 0

Скалярный выход называется полным, если выходную переменную формируют все переменные состояния c i 0

Теорема: Необходимое и достаточное условие полной наблюдаемости линейной стационарной системы

x Ax Bu

y Cx Du

42

Моделирование систем управления

© 2016, В.Л. Елисеев

заключается в том, что матрица

T

T

T

T 2

T

T n 1

T

C

A

C

A

C

A

C

размерности n nm должна иметь ранг n.

Понятия управляемости и наблюдаемости несколько искусственны, поскольку они зависят от выбора переменных состояния и, соответственно, вида матриц A, C.

Пример получения описания уравнений состояния многосвязной системы по структурной схеме

Рассмотрим пример многосвязной системы и покажем на нем приемы, используемые при получении уравнений состояния по структурной схеме:

u2

x1

xвх

xвых

W1

W2

u1

y1

W3

W4

y2

k 4

k

1

,

k

2

p

k 3

W 1

1 pT 1

W 2

W 3

W 4

2

ap b

1 pT 2

p

p

Представим описание звеньев в результирующем уравнении состояний системы:

	1 звено:	x			1	x			k 1	u
			1		T1		1		T1		1

xвх

k1/T1

xвых

-1/T1

2 звено:

x вых

T 2

k

1

x вых

x вых

k

2

x вх

x вых

2 x вх

T 2

T 2

Это соответствует аналоговой схеме:

43

Моделирование систем управления

© 2016, В.Л. Елисеев

xвх

k2/T2

xвых

-1/T2

			1				x вых
z
			T 2
				k 2
x								x		z
	вых								вх
				T
					2

3	звено: интегрирующее		y	2	k	3 u 1
				u1						y2
							k3
4	звено: колебательное		z1		k 4	y 2 az 1 bz 2			z 2	z1
	y2							z1		z2
		k4

-a

-b

Сшиваем полученные уравнения по входу-выходу, переходя от введенных переменных к переменным пространства состояний:

x 1 x вх	x 2 z	x вх x 1	u 2	y 1 x вых	x 5
y 2 x 3	z1 x 4	z 2 x 5

x 1

x

2

x 3

x 4

x 5

	1		x					k 1			u
	T1				1			T1					1
	k 2			x					1			x				k 2		u
	2					1								2			2		2
	T 2								T	2						T	2

k 3 u 1

k 4 x 3 ax 4 bx 5

x 4

	1		k 2			x 2	x 5	k 2
y					x 1				u 2
			T 2					T 2
y	2		x	3

Отсюда имеем:

44

Моделирование систем управления

© 2016, В.Л. Елисеев

			1				0			0	0	0				k 1					0
			T1													T1
			k		2			1		0	0	0					0				k	2
A			T		2			T 2						B							T	2
					2																	2
			0				0			0	0	0					k				0
																		3
			0				0			k 4	a	b				0					0
			0				0			0	1	0					0				0
		k 2				1 0 0				1							0			k 2
C														D
		T 2																		T 2
		0				0 1 0 0											0		0

45

Моделирование систем управления

© 2016, В.Л. Елисеев

Лекция 9. Дискретные модели систем

Дискретные системы управления. Дискретизация по уровню и по времени. Виды моделей дискретных систем: z-преобразование передаточной функции, уравнения в пространстве состояний, модели временных рядов АРСС.

Дискретные системы управления и их моделирование

В современных системах управления сложными объектами в качестве регуляторов могут применяться цифровые вычислительные устройства. Иногда это микроконтроллеры, иногда – полноценные компьютеры. Схемы таких систем управления кроме традиционных элементов содержат блоки цифро-аналогового и аналогово-цифрового преобразования:

	r(kT)		u(kT)		u(t)
		Цифровой		ЦАП		Объект
		компьютер				управления
			y(kT)		y(t)
				АЦП

Если модель объекта управления описана в дискретной форме, то можно абстрагироваться от непрерывной природы самого объекта. Однако математический аппарат, разработанный для исследования обычных систем управления, не может быть применен для систем в дискретном времени.

Примеры аналогово-цифрового и цифро-аналогового преобразования:

x	x	x
	АЦП	ЦАП

0

t

0 1 2 3 4 5

k

0

t

Применительно к задачам моделирования дискретные системы управления характеризуются следующими особенностями:

Выбор шага квантования T влияет на модель объекта управления в дискретном времени. В то же время, моделирование в дискретном времени шаг квантования не использует.

46

Моделирование систем управления

© 2016, В.Л. Елисеев

Фиксированный шаг квантования ограничивает полосу представимых частот

диапазоном		0 ,	1		. С одной стороны, это ограничивает быстродействие системы
			2 T

управления, с другой – не позволяет обнаружить в цифровом сигнале частоты выше 1 , даже если они были в аналоговом сигнале до АЦП.

2T

Квантование сигналов по уровню должно обеспечивать как необходимую точность, так и нужный диапазон представимых значений (минимум, максимум).

	Частота	1	называется частотой Найквиста.
		2 T

Теорема Котельникова (в западной литературе – Найквиста-Шеннона): Любую функцию

f ( t ) , состоящую из частот от 0 до 1 , можно непрерывно передавать с любой точностью

2 T

при помощи чисел, следующих друг за другом через T секунд.

Математический аппарат описания систем управления в дискретном времени совпадает с используемым при цифровой обработке сигналов.

Z-преобразование

Рассмотрим работу идеального квантователя по времени исходного непрерывного сигнала, где T – период квантования:

x * ( t ) x ( kT ) ( t kT )

k 0

Предполагается, что x(t) существует для всех t>0. Преобразование Лапласа дает нам:

L x * ( t ) x ( kT ) exp(	ksT )
k 0
Введем переменную z exp( sT ) и обозначим		получившееся преобразование z-
преобразованием:
Z x ( t ) L x * ( t ) x ( kT ) z k
k 0
Например, для единичной ступенчатой функции h ( t )			0 , t	0	:
				0
			1, t
			z
H ( z ) Z h ( t ) z k
			z 1
k 0

z-преобразование, подобно преобразованию Лапласа, обладает свойством линейности.

Можно составить таблицу z-преобразований, аналогично таблице преобразования Лапласа:

47

Моделирование систем управления

© 2016, В.Л. Елисеев

x(t)

X(s)

X(z)

1, t

0

1

1

( t )

0 , t

kT , k 0

( t kT

)

1, t kT

exp( kTs )

z k

0 , t kT

h(t)

1

z

s

z 1

t

1

Tz

s 2

( z 1 ) 2

exp( at )

1

z

s a

z exp( aT )

Отображение точек s-плоскости в точки на z-плоскости определяется следующим правилом:

левая полуплоскость s-плоскости (точки с отрицательной действительной частью) отображается во внутренние точки единичной окружности с центром в начале координат z-плоскости;

точки с нулевой действительной частью (лежащие на мнимой оси) s-плоскости отображаются в точки на единичной окружности z-плоскости;

правая полуплоскость s-плоскости отображается в точки вне единичной окружности z-плоскости.

Свойства z-преобразования позволяют работать с z-образами передаточных функций аналогично тому, как это делается с системами в непрерывном времени и преобразованием Лапласа.

Например, традиционный контур управления с обратной связью в дискретном времени и z-образами передаточных функций звеньев выглядит так:

	r(kT)				y(kT)
		C(z)		P(z)

В этом случае передаточная функция замкнутой системы вычисляется аналогично тому, как это делалось для непрерывных систем:

C ( z ) P ( z )

W ( z )

1 C ( z ) P ( z )

Устойчивость дискретной системы определяется по корням полинома в знаменателе, причем если корни лежат внутри единичного круга с центром в начале координат на z- плоскости, то система устойчива.

48

Моделирование систем управления © 2016, В.Л. Елисеев

Уравнения в пространстве состояний

Рассмотрим дискретный аналог непрерывной системы, описываемой уравнениями состояния:

x ( t ) A ( t ) x ( t ) B ( t ) u ( t )
	C ( t ) x ( t ) D ( t ) u ( t )
y ( t )

Дискретный аналог при шаге квантования T : t k 1 t k T , k				0 и ЦАП нулевого порядка
f ( t ) f ( k ), t k	t t k 1 :
	x ( k 1)		A d ( k ) x ( k ) B d ( k ) u ( k )
		y ( k )	C d ( k ) x ( k ) D d ( k ) u ( k )

Причем матрицы дискретных уравнений состояния вычисляются по формулам:

							T
		exp( AT )
A	d		B	d				exp(	A ) d B
						0
C d		C exp( AT )	D d		D

Аналогично непрерывному случаю можно ввести понятие переходной матрицы системы:

k 1
x ( k ) ( k , k 0 ) ( k , i 1) B d ( i ) u ( i ) ,	k k 0 1
i k 0

В отличие от непрерывного случая, переходная матрица системы находится достаточно просто в результате решения следующей системы уравнений:

( k 1, k 0 ) Ad ( k ) ( k , k		0 )
	( k 0 , k 0 ) I

В случае нестационарного объекта:

( k , k 0 )	Ad ( k 1) Ad ( k 2 ) Ad ( k		0 ), k k	0 1
		k 0
	I , k

В стационарном случае: ( k , k 0 ) Adk k 0

Модель временного ряда

В дискретном времени взаимосвязь входных u(k) и наблюдаемых на выходе значений y(k) системы может быть представлена в следующем виде:

p q

y ( k ) c i y ( k i ) i u ( k i )

i 1 i 0

49

Моделирование систем управления

© 2016, В.Л. Елисеев

где c, i , i - константы. Такая форма называется процессом авторегрессии-скользящего среднего АРСС (ARMA – autoregressivemoving average) порядка p,q.

Если использовать z-1 как оператор сдвига на один отсчет времени назад, то можем преобразовать запись процесса АРСС в форме, аналогичной z-образу:

p

q

y ( k ) c i y ( k ) z i

i u ( k ) z i

i 1

i 0

p

q

1

z

i y ( k )

c

z

i u ( k )

i

i

i 1

i 0

Если c=0, то передаточная функция системы может быть представлена в виде отношения полиномов:

					q
								z		i
y ( k )							i
				i 0
u ( k )						p
			1							z	i
									i
					i 1

Модели типа АРСС часто строят для объектов и процессов с трудно формализуемой структурой и случайными воздействиями на входе u(t), например, для показателей финансового рынка. Такие модели являются достаточно экономичными в смысле количества параметров, позволяющих описывать процесс.

Пример: численный расчет и моделирование на компьютере

Существует задача построения оптимального винеровского фильтра. Для известных спектральных характеристик входного сигнала и сигнала помехи этот фильтр обеспечивает наилучшую в среднеквадратическом смысле фильтрацию помехи. Есть формулы, позволяющие не только рассчитать физически реализуемую передаточную функцию фильтра, но и получить значение среднеквадратической ошибки фильтрации e.

Моделирование в непрерывном времени,				Моделирование в дискретном времени,
	звенья заданы в непрерывном времени			звенья заданы в непрерывном времени
		ошибка e1					ошибка e2
	R(s)			R(s)

W(s)

N(s)

W(s)

N(s)

Для имитационных экспериментов на компьютере были взяты непрерывные модели сигналов и аналитически рассчитанная передаточная функция винеровского фильтра.

50