Ряды
.pdfРяды
Признаки сходимости знакопостоянных рядов
|
0 9N = N(") 2 N 8n >P |
j |
n+p |
nj j |
i=n+1 |
ij |
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
достаточно, чтобы |
8" > |
||
Критерий Коши |
Для сходимости ряда |
|
n=1 an необходимо и |
|
n+p |
a < ". |
|||||
|
|
|
N; p > 0 ( S |
|
S = |
P |
|
||||
|
В частности nlim!1 an = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
выполнено |
P |
1 |
|
|
P |
1 |
|
|
|
|
Признак сравнения |
0 an bn |
|
n=1 bn. Если при n n0 |
||||||||
Пусть, кроме ряда |
n=1 an имеем ряд |
|
|||||||||
|
|
неравенство |
|
, то |
|
|
|
|
|
|
1.из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда;
2.из расходимости первого ряда следует расходимость второго.
Признак сравнения |
|
Если an = O |
|
|
|
1 |
|
, то при p > 1 ряд |
|
|
1 |
|
an cходится, а при p |
|
1 — |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
P |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
расходится. |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Признак Даламбера |
|
Если an > 0 8n 2 N и nlim!1 |
|
|
|
|
|
= q, то при q < 1 ряд сходится и при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
an |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
q > 1 расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Признак Коши |
|
Если a |
|
|
|
0 |
|
n |
|
|
|
|
|
и |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= q, то при q < 1 ряд сходится и при |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
8 |
|
|
2 |
N |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
q > 1 ряд расходится. |
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Признак Раабе |
|
Если an > 0 8n 2 N и nlim n |
|
|
|
an |
|
|
|
|
= p, то при p > 1 ряд сходится |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
an+1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
и при p < 1 расходится.!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Признак Гаусса |
|
Если an > 0 8n 2 N и |
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
, где |
j nj < C |
и " > 0, то |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= + n |
+ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
an+1 |
n1+" |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а) при > 1 ряд сходится и при < 1 расходится; б) при = 1 ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
сходится, если > 1, и расходится, если 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Интегральный признак Коши |
|
Если f(x) (x 1) — неотрицательная невозврастающая непрерывная |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
функция, то ряд |
1 |
|
|
f(n) |
сходится или расходится одновременно с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
интегралом |
|
1+1 fP(x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Признаки сходимости знакопеременных рядов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Знакочередующийся ряд |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
сходится, если |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Признак Лейбница |
|
bn+1 8n 2 N и nlim!1 bn = 0P. |
n=1( 1) |
|
|
|
bn; |
(bn 0) |
|
|
|
|
|
|
|
bn |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Признак Абеля |
|
ряд |
1 |
|
anbn сходится если ряд |
|
|
1 |
|
|
an сходится и числа bn обазуют |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
монотонную и ограниченную последовательность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Признак Дирихле |
|
ряд |
1 |
|
anbn сходится, если частичные суммы An = |
n |
|
ai ограни- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
в совокупности и |
|
bn |
монотонно стремится к нулю при |
n ! 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ченыP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Функциональные ряды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Область сходимости сумма |
|
Совокупность X0 тех значений x, для которых сходится функциональ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функционального ряда |
|
ный ряд |
|
|
|
1 |
|
|
un(x) |
называется областью сходимости этого ряда, а |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
функция S(x) = |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— его суммой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 ui(x); (x 2 X0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Равномерная сходимость |
|
Последовательность функций |
ffn(x)g |
|
называется равномерно сходя- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
щейся на множестве X, |
|
если |
|
1) |
существует |
предельная |
|
функция |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f |
x = nlim!1 fn(x); (x 2 X); 2) 8" > 0 9N 2 N; N = N(") 8n > N 8x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X : jf(x) fn(x)j < ". Функциональный ряд |
|
называется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n=1 un(x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
равномерно сходящимся на множестве |
X |
, если равномерно сходится |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
на этом множестве последовательность его частичных сумм |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Критерий Коши |
|
Для равномерной сходимости функционального ряда на множестве X |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
необходимо и достаточно, чтобы 8" > 0 9N 2 N; N = N(") 8n > |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
N 8p > 0 8x 2 X : jSn+p(x) Sn(x)j < ". |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Признак Вейерштрасса |
|
функциональный ряд |
|
|
1 |
|
|
|
un(x) сходится абсолютно и равномерно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
на множестве |
X |
, если существует сходящийся числовой ряд |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
n=1 cn |
|||||||||||
|
|
такой, что jan(x)j cn при x 2 X; n 2 N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Признак Абеля |
|
Ряд |
|
|
|
1 |
|
|
an(x)bn(x) |
|
сходится |
|
равномерно на |
множестве |
|
X, |
|
если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ряд |
|
Pn1=1 an(x) |
|
сходится |
|
равномерно на множестве X, и функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
bn(x)P; n 2 N ограничены в совокупности и при каждом x образуют |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
монотонную последовательность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Признак Дирихле |
|
|
P |
|
|
|
|
|
n=1 an(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ряд |
1 |
an(x)bn(x) сходится равномерно на множестве X, если ча- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
bn(x);P |
2 N |
|
|
|
|
|
в совокупности ограничены, и последова- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
стичные суммы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
тельность |
|
|
|
|
n |
|
|
|
монотонна для каждого x и равномерно на X |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
стремится к нулю при n ! 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Теорема Дини |
Пусть последовательность ffn(x)g является монотонной в каждой точ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ке сегмента [a; b] |
и сходится на этом сегменте к предельной функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f(x). Тогда, если все элементы последовательности fn(x) и предельная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
функция f(x) непрерывны на сегменте [a; b], то сходимость последова- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
тельности ffn(x)g является равномерной на сегменте [a; b]. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
емы при a < x < b и ряд |
|
|
|
|
|
P |
1 |
|
|
|
|
n=1 un0 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Если члены сходящегося ряда |
|
|
|
un(x) |
непрерывно дифференциру- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Свойства функциональных рядов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(a; b) |
|
|
|
dx |
|
|
|
n=1 un(x)]P |
1 |
|
|
n=1 un0 (x) |
|
|
|
x 2 (a; b) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
производных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится равномерно |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1Pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
на интервале |
|
|
|
, то |
|
d |
|
[ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
при |
|
|
. |
||||||||||||
|
Если |
члены |
|
ряда |
|
|
1 |
|
u (x) |
|
|
непрерывны |
|
|
и |
|
|
этот |
ряд |
сходится |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n1=1 ab un0 (x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сегменте |
|
|
|
|
|
, |
|
то |
R |
|
|
fP |
1 |
|
|
g |
|
||||||||||||||||
|
равномерно |
на |
конечном |
|
[a; b] |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 un(x) dx = |
|||||||||||||||||||
|
P |
R |
Степенные ряды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Интервал сходимости, радиус |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
j |
P |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
существует замкнутый |
|||||||||||||||||
Для каждого степенного ряда |
|
|
n=0 an(x a) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сходимости |
интервал сходимости: x |
|
|
a |
R, внутри которого данный ряд схо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
дится, а вне расходится. Радиус сходимости R определяется по формуе |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
= |
n!1 |
j |
|
j |
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Коши-Адамара: |
1 |
|
|
|
lim |
|
n |
|
|
an |
. Радиус сходимости может быть вычис- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = n!1 an+1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
лен также по формуле |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
, если этот предел существует. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x = R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема Абеля |
Если степенной ряд S(x) = |
|
n1=0 |
anx |
|
|
( x < R) |
|
сходится в концевой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
точке |
|
|
интервала сходимости, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim S(x) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|||
j j |
|
f Pn=0 an(x a) g dxP |
|
|
|
|
|
n=0 n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
d |
[ |
n1=0 an(x a)n] = |
|
|
|
n1=0(n + 1)an+1(x |
a)n; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Действия со степенными рядами |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
R P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Внутри общего интервала сходимости x a < R |
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
= C + |
|
|
1 |
|
(x |
|
|
a)n+1. |
|
|
|
|
|
|