Учебные пособия / Шестакова учебное пособие УМФ
.pdfповерхность S, ограничивающую эту область |
и |
удовлетворяющей краевому условию |
|
|на = ( , , ), |
|
где ( , , ) - заданная непрерывная на S функция,
называется задачей Дирихле.
Рассмотрим на плоскости ОХУ круг с центром в начале координат радиусаR. Пусть на его окружности задана некоторая функция = (φ), гдеφ - полярный угол. Найдем функцию ( , φ) , удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа
+ |
1 |
+ |
1 |
uφφ = 0 |
(2.24) |
|
2 |
||||
|
|
|
|
||
на окружности принимающую заданные |
значения |
||||
|= |
= (φ). |
|
Решение задачи можно найти методом разделения
переменных (методом Фурье), полагая
= Ф(φ) ∙ ( ). Подставляя эту функцию в уравнение
(2.24), получим
2Ф(φ) ∙ "(r)+rФ(φ)∙R'(r)+Ф"(φ) ∙ ( ) = 0 или
Ф"(φ) = − 2"( )+ ′( ) = − 2 . Ф(φ) ( )
Левая часть этого равенства не зависит отr, а
правая от φ, следовательно, они равны постоянному
50
числу, которое обозначили через − 2. Таким образом,
находим два дифференциальных уравнения
Φ"(φ) + λ2Φ(φ) = 0 |
(2.25) |
2 "( ) + ′( ) − λ2 ( ) = 0 |
(2.26) |
Общее решение первого из этих |
уравнений будет |
Φ= cos λφ + sin λφ . |
|
Второе уравнение является уравнением Эйлера.
Его решение найдем в виде ( ) = . Подставив выписанную функцию в уравнение (2.26), найдем два частных линейно независимых решении λ и −λ. Тогда общее решение уравнения (2.26) запишется в виде =
λ + −λ. |
|
|
|
|
||||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
||
|
λ |
= ( |
λ |
cos λφ + sin λφ)( λ |
+ −λ) |
(2.27) |
||
|
|
|
λ |
λ |
λ |
|
||
|
|
Полученная |
функция |
будет |
решением |
данного |
уравнения при любом значенииλ, отличном от нуля.
Еслиλ = 0, то уравнения (2.25) и (2.26) принимают вид
Φ(φ)=0, rR( ) + ′( ) = 0.
Откуда получаем 0 = ( 0 + 0φ)( 0 + 0 ln ). Так как решение должно быть периодической
функцией от φ с наименьшим положительным периодом 2π , то в найденном выражении для
51
0 0 = 0 . Далее функция ( , φ) должна быть непрерывной и конечной в круге, поэтому 0 = 0и λ = 0.
Решение исходной задачи будем составлять в виде суммы решений (2.27). Сумма должна быть периодической функцией от φ. Для этого λ должно принимать целые значения. Итак,
( , φ) = 20 + ∑∞=1( cos φ + sin φ) (2.28)
Постоянные и находят так, чтобы выполнялось краевое условие задачи. Подставляя в выражение для ( , φ) значение = , получим
(φ) = 20 + ∑∞=1( cos φ + sin φ) .
Найденная сумма является рядом Фурье для функции (φ) на интервале(– π, π). Следовательно,
и должны определяться по формулам
|
0 = |
|
1 |
|
∫π |
(φ) φ |
|
||||
|
|
π |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
||
|
= |
1 |
|
∫π |
|
(φ) cos φ φ |
(2.29) |
||||
|
|
||||||||||
|
|
π |
|
|
−π |
|
|
|
|||
|
= |
1 |
|
∫π |
|
(φ) sin φ φ |
|
||||
π |
|
|
|
||||||||
{ |
|
|
|
−π |
|
|
|
Таким образом, ряд (2.28) с коэффициентами,
определенными по формулам (2.29), будет решением
52
поставленной задачи, если он допускает почленное двукратное дифференцирование по r иφ.
Методика решениязадачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге:
1)Найти коэффициенты ряда по формулам
(2.29).
2)Записать решение в виде (2.28)
Пример 2.12.Найти решениезадачи Дирихле для
уравнения Лапласа в круге:∆ = 0, 0 ≤ < 2, |=2 = 2 + 1.
Решение:
1) 0 = 1 ∫− (2 + 1) = 1 ( 2 + )|− = 2
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
|
|
∫(2 + 1) cos = |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
[(2 + 1) |
sin | |
− |
∫ 2 |
sin ] |
|||||||||
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
|
|
|
cos | |
= 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
∫(2 + 1) sin = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
|
[(2 + 1) |
cos | |
|
+ ∫ 2 |
|
cos ] = |
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−(−1) |
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)+1 |
|
|
|
= |
|
+ |
|
|
|
sin | |
= |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
2−2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||||||
|
2) |
( , ) = 1 + ∑∞ |
|
( |
(−1)+1 |
sin ) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
2 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Иногда, если ( ) уже разложена в ряд Фурье,
решение задачи упрощается:
∆ = 0, 0 ≤ ≤ 0, |=0 = ( )
Решение задачи Дирихле:
∞
( , ) = ∑ ( , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
+ ∑ ( |
) |
( |
|
cos + |
sin ) |
|||||||
0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
( ) = ( , ) |
= ∑ ( |
|
) ( |
|
cos + |
sin ) |
||||||||
|
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разложимf(x) в ряд используя тригонометрические формулы:
54
sin3 = 34 sin − 14 sin 3 , cos3 = 34 cos + 14 cos 3 ,
sin2 = |
1 |
− |
1 |
cos2 , |
cos2 = |
1 |
+ |
1 |
cos2 |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Пример 2.13. Найти решениезадачи Дирихле для
уравнения |
Лапласа |
в |
круге: ∆ = 0, |
0 ≤ < 1, |
| =1 = sin3φ. |
|
|
Решение:
1)(1, ) = 0 + ∑∞=1( cos + sin ) = sin3φ = 34 sin − 14 sin 3 ,
|
|
= 0, |
|
= 0, = |
3 |
, = − |
1 |
, |
|
= 0 |
|
|
4 |
4 |
|||||||
|
0 |
|
|
1 |
3 |
|
≠1,3 |
|
2) ( , ) = 34 r sin − 14 3 sin 3
Задачи для самостоятельного решения
Найти решениезадачи Дирихле для уравнения Лапласа
вкруге:
1.∆ = 0, 0 ≤ < 1, | =1 = 3 + 1
2.∆ = 0, 0 ≤ < 3, | =3 = + 10
3.∆ = 0, 0 ≤ < 2, | =2 = 2 + 10
4.∆ = 0, 0 ≤ < 5, | =5 = 12
55
5.∆ = 0, 0 ≤ < 4, | =4 = 8 + 1
6.∆ = 0, 0 ≤ < 2,
|
| =2 = 2 cos3 φ − sin3φ + sin φ |
7. |
∆ = 0, 0 ≤ < 2, , | =2 = 4 cos3 φ + |
|
4 sin3φ + cosφ + 2 |
8. |
∆ = 0, 0 ≤ < 1, |
|
| =1 = cos3 φ − 2 sin3φ |
|
+ cos2 φ |
−2 sin2 φ − cosφ + sin φ
9.∆ = 0, 0 ≤ < 5,
| =5 = cos3 φ + sin35φ
− 4 cos2 φ + sin2 φ + 10
10. ∆ = 0, 0 ≤ < 3, | =3 = 9 cos3 φ − 4sin3φ − 2 cosφ + 5 sin φ
56
СОДЕРЖАНИЕ
1.Уравнения в частных производных первого порядка………………………………………...…3
1.1.Общие понятия……………………….……..3
2.Уравнения в частных производных второго порядка ………………………………………...16
2.1.Тип и канонический вид уравнения……..16
2.2.Общее решение уравнений с частными производными второго порядка……….….23
2.3.Решение уравнения колебания струны методом характеристик (методом Даламбера)…………………………….…..32
2.4.Решение уравнения колебания струны методом разделения переменных (методом Фурье)………………………………………36
2.5.Решение уравнения теплопроводности.….45
2.6.Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге…………………………….50
57