ИЭ / 9 сем / Расчётка (Сахно) / Расчётка
.docxФедеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»
Институт энергетики
Расчётное задание
Расчёт переходных процессов в цепи второго порядка различными методами
Выполнил:
Филин Александр группа: 3241302/30101
Проверила:
Сахно Л. И.
Санкт-Петербург
2023
Вариант 25
Сопротивления указаны в омах, ёмкость – в микрофарадах, индуктивность – в миллигенри, напряжение источника – в вольтах.
Для расчёта методом переменных состояния и операторным методом необходимо рассчитать начальные условия, т.е. iL(-0) и uC(-0). Для этого можно представить индуктивность в виде перемычки, ёмкость в виде разрыва, а ключ принимает замкнутое положение (через R3 ток не течёт). Тогда:
Расчёт методом переменных состояния
Составим систему уравнений Кирхгофа для цепи с разомкнутым состоянием ключа, приняв положительное направление контуров таким, как представлено на рисунке 1:
Приведём это к нужному для метода вида:
Подставляя числа, получим:
Получается следующая матрица :
Найдём её собственные числа:
Теперь найдём iL(∞) и uC(∞). Для этого можно опять представить индуктивность в виде перемычки, ёмкость в виде разрыва, а ключ принимает разомкнутое положение (через R3 ток течёт).
Тогда можно функцию uC(t) и её производную представить в следующем виде:
Теперь необходимо составить 2 уравнения для нахождения A1 и A2. Оба мы можем составить из законов коммутации, а именно iL(-0) = iL(+0) и uC(-0) = uC(+0).
Имеем систему:
В итоге получаем:
Остальные токи в цепи:
Расчёт операторным методом
Чтобы рассчитать переходный процесс операторным методом, представим схему в следующем виде:
Составим систему уравнений Кирхгофа (для удобства записи опустим (p)):
Подставляя числа и выражая I2 из первого уравнения, получим:
Выразим IL через IC из первого уравнения и подставим во второе:
Перейдём от изображения к оригиналу:
Найдём остальные величины:
Ниже приведены графики изменения токов и напряжения.
Расчёт неявным методом Эйлера
Из расчёта методом переменных состояния имеем систему дифференциальных уравнений:
Для решения зададимся шагом интегрирования h = 0,0004 с, основываясь на ранее полученных постоянных затухания экспонент из предыдущих методов.
Начальные условия:
Представим систему дифференциальных уравнений в неявном виде:
Ниже приведена таблица расчёта до t=0,0048 c.
Таблица 1 – Расчёт неявным методом Эйлера
Номер шага |
Время, с |
Напряжение, В |
Ток, А |
0 |
0 |
80 |
0,4 |
1 |
0,0004 |
76,571 |
0,297 |
2 |
0,0008 |
72,408 |
0,258 |
3 |
0,0012 |
68,577 |
0,247 |
4 |
0,0016 |
65,412 |
0,248 |
5 |
0,002 |
62,937 |
0,253 |
6 |
0,0024 |
61,062 |
0,258 |
Продолжение таблицы 1
7 |
0,0028 |
59,670 |
0,264 |
8 |
0,0032 |
58,648 |
0,268 |
9 |
0,0036 |
57,905 |
0,271 |
10 |
0,004 |
57,367 |
0,273 |
11 |
0,0044 |
56,980 |
0,275 |
12 |
0,0048 |
56,702 |
0,277 |
Далее представлено графическое сравнение точного метода расчёта и неявного метода Эйлера.
Расчёт методом синтетических схем
Начальные условия:
Шаг интегрирования h = 0,0004 с.
Преобразуем изначальную схему в необходимый вид
Составим матричное уравнение для МУН:
Откуда:
Далее находим напряжение на конденсаторе и ток в катушке:
Ниже приведена таблица расчёта до t=0,0048 c.
Таблица 2 – Расчёт методом синтетических схем
Номер шага |
Время, с |
Напряжение, В |
Ток, А |
0 |
0 |
80 |
0,4 |
1 |
0,0004 |
76,571 |
0,297 |
2 |
0,0008 |
72,408 |
0,258 |
3 |
0,0012 |
68,577 |
0,247 |
4 |
0,0016 |
65,412 |
0,248 |
5 |
0,002 |
62,937 |
0,253 |
6 |
0,0024 |
61,062 |
0,258 |
7 |
0,0028 |
59,670 |
0,264 |
8 |
0,0032 |
58,648 |
0,268 |
9 |
0,0036 |
57,905 |
0,271 |
10 |
0,004 |
57,367 |
0,273 |
11 |
0,0044 |
56,980 |
0,275 |
12 |
0,0048 |
56,702 |
0,277 |
Далее представлено графическое сравнение точного метода расчёта и неявного метода синтетических схем.
Вывод
Сравнивая таблицы 1 и 2, получены абсолютно одинаковые значения напряжения на конденсаторе и тока катушки. Более того, совпадают не только первые три цифры после запятой, которые представлены в таблицах, а целых девять цифр после запятой (посчитано более точно с помощью Excel). Это говорит о том, что если в конечные уравнения, которые были получены с помощью неявного метода Эйлера подставить h, то в итоге мы получим те же уравнения, которые получились с помощью метода синтетических схем.
Полученные итерационными методами значения повторяют форму кривой, полученной точным методом с некоторой погрешностью, которая максимальна для тока катушки в момент времени 0,0004 с и составляет 12,5%, а для напряжения конденсатора 2,5% в момент времени 0,0024 с. Если продолжать считать следующие шаги, то оба метода сходятся к величинам что свидетельствует о правильности расчётов.