доп.завд
.docx
Доведення теореми 2 (умови існування розв’язку транспортної задачі)
Необхідною і достатньою умовою існування розв’язку транспортної задачі є її збалансованість:
Доведення. Необхідність. Нехай задача має розв’язок , тоді для нього виконуються
.
Просумуємо ліві та праві частини і матимемо
Оскільки праві частини рівнянь збігаються, то збігатимуться також і ліві, отже, виконується умова
Достатність. Потрібно показати, що при заданій умові існує хоча б один план задачі і цільова функція на множині планів обмежена.
Нехай . Розглянемо величини . Підставимо значення ij x у систему обмежень задачі і матимемо
Умови виконуються, отже, є планом наведеної транспортної задачі.
Виберемо з елементів найбільше значення і позначимо його ij c = maxc . Якщо замінити у цільовій функції всі коефіцієнти на c , то, враховуючи , матимемо
Виберемо з елементів найменше значення і позначимо його ij c = minc .
Якщо замінити у цільовій функції всі коефіцієнти на c , то, враховуючи , матимемо:
Іншими словами, цільова функція на множині допустимих планів транспортної задачі є обмеженою
Теорему доведено.