Контрольные / типовая кр простошкина по линалу 2 сем
.pdf1.ЯвляетсялиЛинейнымПространствомданноемножество.Вслучаеположительного |
Доказательство, что множество – линейное пространство… |
|
|
||||
ответа найти размерность и указать какой-либо базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие |
|
|
|
|
|
|
|
эквивалентна равенствам |
= |
= |
= =0 |
|
|
2.Для каждого найти базис линейной оболочки симметричных матриц вида: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем стандартный базис симметричных матриц 2х2 : |
, |
|
|||
|
|
Тогда: |
|
|
|
|
|
Найти размерность линейной оболочки |
. |
|
|
|
|
|
|
Разложить элементы |
по базисам в зависимости от значения p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Координатные столбцы линейно независимы (доказательство…) при ≠ −1/3 , в этом случае |
|||||
|
|
и в качестве базиса линейной оболочки можно взять сами элементы |
|
. |
|||
|
|
При = −1/3 |
|
|
|
|
|
|
|
Базис образуют, например, линейно независимые матрицы |
, |
|
|||
|
|
и справедливо разложение по базису: |
|
|
|
||
3.Определить является ли система совместной, записать ее решение. |
Система совместна, имеет единственное решение, т.к. определитель системы отличен от нуля. |
||||||
4.Найти общее решение системы, записать его в векторной форме. Выделить |
Нахождение ФСР: |
|
|
Общее решение: |
|
|
|
фундаментальную систему решений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С ,С ,С |
5.Выяснить является ли оператор линейным и найти в этом случае его матрицу, |
Доказательство линейности оператора… |
|
|
|
|||
задав базис ЛП |
|
|
|
|
|
|
|
6.Выяснить является ли оператор линейным. Если оператор линейный, то написать |
Доказательство линейности оператора… Линейный оператор в базисе |
|
|
||||
его матрицу, задав базис ЛП, затем найти его собственные значения, выяснить |
имеет матрицу |
|
|
|
|
|
|
является ли ЛП диагонализируемым, в этом случае найти соответствующий базис и |
|
|
|
СЗ: , , , = −2. |
|
|
|
диагональную матрицу ЛО |
|
|
|
|
Базис, в котором матрица диагональная (−2,−2,−2,−2): |
||
|
|
|
|
|
( ) = 1, ( ) = , ( ) = |
+ +2, |
( ) = +3 +6 |
7.Найти собственные числа и собственные векторы ЛО, имеющего в некотором |
Оператор диагонализируем (обоснование…), матрица в базисе из ЛНЗ собственных векторов(…) имеет вид (1,−1,−2,−2) |
||||||
базисе матрицу: |
|
|
|
|
|
|
|
Если оператор диагонализируем, то написать соответствующий базис и диагональную матрицу оператора