Математика в изометрии окружность, эллипс, сфера, эллипсоид-1
.docМатематика в изометрии.
1.Окружность.
2. Сфера.
3. Эллипс.
4. Эллипсоид
4.1. – вытянутый эллипсоид вращения.
4.2. – сплющенный эллипсоид вращения.
4.3 – 3-х осный эллипсоид.
1. Окружность в изометрии.
Задано: . Окружность в изометрии – эллипс. Рассчитаем и - полуоси эллипса
В изометрии коэффициент искажения по осям берут равным 1. Отложим по осям X, Y изометрической проекции диаметр заданной окружности , которые являются сопряжёнными диаметрами искомого эллипса.
По теореме Аполлония: ; (1)
Где ; полуоси сопряжённых диаметров
; полуоси искомого эллипса
- острый угол между сопряжённым диаметром и большой осью эллипса
- острый угол между сопряжённым диаметром и большой осью эллипса
Т.к. угол между осями в изометрии равен 120°, то
Решаем систему уравнений (1) ; ; заменим и приведём к виду ; ; ; ;
Подставляем, получаем: ; ,( ; )
Полуоси найдены, чертим эллипс, применяя уравнение эллипса в параметрическом виде:
; - задаваемый параметр 0÷360°; в плоскости XY.
Для плоскостей XZ и YZ рассчитываем координаты, используя формулы поворота:
для плоскости XZ, для плоскости YZ.
2. Сфера в изометрии.
Начертим окружность Rокр=50мм в изометрии (эллипс a=61,2мм b=35,4мм) по оси XY, используя уравнение эллипса в парамерическом виде: ;
и по осям YZ, XZ, используя формулы поворота:
w=60° для осиXZ, w= -60° для оси YZ.
Чертим окружность Rсф=a=61,2мм, используя уравнение окружности в параметрическом виде: ; - задаваемый параметр 0÷360°
Жирной линией выделен октант сферы.
3. Эллипс в изометрии.
Задано: эллипс в декартовой системе координат с полуосями: ;
В изометрии коэффициент искажения по осям берут равным 1. Отложим по осям X, Y в изометрической проекции полуоси заданного эллипса. Они будут являться полуосями и сопряжённых диаметров искомого эллипса.
По теореме Аполлония: ; (1)
Где ; полуоси сопряжённых диаметров
; полуоси искомого эллипса
- острый угол между сопряжённым диаметром и большой осью эллипса
- острый угол между сопряжённым диаметром и большой осью эллипса
Т.к. сопряженные диаметры откладываются по осям изометрии, то угол между ними ,
тогда
Решаем систему уравнений (1) ; ; заменим и приведём к виду ; ; ; ;
Подставляем численные значения, получаем: ; .
Для наглядности, по полученным параметрам чертим эллипс в декартовых координатах, с последующим переводом в изометрию.
Координаты находим, решая систему уравнений; ;
подставляем, получаем : , .
Координаты находим, решая систему уравнений; ;
подставляем, получаем : , .
между полуосью сопряженного диаметра и большой полуосью.
между полуосью - сопряженного диаметра и - большой полуосью.
Убираем все вспомогательные линии и совмещаем полуоси сопряженных диаметров эллипса (b1, a1) с осями в изометрии переносим эллипс на плоскость по формулам поворота.
4.1. эллипсоид вращения вытянутый. Упрощённый расчет.
Задано: полуоси эллипса в декартовых координатах ; .
Алгоритм расчета и построения эллипса с данными параметрами в изометрической проекции
см. выше в разделе 3. получили следующие параметры:
а=255,6 b=84,7 w=355,7° cos(355,7)=0,9972; sin(355,7)=-0,075 А=tg(-60°)=-1,7321 С=240
Требуется: рассчитать, начертить эллипсоид вращения с полуосями а=250 b=100 в изометрической проекции.
; ;
;
;
-1-
подставляем I., II. и решаем квадратное уравнение численно.
АА1=СТЕПЕНЬ(84,7;2)*(СТЕПЕНЬ(0,9972;2)+2*0,9972*(-0,075)*(-1,7321)+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2))
ВВ1=СТЕПЕНЬ(84,7;2)*((-2)*0,9972*(-0,075)*(-1,7321)*240-2*240*СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2))
СС1=СТЕПЕНЬ(84,7;2)*СТЕПЕНЬ((-1,7321)*240*(-0,075);2)
АА2=СТЕПЕНЬ(255,6;2)*(СТЕПЕНЬ((-1)*(-0,075);2)+2*(-1)*(-0,075)*(-1,7321)*0,9972+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2))
ВВ2=СТЕПЕНЬ(255,6;2)*((-2)*(-1)*(-0,075)*(-1,7321)*0,9972*240-2*240*СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2))
СС2=СТЕПЕНЬ(255,6*(-1,7321)*0,9972*240;2)
АA=АА1+АА2; ВB=ВВ1+ВВ2; СC=СС1+СС2-СТЕПЕНЬ(255,6*84,7;2) ; Х1=254 находим ; радиус окружности эллипсоида вращения вокруг большой оси. Окружность в изометрии является эллипсом с полуосями a=1,22R; b=0,71R с центром в точке С – переменном фиксированном параметре, (С=240, у=0)
Изометрическая проекция эллипсоида вращения с полуосями a=250; b=100; c=100; для удобства расчёта и наглядности изометрические оси повёрнуты на 90°. Огибающий эллипс имеет полуоси a=122; b=259,9 Жирной линией выделена 1/8 часть эллипсоида.
-2-
АА=СТЕПЕНЬ(84,7;2)*(СТЕПЕНЬ(0,9972;2)+2*0,9972*(-1,7321)*(-0,075)+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2))+СТЕПЕНЬ(255,6;2)*(СТЕПЕНЬ((-1)*(-0,075);2)+2*(-1)*(-0,075)*(-1,7321)*0,9972+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2))
ВВ=СТЕПЕНЬ(84,7;2)*((-2)*0,9972*(-1,7321)*(-0,075)*240-СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2)*2*240)+СТЕПЕНЬ(255,6;2)*((-2)*(0,075)*(-1,7321)*0,9972*240-СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2)*2*240)
СС=СТЕПЕНЬ(84,7*(-1,7321)*(-0,075)*240;2)+СТЕПЕНЬ(255,6*(-1,7321)*0,9972*240;2)-СТЕПЕНЬ(255,6*84,7;2)
Х1=ОКРУГЛ((-(СТЕПЕНЬ(84,7;2)*((-2)*0,9972*(-1,7321)*(-0,075)*240-СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2)*2*240)+СТЕПЕНЬ(255,6;2)*((-2)*(0,075)*(-1,7321)*0,9972*240-СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2)*2*240))+КОРЕНЬ(СТЕПЕНЬ((СТЕПЕНЬ(84,7;2)*((-2)*0,9972*(-1,7321)*(-0,075)*240-СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2)*2*240)+СТЕПЕНЬ(255,6;2)*((-2)*(0,075)*(-1,7321)*0,9972*240-СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2)*2*240));2)-4*(СТЕПЕНЬ(84,7;2)*(СТЕПЕНЬ(0,9972;2)+2*0,9972*(-1,7321)*(-0,075)+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2))+СТЕПЕНЬ(255,6;2)*(СТЕПЕНЬ((-1)*(-0,075);2)+2*(-1)*(-0,075)*(-1,7321)*0,9972+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2)))*(СТЕПЕНЬ(84,7*(-1,7321)*(-0,075)*240;2)+СТЕПЕНЬ(255,6*(-1,7321)*0,9972*240;2)-СТЕПЕНЬ(255,6*84,7;2))))/(2*(СТЕПЕНЬ(84,7;2)*(СТЕПЕНЬ(0,9972;2)+2*0,9972*(-1,7321)*(-0,075)+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2))+СТЕПЕНЬ(255,6;2)*(СТЕПЕНЬ((-1)*(-0,075);2)+2*(-1)*(-0,075)*(-1,7321)*0,9972+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2))));1) Равно=254
Х2=ОКРУГЛ((-(СТЕПЕНЬ(84,7;2)*((-2)*0,9972*(-1,7321)*(-0,075)*240-СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2)*2*240)+СТЕПЕНЬ(255,6;2)*((-2)*(0,075)*(-1,7321)*0,9972*240-СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2)*2*240))-КОРЕНЬ(СТЕПЕНЬ((СТЕПЕНЬ(84,7;2)*((-2)*0,9972*(-1,7321)*(-0,075)*240-СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2)*2*240)+СТЕПЕНЬ(255,6;2)*((-2)*(0,075)*(-1,7321)*0,9972*240-СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2)*2*240));2)-4*(СТЕПЕНЬ(84,7;2)*(СТЕПЕНЬ(0,9972;2)+2*0,9972*(-1,7321)*(-0,075)+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2))+СТЕПЕНЬ(255,6;2)*(СТЕПЕНЬ((-1)*(-0,075);2)+2*(-1)*(-0,075)*(-1,7321)*0,9972+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2)))*(СТЕПЕНЬ(84,7*(-1,7321)*(-0,075)*240;2)+СТЕПЕНЬ(255,6*(-1,7321)*0,9972*240;2)-СТЕПЕНЬ(255,6*84,7;2))))/(2*(СТЕПЕНЬ(84,7;2)*(СТЕПЕНЬ(0,9972;2)+2*0,9972*(-1,7321)*(-0,075)+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2))+СТЕПЕНЬ(255,6;2)*(СТЕПЕНЬ((-1)*(-0,075);2)+2*(-1)*(-0,075)*(-1,7321)*0,9972+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2))));1) Равно=226,1
-3-
Далее подставим численные значения кроме переменного фиксированного параметра –
Уравнение семейства кривых (эллипсов) в параметрическом виде:
Хс=((-240)*(-374993)+КОРЕНЬ(СТЕПЕНЬ(240*(-374993);2)-4*187464*(СТЕПЕНЬ(240;2)*195030-468693057)))/(2*187464)=254 (все верно)
Для простоты расчёта приведём формулу к виду:
Хс=(240*374993+КОРЕНЬ(-СТЕПЕНЬ(240*74998;2)+СТЕПЕНЬ(18747053;2)))/374928=254
где – является переменным фиксированным параметром (число 240 взято для проверки формулы), остальное константы.
; подставляем в
; ;
Важно! Эллипс семейства кривых расположен большой полуосью
вверх, поэтому меньше получаем
Приведём уравнение семейства кривых к каноническому виду:
+ =1
;
Получили уравнение семейства кривых: F(x,y,Cx)=0; берём производную по получаем систему уравнений:
из уравнения (2) находим подставляем в (1) получаем уравнение огибающей.
Дальше громоздкие вычисления производной сложной функции и алгебраического уравнения.
-4-
из уравнения (2) находим в явном виде, подставляем в (1) получаем уравнение огибающей.
Сложные, громоздкие вычисления.
Способ 2 – упрощенный. Найдём b – малую полуось огибающего эллипса.
Из уравнении (1) при ; получим: ; ;
b=
Большая полуось огибающего эллипса а – равна максимальной сумме полуоси - кривой из семейства при заданном переменном фиксированном параметре , который определяется подбором, решая уравнение (1) при ; извлечение из Excel:
Q |
R |
S |
T |
U |
|
Сх |
х1 |
а |
b |
Сх+а |
|
238 |
253,3 |
21,7 |
37,3 |
259,7 |
|
240 |
254 |
19,9 |
34,2 |
259,9 |
max |
242 |
254,5 |
17,8 |
30,5 |
259,8 |
|
х1=ОКРУГЛ(((-1)*240*(-374991,6)+КОРЕНЬ(СТЕПЕНЬ(240*(-374991,6);2)-4*187463,8*(СТЕПЕНЬ(240;2)*195030,2-468693056,5)))/(2*187463,8);1)
параметры огибающего эллипса b=122; a=259,9
4.2. эллипсоид вращения сплющенный. ПРИБЛИЗИТЕЛЬНЫЙ расчет.
Задано: полуоси эллипса в декартовых координатах ; . Расчет и построение эллипса с данными параметрами в изометрии см. выше в разделе 3.
Построить эллипсоид вращения вокруг оси Z.
1. Сечение в плоскости XZ – эллипс
отложим по оси Z ; по оси X
2. Сечение в плоскости YZ – эллипс
отложим по оси Z ; по оси Y
3. Сечение в плоскости XY – окружность .
Расчет окружности в изометрии см. раздел 1., получаем эллипс с ;
Алгоритм расчёта сплющенного эллипсоида вращения см. выше раздел 4.1, только вращение производится вокруг малой оси. Линией эллипсоида является эллипс с полуосями ; чертим , применяя уравнение эллипса в параметрическом виде:
- задаваемый параметр.
4.3. – эллипсоид общий случай; НЕОКОНЧЕННЫЙ расчет.
Эллипсоид 70-50-30.
Откладываем в изометрии по осям X, Y, Z в положительной области в плоскости XY по оси X большую полуось заданного эллипса , по оси Y – малую , по оси Z – малую полуось эллипсов в плоскостях XZ и YZ - .
1. Определим параметры заданного в декартовых координатах эллипса с полуосями в плоскости XY изометрической проекции:
По теореме Аполлония: ; (1)
Где ; полуоси сопряжённых диаметров искомого эллипса (по величине равные полуосям заданного эллипса) ; ; полуоси искомого эллипса
- острый угол между сопряжённым диаметром и большой осью эллипса
- острый угол между сопряжённым диаметром и большой осью эллипса
Т.к. сопряженные диаметры откладываются по осям изометрии, то угол между ними 120°,
тогда
Решаем систему уравнений (1) ; ; ; заменим и приведём к виду ;
; ; ;
Подставляем численные значения, получаем: ; .
Для наглядности, по полученным параметрам чертим эллипс в декартовых координатах,
используя уравнение эллипса в параметрическом виде; ; - задаваемый параметр
с последующим переносом в изометрию.
Координаты находим, решая систему уравнений; ;
; подставляем, получаем : , .
Координаты находим, решая систему уравнений; ;
; подставляем, получаем : , .
между полуосью сопряженного диаметра и большой полуосью.
между полуосью - сопряженного диаметра и - большой полуосью.
Убираем все вспомогательные линии и переносим эллипс в изометрию по формулам поворота. ; ; - параметры эллипса в декартовой системе координат.
2. Определим параметры заданного в декартовых координатах эллипса с полуосями в плоскости XZ изометрической проекции. Расчет аналогичен разделу 1.
; ; , ; , ; , ; .
Убираем все вспомогательные линии и переносим эллипс в изометрию по формулам поворота. ; ; - параметры эллипса в декартовой системе координат.
2. Определим параметры заданного в декартовых координатах эллипса с полуосями в плоскости YZ изометрической проекции. Расчет аналогичен разделу 1.
; ; , ; , ; , ; .
Убираем все вспомогательные линии и переносим эллипс в изометрию по формулам поворота. ; ; - параметры эллипса в декартовой системе координат.
Сводный чертеж (жирным выделена 1/8 часть эллипсоида).
Как найти огибающую аналитически?
Параметры огибающего эллипса найдены подбором! a=77мм, b=49,2мм w=-198°