5 курс / ОЗИЗО Общественное здоровье и здравоохранение / Статистический_анализ_данных_в_медицинских_исследованиях_в_2_ч_Красько

Таблица 14–3. Расчетные данные ожидаемых частот

Формы заболевания	Группа 1	Группа 2
Форма А	11,41	15,59
Форма Б	8,88	12,12
Форма B	10,14	13,86
Форма Г	2,54	3,46
Форма Д	2,54	3,46
Форма E	1,27	1,73
Форма Ж	4,23	5,77

Точный тест Фишера-Фримана-Халтона дает результат p = 0,036.

Предположим, что в примере формы Г-Ж действительно встречаются реже или похожи друг на друга. Объединим их (Табл. 14–4) и заново рассчитаем ожидаемые частоты (Табл. 14–5).

Таблица 14–4. Данные примера после объединения строк

Формы заболевания	Группа 1	Группа 2
	n=41(100%)	n=56 (100%)
Форма А	6 (14,6)	21 (37,5)
Форма Б	9 (22,0)	12 (21,4)
Форма B	14 (34,1)	10 (17,9)
Иные формы (редкие формы)	12 (29,3)	13 (23,2)

Таблица 14–5. Расчетные данные ожидаемых частот после объединения строк

Формы заболевания	Группа 1.	Группа 2
Форма А	11,41	15,59
Форма Б	8,88	12,12
Форма B	10,14	13,86
Иные формы (редкие формы)	10,57	14,43

Теперь точный тест Фишера-Фримана-Халтона дает результат p = 0,058, χ 2 - критерий Пирсона p = 0,062.

Как относится к таким результатам?

Это всего лишь статистические доказательства на уровне значимости α 0,05 . Если Вы установите уровень значимости вашего исследованияα 0,01 , то

результат будет незначим как до, так после объединения строк. Если Вы установите уровень значимости вашего исследованияα 0,1, то результат будет значим как до,

так после объединения строк.

Далее можно рассуждать различными путями, в зависимости от дизайна и целей исследования.

Например, согласится с тем, что есть некоторая тенденция, и сравнить частоты появления каждой формы у мужчин и женщин отдельно. В этом случае придется использовать поправку Бонферрони или некоторую другую поправку, например Шидака (Šidák) для множественных сравнений. Поправки зависят от количества сравнений, чем больше сравнений, тем меньше значение скорректированного уровня значимости α .

Предположим, мы не сравниваем формы между собой, а сравниваем только частоты их проявления у мужчин и женщин. В этом случае нам необходимо сделать 7 (4) сравнений (7 исходных форм или 4, если объединить некоторые формы). Оценим различия формы А заболевания (против всех остальных форм) точным тестом Фишера (раздел 11.1.5). Получим значение p = 0,021. C учетом поправки Бонферрони наш тест может быть признан незначимым. Однако если в

121

исследовании нас интересует только форма А (как отличающаяся от всех других форм), мы можем говорить о различиях между мужчинами и женщинами по данной форме заболевания.

Следующий вариант рассуждений: оценить, достаточен ли размер групп для принятия решения1.

Поскольку расчеты размера выборки для таблиц сопряженности достаточно сложны и выходят за рамки данного пособия, поступим следующим образом: оценим размер выборки для обнаружения различий в пропорциях по одной из форм заболевания, где выборочная разность в пропорциях наибольшая (чем меньше это различие, тем бóльший размер выборки нам понадобится). Из таблицы 14–2 следует, что наибольшая разность в пропорциях у формы А. Используя формулу для доказательства статистического различия из раздела 4.4 при уровне мощности исследования 80% и α 0,05 , получим, что размер каждой группы (мужчин и женщин) должен быть не менее 54:

	z			z	2
n		1 α	2	1 β			p 1 p p 1 p
				ε
							1	1	2	2
	1,96 0,84					2
							0,375 1 0,375 0,146 1 0,146 54.
	0,375 0,146

.

На имеющихся наблюдениях нам не хватает мощности исследования для принятия решения даже по форме А заболевания (размер одной из групп меньше 54). Если одновременно устанавливать различия по другим формам, данных понадобится еще больше.

Поэтому тут только статистические методы ничего не решат. В первую очередь надо обратиться к дизайну исследования. Это было когортное исследование или экспериментальное? Насколько доказательство различий необходимо? Нужно ли увеличивать размер исследований и возможно ли его увеличить? Принципиально ли для вашего исследования найти более четкие доказательства наличия или отсутствия различий? Если ли в литературе данные по вопросу разных форм данного заболевания у мужчин и женщин? Решать это придется исследователю.

В качестве примера приведем наше решение. Но в иной ситуации оно могло быть иным. Ниже дана таблица (табл.14–6), которая в результате вошла в отчет по исследованиям и публикации. Наше исследование было когортным, по всем случаям некоторого заболевания в нашей республике за 2000–2005 гг. Большего количества данных у нас не было. Основной акцент исследования фокусировался не на гендерных различиях, однако необходимо было описать характеристики пациентов когорты. Поэтому мы справочно опубликовали таблицу и указали, что общие различия между группами мужчин и женщин по формам заболевания находятся на уровне p 0,063.

Таблица 14–6. Пример представления данных

Формы заболевания	мужчины	женщины	Всего,
	n=41(100%)	n=56 (100%)	n=97 (100%)
Форма А, n(%)	6 (14,6)	21 (37,5)	27	(27,8 )
Форма Б, n(%)	9 (22,0)	12 (21,4)	21	(21,6)
Форма B, n(%)	14 (34,1)	10 (17,9)	24	(24,8)

1 Оценка размера выборки для таблиц сопряженности описана в Chow (2008).

122

Иные формы (редкие формы) , n(%)	12 (29,3)	13 (23,2)	25 (25,8)
Форма Г	3	3	6
Форма Д	1	5	6
Форма E	3	0	3
Форма Ж	5	5	10

Ремарка: Статистический анализ – только инструмент для исследователя. Выводы на основе статистического анализа и статистических доказательств – прерогатива исследователя.

Пример расширенного анализа данных таблицы сопряженности

Этот пример приведен не только для демонстрации анализа конкретной связи двух категориальных переменных, но и для демонстрации полного анализа такой взаимосвязи.

В Приложении R-9 содержатся R-скрипты для расчетов данного примера.

Изучается взаимозависимость наличия/отсутствия метастазов от локализации опухоли щитовидной железы. Исследователем выделено три основных типа локализации опухоли под капсулой (I), внутри капсулы (II), перешеек (III). Данные приведены в Табл. 14–7.

Таблица 14–7. Данные примера
	I	II	III
Наличие	54	57	14	125
Отсутствие	14	33	1	48
Всего	68	90	15	173
Пропорция	0,79	0,63	0,93

Шаг 1. Оценки ожидаемых частот (Табл. 14–8)

Таблица 14–8. Расчетные данные ожидаемых частот
	I	II	III
Наличие	49,13	65,03	10,84	125
Отсутствие	18,87	24,97	4,16	48
	68	90	15	173
Только в одной ячейке ожидаемая частота менее 5. Продолжаем анализ.
Шаг 3.
Рассчитанная статистика χ 2 8,64 . Табличная статистика					χ02.95;2 5,99 .

Рассчитанная статистика превышает табличную, p = 0,0133. Наличие метастазов статистически связано с локализацией опухоли.

Шаг 4. Расчет стандартизированных отклонений в каждой ячейке (табл.14–9). Существует значительное отклонение (неоднородность таблицы), связанная с локализацией по типу II.

Таблица 14–9. Расчетные данные стандартизированных отклонений

	I	II	III
отсутствие	–1,69	2,72	–1,91
наличие	1,69	–2,72	1,91

123

Вывод: локализация опухоли и наличие метастазов взаимосвязаны

(p = 0,0133).

Если исследователя не интересует более детальный анализ, можно остановиться на таком выводе. Можно продолжить анализ для более детального изучения нашей таблицы. Для большей наглядности можно воспользоваться диаграммой ассоциаций (см. Рис. 14-1).

Рис.14–1. Графическое изображение неоднородности таблицы r c

После того, как установлена неоднородность таблицы, мы можем провести попарные сравнения категорий. Рассчитаем пропорции (см. Табл. 14–6) и сравним их попарно для категорий I-II и I-III двухвыборочным тестом пропорций. Уровень значимости с учетом поправки Бонферрони α 0,025 (мы осуществляем два сравнения α 0,05/2 0,025). Проверяется нулевая гипотеза о том, что пропорция

категории II эквивалентна пропорции других категорий против гипотезы о том, что пропорция во категории II меньше чем в I и III . Используем тест для сравнения двух пропорций.

Нулевая гипотеза H0 :π2 π1 , альтернативная гипотеза HA :π2 π1 .

p2 1 0,0143.

Нулевая гипотеза H0 :π2 π3 , альтернативная гипотеза HA :π2 π3 .

p2 3 0,0108 .

Поскольку полученные p-значения значимости менее α 0,025 , мы можем

сделать вывод о том, что действительно вероятность возникновения метастазов при локализации опухоли по II типу ниже, чем по I и III типу.

Вывод: доля пациентов с метастазами при локализации опухоли по II типу значимо ниже, чем при локализациях по типу I и III ( p 0,0143 и p 0,01076

соответственно).

Мы имеем право объединить категории I и III и противопоставить их категории II.

В этом случае мы переходим к анализу таблиц 2 2 (Табл.14–10).

Таблица 14–10. Данные примера после объединения колонок

124

	Не II		II		Всего
наличие	68		57		125
отсутствие	15		33		48
Всего	83		90		173
Пропорция	π	2	0,82 π	2	0,63

Проверим гипотезу H0 :π2 π 2 против альтернативной HA :π2 π 2 . Расчеты показали p 0,006. Категория II отличается от остальных категорий.

Мы могли проверить	гипотезу H0 :π2 π 2 против HA :π2 π 2 . Уровень
значимости был бы p 0,003.	Но нас интересовало наличие различий.

Вывод: Вероятность возникновения метастазов при локализации опухоли по II типу отличается от вероятности возникновения метастазов при других локализациях ( p 0,01).

Если исследователя не интересует более детальный анализ и оценка размера эффекта, можно остановиться на таком выводе. Можно продолжить анализ для более детального изучения.

Далее мы оценим вероятности возникновения метастазов при различных локализациях опухоли. Оценка пропорции возникновения метастазов при локализации опухоли по второму типу : π2 0,63, 95% ДИ 0,53–0,73. При остальных

типах локализации: π 2 0,82, 95% ДИ 0,73 –0,89.

Разность в пропорциях составляет π 2 π2 0,19. 95% доверительный

интервал для разности 0,05 – 0,31 (см. раздел 11.1.5), т.е. от 5 до 31 %. Это и будет размером эффекта локализации второго типа по отношению к другим.

Если исследование когортное, то можно оценить относительный риск появления метастазов для локализаций, отличных от II типа (не-II локализации) RR 1,29, 95% ДИ (1,07–1,56). Интервал не содержит 1, следовательно, такие

локализации являются неблагоприятными. Иными словами, расположение опухоли не по второму типу увеличивает вероятность появления метастазов на 29% (7% –

56%).

Если исследование не когортное и нас интересуют локализации не-II типа, то можно оценить отношение шансов для не-II локализаций как неблагоприятных,

OR 2,62; 95% ДИ (1,30 – 5,31).

Таким образом, интерпретация статистического вывода в наблюдениях зависит от целей исследования. Статистический анализ не интерпретирует результаты, он только отмечает, что есть связи и различия. Глубина и направление статистического анализа зависит от исследователя, от его целей и проблематики исследования.

Основные аспекты

Таблицы r c обычно в полную силу используются, когда есть достаточно наблюдений для построения таких таблиц, в ином случае вы все равно будете вынуждены избавляться от пустых ячеек и малых ожидаемых частот путем объединения категорий, и ваши таблицы в результате превратятся в таблицы 2 2 или 2 c .

Не пытайтесь искусственно перейти от количественных переменных к таким таблицам путем разбиения количественной переменной на интервалы, далее будет показано, что используются одни и те же непараметрические тесты как для одно- и

125

дважды упорядоченных таблиц, так и для анализа количественной переменной, которая не распределена нормально в исследовании. Пытаясь разбить количественную переменную на интервалы, вы только теряете информативность ваших данных; хотя всегда найдутся отдельные исследования, когда разбиение имеет смысл и обоснование.

Как глубоко анализировать данные – решать вам, но при использовании любого теста предположения, лежащие в основе теста, должны быть проверены.

126

15. Бивариантый анализ: мультиноминальная и количественная переменные – анализ нескольких групп

Если одна из переменных представляет собой категории(группы), а вторая переменная количественная, то наиболее подходящим анализом является дисперсионный анализ (ANOVA – analysis of variance).

Для ANOVA необходимо выполнение нескольких предположений. Наблюдения должны быть независимы. Обязательна проверка на гомоскедастичность количественной переменной.

Гомоскедасичность (гомогенность) – это однородность дисперсий(рассеяния). В противоположность этому термину существует термин гетероскедастичность (гетерогенность) – разнородность дисперсий (рассеяния).

Независимость наблюдений обеспечивается дизайном исследования.

Тест Левена (Levene test), тест Брауна-Форсайта (Brown–Forsythe test), тест Бартлетта (Barlett test) служат для проверки нулевой гипотезы о равенстве дисперсий генеральных совокупностей, т.е. проверка на гомогенность дисперсий. Первые два теста менее чувствительны к нарушению предположения о нормальности количественной переменной.

15.1. Однофакторная ANOVA (Однофакторный дисперсионный анализ)

Рассмотрим применение однофакторного дисперсионного анализа для случая, когда количественная переменная распределена нормально.

После того, как есть уверенность в том, что группы гомогенны, выдвигается нулевая гипотеза, которая гласит, что все средние в группах равны между собой H0 :μ1 μ2 μk μ , где μi – среднее в группе i , k – количество сравниваемых

групп, μ – генеральное среднее, обычно центрируют данные таким образом, что μ 0; альтернативная гипотеза HA формулируется следующим образом: если

сформировать все возможные линейные комбинации (контрасты) средних, то существует линейная комбинация, которая отлична от нуля (при условии μ 0).

Ремарка: Такие гипотезы об общем равенстве в анализе ANOVA носят название гипотезы омнибуса

(Omnibus Null Hypothesis).

Основная идея такого анализа – сравнение суммы отклонений от среднего (вариаций) в группах и целиком в выборке. Считается, что вариация в группах обуславливается случайной ошибкой, разность между вариацией всей совокупности и суммой вариаций в группах может объясняться эффектом, связанным с различными группами (эффект группы).

Пусть в исследовании общее число наблюдений – N ,							число групп (категорий
мультиноминальной переменной) – k , ni				– размер группы данных, обусловленных
i -ой категорией мультиноминальной переменной,					xi	– среднее количественных
данных по i -ой группе		(категории),		x – среднее		по	всей количественной
переменной. Тогда можно рассчитать следующие вариации (Табл. 15–1):
Таблица 15–1. Расчеты в анализе вариаций
	Источник вариации		Сумма квадратов (Sum		Число			Среднее квадратов
			of Square, SS)		степеней			(Mean of Square, MS)
					свободы

127

(различия между группами)

SS1

ni xi x 2

k 1

MS1 SS1

Межгрупповая

вариация

k

Вариация,

обусловленная

i 1

k 1

эффектом

(различия внутри групп)

SS2

xij xi

2

N k

MS2

SS2

Внутригрупповая

вариация

k

ni

Вариация ошибки

i 1

j 1

N k

вариаций

SS SS

SS

SS xij x 2

N 1

MS

SS

Полная

вариация: сумма

k

ni

1

2

i 1 j 1

N 1

Рассмотрим пример расчета (Табл. 15–2) :

Таблица 15–2. Пример расчетов в анализе вариаций

Среднее

Сумма

Общее

Сумма

Значение

в

квадратов

среднее

квадратов

Группа

группах

отклонений

отклонений

переменной

от среднего

от общего

в группах

среднего

1

1

2

1

2

2

3

1

5

58

7

2

8

2

8

2

9

2

Сумма общей вариации составила SS 58 , сумма внутригрупповых вариаций – SS2 4, сумма межгрупповых вариаций – SS1 54. Согласно ANOVA, вариация в 4 объясняется случайной ошибкой, 54 – объясняется различием средних в группах.

Выражение R2 1 SS2	называется коэффициентом детерминации и
SS

показывает, какая часть полной выборки объясняется влиянием групп (категорий,

фактора). R 2 1 MS2 носит название уточненного коэффициента детерминации.

MS

Тест, который проверят, что различия в вариации между группами и внутри групп не являются случайными носит название F-критерия:

F N k k 1

k

ni xi x 2

i 1

k ni xij xi 2

i 1 j 1

		N k		SS1	,
		k 1		SS2

Статистика F подчиняется F-распределению с параметрами k 1 и N k . Превышение значения рассчитанной статистики над 1 α перцентилем F-

распределения свидетельствует о значимости влияния групп (категорий) на количественную переменную.

Альтернативная гипотеза ANOVA утверждает, что различия есть, но не уточняет, какие именно.

Кроме проверки гипотезы омнибуса можно проводить попарные сравнения групп. Однако, необходимо использовать критерии, специально предназначенные для таких множественных сравнений, проводить напрямую сравнения двухвыборочным критерием Стьюдента – неправильно. Необходима поправка на множественность сравнений (см. раздел.21.1). Критерий Стьюдента с поправкой Бонферрони для множественных сравнений становится слишком жестким, когда

128

сравнений много. При наличии k групп необходимо провести k2 k 1 сравнений.

Более грамотно будет воспользоваться специально разработанными критериями множественных сравнений: критерий Дункана (Duncan's test), критерий Шеффе (Scheffé's test), критерий Тьюки (Tukey test), критерий Ньюмена–Кейлса (NewmanKeuls test) и др. Все они имеют свою специфику, которую нужно понимать при их использовании. Внимательно читайте условия их использования в статистических пакетах, которыми вы будете пользоваться. Некоторые предназначены для сравнения групп одинаковой размерности, некоторые сравнивают группы различной размерности.

Ремарка: Процедура множественных парных сравнений не эквивалентна проверке гипотезы омнибуса и существует отдельно от ANOVA.

Отдельно нужно упомянуть критерий Даннета (Dunnett test) для проведения сравнений с контрольной группой (одна из групп – контрольная, остальные – экспериментальные).

Можно также оценить среднее по группе, найти доверительные интервалы.

Можно оценить контраст – различия в двух отдельно взятых группах (раздел 12.2), найти величину различия в средних между ними и доверительный интервал для различий в средних.

Если некоторые группы в анализе не различаются между собой, что доказывается дисперсионным анализом, у вас есть основания их объединять в анализе (безусловно, не нарушая медико-биологического смысла групп).

15.2.Непараметрическая ANOVA

Если количественная переменная не подчиняется закону нормального распределения, то используется непараметрический аналог ANOVA (ранговый однофакторный анализ Краскела-Уоллиса). Также могут использоваться тест Коновера в предположении, что данные взяты из нормального распределения с различным местоположением, но не вариацией, и потом распределены в c различных категорий; тест Сэвиджа – что в основе лежит экспоненциальное распределение, и потом данные распределены в c различных категорий.

Так же, как и в параметрическом анализе, встает проблема множественных попарных сравнений, для проверки предположения о различии используется критерий Данна (Dunn's test), непараметрическая модификация критерия Ньюмена– Кейлса и др.

15.3.Общие замечания

Бывают исследования, когда две группы из нескольких с самого начала представляют особый интерес для исследователя. В этом случае результаты F-теста (или непараметрических критериев) имеют ограниченный интерес для исследователя, и тест Стьюдента (Манна-Уитни в непараметрическом случае) может использоваться без поправки ошибки первого рода α на множественность сравнений. Однако в этом случае все остальные группы должны быть сохранены в анализе, поскольку при перегруппировке, или разделении оставшихся групп еще на несколько, вариация может измениться. Кроме того, это поможет избежать перегруппировки с исследуемыми группами, сосредоточившись на анализе контраста только между двумя предопределенными группами.

Пример: при классификации злокачественных опухолей используется классификация TNM. T – классифицирует степень прорастания опухоли. Изучаются

129

различные группы опухолей, интерес представляют группа T1–2 и Т3. Существует еще группа Тх – группа, в которой невозможно определить, проросла опухоль или нет. При сравнении групп T1–2 и Т3 по некоторому признаку можно опустить группу Тх, но нельзя искусственно разделить Тх еще на некоторые подгруппы, равно как и объединить ее с любой из групп. В этом случае не используют множественные сравнения (поскольку фактически имеем 2 группы), но и не изменяют исследуемые группы.

Следующее замечание: что делать, если мультиноминальная переменная имеет упорядоченные категории? Можно воспользоваться ANOVA, в любом случае.

Однако, в случае, если мультиноминальная переменная упорядочена, мы можем найти тренд в таких данных, т.е. определить связано ли возрастание одной переменной с возрастанием (убыванием) другой переменной. Если количественная переменная подчиняется закону нормального распределения, то существует класс моделей регрессионного анализа, который оценивает величину тренда. Для количественных переменных, не подчиняющихся закону нормального распределения, можно использовать тест линейно-линейной ассоциации (Linear-by- linear association test), тест Джонкира-Терпста (Jonckheere-Terpstra test). Однако, как говорилось в предыдущем разделе, поиск связи и ассоциаций в таких таблицах надо начинать с проверки наличия некой сопряженности, связи, ассоциации, как описано в разделе 10, проверки на то, существует ли общее различие в группах, образованных категориями мультиноминальной переменной.

Основные аспекты

Однородность дисперсий – важное предположение для ANOVA. Общая вариация может быть разложена на составляющие вариации.

Попарные сравнения нескольких группах требуют специальных тестов и коррекции уровня значимости на множественность сравнений.

Какие именно данные перед вами и как к ним относится – это ваши предположения, которые зависит от логики вашего исследования и подтверждены статистическими тестами.

130