Практика_10 / Практика10(kad)
.pdf
|
|
|
|
|
2 |
|
|
( |
|
Fy(ω) |
|
)2 |
> U02 |
T0 |
R := 1 |
|
|
||||||
|
|
(T02 ω2 + 1)(T2 ω2 + 1) |
|||||
|
|
|
Спектральная плотностьэнергии выходногосигнала
|
U0 |
2 |
|
|
|
T0 |
2 |
|
|
Ey(ω) := |
|
|
|
|
|
|
|
||
R |
|
|
(T02 ω2 |
+ 1)(T2 ω2 |
+ 1) |
|
График |
watt*sec*sec |
|
|
|
|
|
|
энеретического |
|
Ey(ω) |
|
спектра |
|
||
|
|
|
- 2
|
Ey(1) = 0.9 |
W := 2 |
ω:= -W,-W + |
W |
..W |
|
|
|
|
100 |
|
|
10 |
|
U02 T02 R- 1 |
||
|
|
|
|||
|
5 |
|
|
|
|
- 1 |
0 |
1 |
2 |
|
3 |
|
|
ω |
|
|
|
Полная энергия выходного сигнала при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rad/sec |
|||||||||||
signum(z) := if(z > 0,1,-1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
U0 |
|
|
|
|
T0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ey(T,T0) := |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dω |
|
π |
R |
|
(T02 ω2 + 1)(T2 ω2 + 1) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После |
|
Ey(T,T0) := |
1 |
U0 |
2 |
T0 |
2 |
|
-T0 signum(T0) + T signum(T) |
||||||||||||
интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
R (T2 - T02) |
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
signum(T0) = 1 |
|
signum(T) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
U02 |
T02 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ey := |
|
1 |
|
= 1.5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
T + T0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
___________________________________________________________________________________
Определитьотношение энергий сигналовнавходе и выходе интегрируещей RC-цепи
со следующимиданными |
T := 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Частотный коэффициент |
K(ω) := |
|
1 |
|
ωc := 2 |
E0 := 0.5 |
|||
|
|
|
|||||||
|
1 |
+ i ω T |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
Частотный кэффпередачи мощности |
|
Kp(ω) := K(ω) K(ω) -(-1 + ω i) (1 + ω i) |
|||||||
|
|
или |
Kp(ω) := |
|
1 |
|
|
||
|
|
1 - ω2 T2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
E0 |
|
ωc |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Энергия выходногосигнала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ey := π |
|
|
2 |
|
2 dω 0.15915494309189533577 atan(2) |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 + ω |
T |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
После |
|
|
|
|
|
|
E0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
интегрирования |
|
|
|
atan(ωc T) 0.15915494309189533577 atan(2) |
||||||||||||
|
|
π T |
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
ωc |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Энергия входного сигнала |
Ex := |
|
|
|
|
|
|
E0dω 0.31830988618379067154 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
π |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
После |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π E0 ωc 0.31830988618379067154 |
|
|||||||||
|
интегрирования |
|
|
|
|||||||||||||
Отношение энергий h := Ey 0.5 atan(2) |
|
|
|
|
|
|
1 |
atan(ωc T) |
atan(2) |
|
|||||||
|
или |
|
|
|
h = 0.554 |
||||||||||||
|
Ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
ωc |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
___________________________________________________________________________________
Необходимо определитьвидсигналаy(t)на выходе идеального фильтра нижнихчастотсо |
||||||||||
следующимипараметрами |
частота среза |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частотный кэфф |
|
|
|
|
||||
Кэффпередачи K0 := 1.5 |
ωc := 5 |
|
|
|
|
|||||
K( |
ω) := |
|
(K0 exp(-i ω t0)) if |
|
ω |
|
ωc |
|||
|
|
|
||||||||
Время запаздывания |
t0 := 2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 otherwise |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Виддельта функции |
Q0 := 1 |
δ(t) := Q0 Dirac(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используемспектральныймеотдрешения Спектральная функция входногосигнала ∞
Fδ(ω) := Q0 Dirac(t) exp(-i ω t) dt
- ∞
|
|
1 |
ωc |
Q0 (K0 e- i ω t0)ei ω tdω |
|
|
||
ВыходнойсигналФНЧ |
y(t) := |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
2 π - ωc |
|
|
|
|
||
|
y(t) := Q0 K0 |
sin[ωc (-t + t0)] |
Условия для графика T := 10 |
|||||
После интегрирования |
|
π (-t + t0) |
||||||
|
|
|
|
|
|
t := -T,-T + |
T |
.. T |
|
|
|
|
|
|
500 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
volt
|
4 |
t0 |
|
|
|
|
|
Q0 K0 ωc |
|
2 |
π |
y(t) |
|
|
- 10 |
0 |
10 |
|
- 2 |
|
|
t |
|
|
sec |
|
___________________________________________________________________________________
Необходимо найтифункциюдинамической погрешности интегрирующейRC-цепи со следующимипараметрами
Постоянная времени T := 1 |
|
Импульсная функция |
|
|
|
|
Частотный кэффпередачи |
|||||||||||||||||||||
Скорость v:= 1.5 |
|
|
|
|
g(t) := |
|
1 |
exp |
|
- |
t |
|
|
|
|
K(ω) := |
|
|
1 |
|
j := i |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Функция времени x(t) := |
v t |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
i ω T |
||||||
Используя спектральный подходопределяемотклитданногоустройства |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Спектральная функция входногосигнала |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
- j ω t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Fx(ω) := |
|
v t e |
dt |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегралнеберется поэтомурассмотримего при а>0 ввиде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
1.5 t e- t functiondt |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v t e- a tdt |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
a t exp(-a t) + exp(-a t) |
- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Результатинтегрирования |
limit |
|
-v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,t |
= ∞,left |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пределлевого выражения |
-v |
a t exp(-a t) + exp(-a t) - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложение левого выражения |
|
-v |
t |
|
|
- |
|
|
|
v |
|
+ v |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
на элементарные дроби |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
exp(a t) |
|
a2 exp(a t) |
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно правилуЛопиталя пределпервого слагаемого
Согласно правилуЛопиталя пределвторогослагаемого
|
|
|
d2 |
|
(-v t) |
|
||||
|
|
|
dt |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
(a ea t) |
|||||
t ∞ |
d2 |
|
||||||||
2 |
|
|||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d (-v) |
|
||||||
lim |
|
|
|
dt |
0 |
|||||
d |
|
(a2 ea t) |
||||||||
t ∞ |
|
|
||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
Значитзначение интеграла равно v/a2 и эта замена дает |
Fx(ω) := |
|
v |
|
||||||||||
|
(i ω)2 |
|||||||||||||
спектральнуюфункциювходного сигнала |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Используемпреобразованеи Лапласа и |
X(s) := |
1 (v t) |
|
|
|
X(s) := v |
||||||||
получаемизображениявходногосигнала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ЗаменихоператорЛапласаsопреторомфурье |
Fx(ω) := |
|
v |
|
||||||||||
(i ω)2 |
||||||||||||||
получаемспектральнуюфункциювходного сишнала |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
∞ |
v ei ω t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогдавходной сигнал |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y(t) := |
|
|
|
|
|
dω |
|
|
|
|
|
|||
2 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(i ω)2 (1 + i ω T) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для обратногопреобразования Фурьевоспользуемся методомвычетов полагая wкомплексная переменная
Тогдаполюсы подынтегральнойфункции это корниуравнения
(j ω)2 (1 + i ω T) = 0 ω0 := 0 ω1 := 0
ω2 := Ti
Тогдаподынтегральная функция имеетдва полюсапервого порядка w1=0 идругой при w2=i/T
|
|
|
|
|
|
|
|
v e |
i ω t |
|
|
|
|
|
|||||
ТогдавычетRes(t) |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
вточкеw1 будет |
|
|
lim |
dω |
(i ω) |
2 |
(1 |
|
|
|
|
|
|
ω |
|
||||
|
ω 0 |
|
|
|
+ i ω T) |
|
|
||||||||||||
Первый вычет |
Resω1(t) := -i v (-t + T) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
v e |
i ω t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ТогдавычетRes(t) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω - |
i |
|
|
||||
i |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вточкеw2 будет |
ω |
|
(i ω) |
(1 |
+ i ω T) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй вычет |
Resω2(t) := -i v exp |
- |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогдавыходной сигналбудет |
|
|
|
|
|
|
|
|
После упрощения |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
||||
y(t) := i -i v (t - T) + |
|
-i v exp |
- |
|
|
T ,t |
> |
0 y(t) := v |
t - T + exp |
- |
|
|
T |
,t > 0 |
|||||
T |
T |
Этотже ответможно получитьвычисли интегралсвёртки сигнала и импульсной функции
|
t |
|
|
|
t-τ |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
T |
|
||
y(t) := |
|
v τ |
|
e |
|
dτ |
T |
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t) := v t - T v + T exp -Tt v,t > 0
Учитывыя временные ограничения спомощьювременного окнатипа Хевисайда получим
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
y(t) := v |
t - T |
|
1 |
- exp |
- |
|
|
Φ(t) y(1) = 0.552 |
T |
||||||||
Для идеального устройстваимеем |
|
|
yид(t) := K(0) x(t) Φ(t) 1.5 t Φ(t) |
Таккакvнеопределенная величина необходимо для построения графика умножитьна размерностьсоответсвующей функцииилиопределить функциюкакразмерную
Функция динамической погрешности После упрощения
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
||
(t) := |
v |
t - T |
|
1 |
- exp |
- |
|
|
Φ(t) - v t Φ(t) |
(t) := |
v T |
|
-1 |
+ exp |
- |
|
|
Φ(t) |
T |
T |
Условия для графиковвыходныхсигналовидеального и реального устройств
M := 3 |
t := -M |
,-M |
+ |
M |
..M |
|
200 |
||||
|
10 |
10 |
|
|
volt
5
4
y(t) 3
yид(t)
2
1
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
sec
Если допускается запаздывание выходного сигнала то откликидеального сигнала |
t0 := T |
|||||||
y1ид(t) := K(0) x(t - t0) Φ(t) Φ(t) (1.5 t - 1.5) |
|
|
|
|
||||
Тогдадинамическая погрешностьпринимаетвид |
После упрощения |
|
|
|||||
l(t) := v t - T 1 |
- exp - |
t Φ(t) - v (t - T) Φ(t) |
|
|
t |
|
||
l(t) := v T exp |
-T Φ(t) |
|
||||||
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
Условия для графиковдинамической погрешности при недопустимости и допустимости |
|
|||||||
запаздывания реального устройства |
M := 4 |
t := |
0,0.001 M..M |
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
volt |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
l(t) 0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- v T |
|
|
|
- 2 |
|
|
|
|
|
|
t
sec