- •Система аксиом действительных чисел Аксиомы сложения
- •Аксиомы умножения
- •Аксиомы порядка
- •Верхняя и нижняя грани числовых множеств
- •Определение предела числовой последовательности
- •Единственность предела
- •Теорема об ограниченности сходящейся последовательности
- •Предел постоянной величины
- •Предельный переход в неравенствах
- •3 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
- •6 Монотонные последовательности
- •Теорема Больцано – Вейерштрасса
- •Второй замечательный предел
- •8 Формулировка
- •Доказательство
- •9 Подпоследовательность. Частичные пределы последовательности.
- •11 Теорема Больцано-Вейерштрасса
- •Односторонний предел по Коши
- •19 Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной
1
Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения х2+2х+2=0, о множестве всех натуральных чисел и т. д.
Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В,..., X, Y,..., а их элементы — малыми буквами a, b,... ...,х,у,...
Система аксиом действительных чисел Аксиомы сложения
Для любых чисел a, b ∈ R определено единственное число a + b ∈ R, называемое суммой чисел a и b.
Для любых чисел a, b ∈ R имеет место соотношение a + b = b + a (коммутативность).
Для любых чисел a, b, с ∈ R имеет место соотношение a + (b + c) = (a + b) + c (ассоциативность).
Существует число 0 ∈ R такое, что a + 0 = a для всех a ∈ R. Число 0 носит название нуль.
Для любого числа a ∈ R существует число b ∈ R такое, что a + b = 0.
Аксиомы умножения
Для любых чисел a, b ∈ R определено единственное число a · b ∈ R, называемое произведением чисел a и b.
Для любых чисел a, b ∈ R имеет место соотношение a · b = b · a (коммутативность).
Для любых чисел a, b, c ∈ R имеет место соотношение a · (b · c) = (a · b) · c (ассоциативность).
Существует число 1 ∈ R такое, что 1 · a = a для всех a ∈ R. Число 1 носит название единица.
Для любого числа a ∈ R, a ≠ 0 существует число b ∈ R такое, что a · b = 1.
Для любых чисел a, b, c ∈ R имеет место соотношение a · (b + c) = (a · b) + (a · c) (дистрибутивность).
Аксиомы порядка
Для любых чисел a, b ∈ R имеет место одно и только одно из следующих соотношений: a < b, a =b, a > b.
Для любых чисел a, b, c ∈ R таких, что a < b и b < c, справедливо соотношение a < c (транзитивность).
Для любых чисел a, b, c ∈ R таких, что a < b, справедливо соотношение a + c < b + c.
Для любых чисел a, b, c ∈ R таких, что a < b и c > 0, справедливо соотношение a · c < b · c.
Если a < b, то говорят, что a меньше b (b больше a); в этом случае пишут также b > a. Если a < b или a = b, то пишут a ≤ b. Действительные числа, удовлетворяющие неравенству a > О, называются положительными; действительные числа, удовлетворяющие неравенству a < 0, называютсяотрицательными.
Верхняя и нижняя грани множества X обозначаются со-
ответственно символами sup X, inf X.
Примеры.
sup[a, b] = b, sup(a, b) = b.
Отметим, что верхняя грань множества может как принад-
лежать, так и не принадлежать этому множеству, ср. слу-
чаи [a, b], (a, b).
Теорема 1 (единственности). Числовое множество
не может иметь больше одной верхней (нижней) грани.
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем лишь для случая
верхней грани. Допуская противное, предположим, что ка-
ждое из чисел b и b (b = b ) является верхней гранью мно-
жества X. Пусть, для определенности, b < b. Тогда, в
силу того, что b = sup X, из определения верхней грани
следует, что для числа b ∃ xb : xb ∈ X, xb > b . Но тогда
b не является верхней гранью X. Из полученного противо-
речия следует ошибочность предположения и утверждение
теоремы.
Заметим, что в условиях теоремы не предполагается
существование верхней (нижней) грани. Теорема утвер-
ждает, что если верхняя (нижняя) грань существует, то
она единственна.
Значительно более глубокой (эквивалентной аксиоме не-
прерывности) является теорема о существовании верхней
грани.
Вещественное число s является sup X тогда и только тогда, когда s есть верхняя грань X то есть для всех элементов , . Для любого ε > 0 найдётся , такой, что x + ε > s (то есть к s можно сколь угодно «близко подобраться» из множества X) Аналогичное утверждение верно для точной нижней грани.