Лекция № 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Введение
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) не относятся к области дискретной математики. Мы рассмотрим этот тип уравнений для того, чтобы показать их связь с конечно-разностными уравнениями, которые изучаются в курсе дискретной математики.
Рассмотрим непрерывную функцию , имеющуюn производных: ,, …,.
Уравнение вида
, (9.1)
где и– известные функции, называетсялинейным ОДУ n-го порядка.
Функция заранее неизвестна. Ее получают в ходе решения дифференциального уравнения (9.1). Поэтому эту функцию называютнеизвестной функцией или решением дифференциального уравнения.
В общем случае уравнение (9.1) имеет бесконечное множество решений. Чтобы выделить из них единственное решение, нужно задать начальные условия: ,, …,.
Если какая-либо из производных в уравнении: ,, …,, либо сама функция, возведена в степень, отличную от первой, то такое дифференциальное уравнение называетсянелинейным.
В частном случае, вместо функций , в уравнение (9.1) могут входить постоянные коэффициенты(не зависящие от). Тогда дифференциальное уравнение называетсяуравнением с постоянными коэффициентами.
Обыкновенные дифференциальные уравнения часто возникают при решении разнообразных физических, технических, экономических и социальных задач.
Пример 9.1. Рассмотрим электронную схему, показанную на рис. 9.1.
Рис. 9.1. -цепь
Схема состоит из катушки индуктивностью , резистора сопротивлением и конденсатора емкостью. Падение напряжения на катушке определяется выражением
, (9.2)
, (9.3)
где – это время, – ток, протекающий через резистор,– ток, протекающий через конденсатор. На основании (9.2) и (9.3) можем записать
.
После преобразований получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
.
В общепринятых обозначениях
. (9.4)
Для данной электронной схемы известная функция имеет смысл входного сигнала, а неизвестная функция– это зависимый отвыходной сигнал. Задавая входной сигнал и решая ОДУ (9.4), можно получать соответствующие значения выходного сигнала. Поэтому дифференциальное уравнение (9.4) является математической моделью электронной схемы, с помощью которой можно исследовать работу схемы теоретически, не собирая ее из электронных компонентов.
Операционное исчисление
Существуют различные способы решения дифференциальных уравнений. В данном разделе мы ознакомимся со способом, использующим операционное исчисление. Этот способ применяется к линейным ОДУ, он позволяет преобразовывать дифференциальное уравнение в алгебраическое.
Изобретателем операционного исчисления является Оливер Хевисайд (1859-1925), английский ученый и инженер. Он ввел оператор дифференцирования, который обозначил латинской буквой (сейчас этот оператор принято обозначать буквой) и разработал правила обращения с этим оператором.
Пример 9.2. Применим метод Хевисайда к уравнению (9.4):
Предположим, что на вход схемы подан ступенчатый входной сигнал
а на выходе в начальный момент времени имеем: ,(нулевые начальные условия). Исходное уравнение при преобразуется к следующему виду:
.
Затем Хевисайд преобразовывал дифференциальное уравнение в алгебраическое, при этом оператор дифференцирования превращался в обычную переменную . Неизвестная функцияпри переходе обращалась в произведение:, производная первого порядка в:, производная второго порядка – в:.
.
Решая это алгебраическое уравнение относительно , приходим к уравнению
.
Полученное уравнение еще не является окончательным. Необходимы преобразования, позволяющие перейти от переменной к переменной, являющейся аргументом функции. Эти преобразования производятся в соответствии с алгоритмом:
,
где – корни уравнения,.
После преобразований окончательно получим
.
График функции при значениях параметровR=1; C=2; L=0,1 – показан на рис. 9.2.
Рис. 9.2. Реакция -цепи на ступенчатый входной сигнал
Преобразование Лапласа
Хевисайд не дал строгого математического обоснования своего метода. Это было сделано позже с помощью интегрального преобразования Лапласа. В результате такого преобразования функция , зависящая от переменнойи называемаяоригиналом, преобразуется в функцию , называемуюизображением (она зависит от комплексной переменной ):
. (9.5)
Обратное преобразование Лапласа определяется формулой:
, . (9.6)
Чтобы интегралы (9.5) и (9.6) сходились, оригинал должен удовлетворять следующим условиям.
–однозначная, непрерывная или кусочно-непрерывная вместе со своими производными -го порядка при;
растет не быстрее, чем некоторая показательная функция, что означает существование таких постоянных положительных чисел и, не зависящих от, при которыхдля всех;
при .
Соответствие между изображением и оригиналом обозначают следующим образом:
или ,
, .
Помимо изображения по Лапласу применяется также изображение функции по Карсону (или по Хевисайду)
,
отличающееся от преобразования Лапласа множителем . В последнее время в технической литературе все чаще пользуются изображением по Лапласу. Это объясняется наличием наглядной связи между операторным методом и гармоническим анализом, вносящей физический смысл в понятие изображения (изображение по Лапласу– это спектральная функция по отношению к затухающей функции, для которой переменнаяявляется частотой).
Свойства изображений
Если два изображения исовпадают, то совпадают между собой и соответствующие оригиналы во всех точках, за исключением, быть может, точек разрыва.
Всякое изображение приявляется аналитической функцией, то есть может быть разложено в степенной ряд и следовательно, неограниченное число раз интегрируемо и дифференцируемо в области сходимости ряда.
Свойство линейности: если и при этом,,, то.
Изображения некоторых функций
1. Функция Хевисайда :
Непосредственным интегрированием находим
. (9.7)
2. Изображения показательных функций:
, (9.8)
. (9.9)
Если , где, тои.
Изображения гиперболических функций:
, (9.10)
. (9.11)
Изображения тригонометрических функций:
, (9.12)
. (9.13)
Изображение функции: .
. (9.14)
Изображения производных от функции легко получить с помощью интегрирования по частям:
Отсюда следует:
. (9.15)
Аналогично можно получить:
, (9.16)
, (9.17)
. (9.18)
7. Изображение интеграла от функции:
Пусть и, причем
.
Так как , то.
Поскольку , то. Окончательно имеем:
. (9.19)
Основные теоремы операционного исчисления
В большинстве случаев применение операционного исчисления к решению задач укладывается в следующую схему. Пусть требуется найти некоторый результат в виде функции , для получения которого без использования операторного метода надо над заданной функциейвыполнить какую-то операциюA.
Применяя операционное исчисление, сначала переходят от оригинала к его изображению, а затем над этим изображением выполняют операциюB, соответствующую в области оригиналов операции A (например, делят изображение на вместо интегрирования функции), и получают промежуточный результат – изображение. Затем переходят от изображения к искомому оригиналу.
На первый взгляд, схема решения задачи удлиняется. Однако на самом деле получается значительный выигрыш как в средствах вычисления, так и во времени. В частности, везде дифференцирование заменяется умножением на , а интегрирование – делением на.
Этот выигрыш достигается путем применения основных теорем операционного исчисления и известных «табличных» изображений, публикуемых в справочниках.
Рассмотрим основные теоремы операционного исчисления.
Теорема 9.1. (о дифференцировании изображения).
Если , то.
Доказательство: .
Следствие 9.1.1: .
Следствие 9.1.2: . (9.20)
Пример 9.3. Найти изображение функции . Поскольку, то.
Теорема 9.2. (об интегрировании изображения).
Если , то.
Доказательство. Обозначим и. Очевидно, что, и по предыдущей теореме:
.
Отсюда следует: .
Постоянная интегрирования определяется из условия: .
. Таким образом
.
Теорема 9.3. (об изменении масштаба).
Для всегда.
Доказательство. Обозначим . Тогда
.
Пример 9.4. Известно, что . Найти изображение функции.
.
Теорема 9.4. (запаздывания).
Если и, то.
Доказательство. Обозначим . Тогда
.
Теорема 9.5. (упреждения).
Если и, то.
Доказательство. Обозначим . Тогда
Теорема 9.6. (смещения).
Если и, то.
Доказательство.
.
Теорема 9.7. (о свертке).
Если и, то
.
Замечание. Интеграл называется сверткой функцийи, и обозначается:. Можно показать, что свертка двух оригиналов также является оригиналом.
Доказательство теоремы о свертке.
Пример 9.5. Применяя теорему о свертке, найти оригинал изображения:
.
Решение. Имеем ,
, .
Поэтому .
Теорема 9.8. (первая теорема разложения).
. (9.21)
Доказательство. Формула (9.21) прямо следует из формулы (9.20).
Пример 9.6. Найти оригинал изображения .
Решение. Известно, что логарифмическая функция может быть разложена в следующий степенной ряд:
.
В соответствии с первой теоремой разложения получаем:
.
Теорема 9.9. (вторая теорема разложения).
Если – рациональная правильная несократимая дробь, а– простые (не кратные) корни уравнения:, то
, (9.21)
где ,.
Доказательство. Прежде всего, заметим, что требование правильности дроби в данной теореме обязательно, так как эта дробь – изображение, и должно быть выполнено условие .
Далее известно, что в случае простых корней знаменателя правильная рациональная дробь может быть разложена на простейшие следующим образом:
.
Для нахождения коэффициента умножим обе части равенства на ():
.
Введем обозначение , тогда предыдущее равенство можно записать в виде:
.
Полагая , найдем. Подобно этому вычисляются и остальные коэффициенты разложения. Используя теорему смещения, приходим к формуле (9.21).
Пример 9.7. Найти оригинал для изображения .
Решение: – правильная рациональная несократимая дробь, причем
,
.
Корни знаменателя: .
.
, ,.
.
Здесь мы применили формулу Эйлера: .
Пример 9.8. Решить дифференциальное уравнение
при начальном условии: ,– константы.
Решение: Для решения используем операционное исчисление. Уравнение в изображениях
.
Решая его относительно , получим . Применим вторую теорему разложения.
; ;.
; .
.
Пример 9.9. Решить дифференциальное уравнение
при начальных условиях: ,.
Решение: Уравнение в изображениях
.
Подставляем начальные условия:
.
Решаем полученное уравнение как обычное алгебраическое
.
Совершаем обратное преобразование по формуле:
.
; ;
, .
; ,.
.
Пример 9.10. Вычислить интеграл
.
Найдем изображение этого интеграла
.
Отсюда следует: .