Бакаев Методы статистических испытаний 2007
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТCТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Н.Ю. Бакаев
Методы статистических испытаний в экономике и финансах
Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
МОСКВА 2007
УДК 336.01(075) ББК 65.261-93я7 Б 19
Бакаев Н.Ю. Методы статистических испытаний в экономике и финансах: Учебное пособие. М.:МИФИ, 2007.– 184 с.
В данном учебном пособии рассматриваются вопросы практического решения экономико-финансовых задач на основе применения методов статистических испытаний (методов Монте-Карло). В книге изложены как общие проблемы методологии техники статистических испытаний, включая основные принципы генерации случайных чисел, так и примеры конкретного применения данной техники для целей финансовоэкономического моделирования.
Книга предназначена в первую очередь студентам и аспирантам экономико-аналитического института МИФИ, но может быть также использована финансовыми аналитиками и экономистами-менеджерами, не имеющими глубокой математической подготовки, но желающими владеть практическими приемами применения методов статистических испытаний в прикладных исследованиях.
Пособие подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы.
Рецензент доктор физ.-мат. наук проф. А.В. Крянев
ISBN 978-5-7262-0817-6
©Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2007
Оглавление
Глава 1 Роль моделирования в изучении социально - |
5 |
экономических процессов……………………………………....…… |
|
ЧАСТЬ I МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ |
9 |
МЕТОДОВ МОНТЕ-КАРЛО................................................. |
|
Глава 2 Исторические предпосылки возникновения и |
|
общие характеристики группы методов Монте-Карло……………….. |
11 |
Глава 3 Генерация случайной величины с равномерным |
|
законом распределения………………..…………………………..… |
19 |
3.1 Случайные числа и случайные цифры……………..……… |
20 |
3.2Способы генерации случайных чисел……………..………. 23
3.3Псевдослучайные числа…………………………………….. 28
3.4 Статистическая проверка случайных чисел…….………… |
37 |
Глава 4 Генерация случайных величин с заданными |
|
законами распределении…………………………………………...… |
55 |
4.1 Метод обратных функций……………………………..…… |
55 |
4.2Моделирование нормального распределения………........... 62
4.3Моделирование многомерных случайных величин………. 64
4.4Метод суперпозиции………………….…………………...... 77
Глава 5 Стохастические дифференциальные уравнения……….. 84
5.1Дельта-функция……………………………………………... 84
5.2Случайные процессы………………………………………... 90
5.3Белый шум и винеровский процесс………………………... 93
5.4Понятие стохастических дифференциальных
уравнений…………………………………………………………………. |
101 |
5.5 Численные методы решения стохастических |
|
дифференциальных уравнений…….…………………………………… |
113 |
ЧАСТЬ II ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МОНТЕ-КАРЛО |
119 |
В ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ... |
|
Глава 6 Анализ непрерывного потока финансовых |
|
платежей…………………………………………………………...... |
121 |
6.1 Необходимые сведения из математической статистики… |
121 |
6.2Простейший метод Монте-Карло для вычисления интегралов………………………………………………………………… 125
6.3Финансовые платежи……………………………………….. 127
Глава 7 Механические торговые системы………..………….… 130
3
7.1Вероятность получения убытка в серии последовательных сделок ……………………………………………….. 131
7.2Вероятность разорения в серии последовательных
сделок……………………………………………………………………… |
133 |
Глава 8 Моделирование работы систем массового |
|
обслуживания …………………………………………………………….. |
136 |
Глава 9 Формирование инвестиционного портфеля……………. |
141 |
9.1 Математическая постановка задачи оптимизации |
|
портфеля активов…………………………………………………………. |
141 |
9.2 Численное решение задачи оптимизации портфеля….. |
150 |
Глава 10 Моделирование динамики финансовых активов…… |
157 |
10.1 Моделирование эволюции стоимости акций…………….. |
157 |
10.2 Моделирование стохастических процентных ставок…… |
162 |
Глава 11 Моделирование ценообразования опционов………….. |
166 |
11.1Опционы на рынке акций…………………………………. 167
11.2Опционы на рынке облигаций……………………………. 170
Приложение 1……………………………………………………….. 175 Приложение 2……………………………………………………….. 176 Список литературы………………………………………………… 176 Предметный указатель…………………………………………..….. 179
4
Глава 1 Роль моделирования в изучении социально-экономических процессов
Внимание к различным аспектам моделирования продиктовано расширяющимися масштабами современных экономических и социальных исследований, потребностями производства и деловых кругов, усложняющейся динамикой развития общественно-экономических структур, необходимостью совершенствования планирования на всех организационных уровнях ввиду крайне высокой ответственности за последствия принимаемых управленческих решений, а также необходимостью использования в будущем уже накопленного опыта социально-экономической и финансовой деятельности. В настоящее время моделирование является одной из важнейших процедур при планировании управления как отдельными хозяйственными объектами, так и сложными социально-экономическими структурами. Успешно проведенное моделирование позволяет достоверно спрогнозировать поведение социально-экономических объектов в будущем, а значит и надежно оценить последствия принимаемых в настоящем управленческих решений.
В зависимости от уровня планирования моделирование может производиться как на макроуровне – для моделирования динамики развития отдельных государств или крупных регионов, играющих важную самостоятельную роль в рамках мирового сообщества, так и на микроуровне – от планирования финансово-хозяйственной деятельности предприятий и до прогнозирования результатов спекуляций отдельных трейдеров на валютно-финансовых биржах. Совершенствование методов моделирования в современных условиях по общепризнанному мнению базируется на развитии соответствующих информационных технологий, что, в свою очередь, обусловлено следующими причинами:
1)неуклонным ростом объемов социальноэкономической информации;
5
2)сложностью алгоритмов расчета и интерпретации результатов;
3)все возрастающими требованиями к качеству прогнозов:
4)необходимостью использования результатов моделирования для решения задач планирования и
управления (в том числе, стратегического).
Можно привести много примеров позитивных последствий социально-экономической политики государств или финансово-экономической политики отдельных компаний, осуществленной на основе качественного прогноза, который, в свою очередь, являлся следствием успешного моделирования. Механизм успеха очевиден: делая правильные предположения о том, что произойдет в будущем, можно своевременно принять эффективные корректирующие меры, рационально используя позитивные тенденции и адекватно противодействуя процессам
иявлениям, имеющим негативный характер.
Вто же время пренебрежение прогнозированием на основе модельных расчетов или некачественное прогнозирование могут привести к неправильным решениям в рамках проводимой политики и, как следствие, – к весьма плачевным последствиям. Приведем только один пример. Как сообщает журнал «Директор информационной службы» за 2001 г., компания Cisco, в свое время провозглашенная чуть ли не символом новой экономики, не только не смогла предвидеть экономический спад 2001 г., но и оказалась даже в худшем положении по сравнению с другими компаниями, так как считала свое программно-методическое обеспечение прогнозирования спроса безупречным. Менеджмент компании не предполагал, что одной из причин ее кризиса могут быть используемые модели и технологии прогнозирования. В результате допущенных аналитических просчетов было списано товаров на 2,2 млрд долларов, уволено около 20 % сотрудников, а акции компании упали в цене почти в 6 раз.
6
Таким образом, причина кризиса Cisco лежит не в задержках получения или недостаточном объеме исходной информации, необходимой для эффективной работы аналитиков компании. Трудности возникли, вероятнее всего, из-за методических ошибок и неадекватной оценки получаемых прогнозов. Как предполагают, использовавшаяся Cisco модель не обеспечивала необходимый уровень адаптации прогнозных оценок к текущему изменению рыночной ситуации.
К настоящему времени сформировалась и является общепринятой точка зрения на то, какие основные факторы обеспечивают точность, достоверность и оперативность модельных прогнозов. Это:
наличие современного программно-математического
обеспечения в сочетании с |
полнотой охвата и надежностью |
|||
источников |
исходной |
информации, заложенной в работу |
||
соответствующих алгоритмов; |
|
|||
возможность оперативной обработки |
внутренней |
|||
(внутрифирменной) и внешней информации; |
|
|||
умение |
критически |
анализировать |
результаты |
моделирования; своевременность внесения необходимых изменений в
методическое и информационное обеспечение базовых моделей.
Что касается программно-математического обеспечения, то оно весьма существенным образом зависит от принятой социально-экономической модели со всеми ее адекватными реальностями. В рамках данной книги мы сосредоточимся исключительно на проблемах, связанных с разработкой математических моделей, возникающих в экономических и финансовых приложениях. Если говорить более точно, ограничимся на самом деле изучением так называемых методов Монте-Карло, играющих весьма важную роль при решении широкого круга финансово-экономических задач. Дальнейшее изложение книги будет разделено на две основных части. В первой части будут рассмотрены различные методологические
7
проблемы, возникающие при разработке алгоритмов на основе методов Монте-Карло, а вторая часть будет полностью посвящена приложениям указанных алгоритмов к различным задачам моделирования социально-экономической и финансовой сферы.
Всюду далее в данной книге используются широко употребительные обозначения из теории вероятностей:
Р(А) – для вероятности события А, а М[Х] и D[Х] – соответственно для математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.1 Сами случайные величины обозначаются, как правило, прописными буквами латинского алфавита, а их реализации (элементы выборок) – соответствующими строчными буквами. В то же время по определенным причинам эта договоренность нарушалась в контексте некоторых рассуждений, например в ситуациях, когда элементы выборок необходимо было трактовать и как случайные величины. Векторные величины выделяются, как
правило, жирным |
шрифтом. |
Остальные |
необходимые |
обозначения |
вводятся непосредственно |
перед их |
|
употреблением в ходе дальнейшего изложения. |
|
1 В литературе можно также часто встретить обозначение Е Х, употребляемое вместо М[X].
8
ЧАСТЬ I
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
МЕТОДОВ МОНТЕ-КАРЛО