Коновалов Учебно-методическое пособие по курсу 2007
.pdfФедеральное агентство по образованию
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
Ю.В. Коновалов, О.В. Нагорнов, П.С. Цыбенко
Учебно-методическое пособие по курсу
“Математическое моделирование физических процессов”
Часть 1. Модели ледниковых покровов в приближении тонкого слоя льда
Рекомендовано УМО “Ядерные физика и технологии” в качестве учебного пособия для студентов вузов
Москва 2007
УДК 53.01(076.5)+551.32.01(076.5) ББК 22.3ся7+26.222.8я7 К 64
Коновалов Ю.В., Нагорнов О.В., Цыбенко П.С. Учебно-методическое пособие по
курсу “Математическое моделирование физических процессов” Часть 1.
Модели ледниковых покровов в приближении тонкого слоя льда. М: МИФИ, 2007. – 76 с.
Учебное пособие рассчитано на студентов, специализирующихся по направлениям “Прикладная математика и информатика” и “Физика Земли и планет”. Одной из составляющих курса “Математическое моделирование физических процессов” является семестровый практикум, относящийся к области научно-исследовательских задач в геофизике (гляциологии). В рамках представленного практикума рассматриваются математические постановки задачи о течении ледниковых масс, исследования формы ледникового покрова с помощью аналитических и численных методов решения нелинейного дифференциального уравнения параболического типа. Численные решения основаны как на конечноразностном методе, так и на методе конечных элементов. Представлены решения, реализованные с помощью математического пакета Maple.
Пособие предназначено как для студентов старших курсов, так и для аспирантов и научных работников, специализирующихся в области математического моделирования и применения численных методов в научных исследованиях.
Пособие подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы.
Рецензент доктор физ.-мат. наук, профессор Н.А. Кудряшов
ISBN 978-5-7262-0815-2 |
© Московский инженерно-физический институт |
|
(государственный университет), 2007 |
|
Редактор Т.В.Волвенкова |
Подписано в печать 25.10.07. Формат 60x84 1/16.
П.л. 4,75. Уч.-из.л. 4,75. Тираж 200 экз.
Изд. № 3/50. Заказ №
Московский инженерно-физический институт (государственный университет).
115409, Москва, Каширское шоссе, 31
Типография издательства “Тровант”. г. Троицк Московской обл.
Оглавление |
|
|
Введение |
4 |
|
§ 1. Закон Глена. Основные уравнения, описывающие |
7 |
|
течение льда и эволюцию ледниковых покровов |
|
|
§ 2. Приближение тонкого слоя льда. Приближенные |
12 |
|
аналитические решения для скорости течения льда |
|
|
§ 3. Уравнение поверхности ледникового покрова |
15 |
|
§ 4. Плоская модель течения льда в ледниковом покрове |
17 |
|
§ 5. |
Аксиально-симметричый ледниковый купол |
32 |
§ 6. |
Консервативная разностная схема для двумерного |
36 |
уравнения поверхности |
|
|
§ 7. |
Решение уравнения поверхности методом конечных |
53 |
элементов (методом Галеркина) |
|
|
§ 8. |
Задачи для самостоятельного решения |
74 |
Список литературы |
76 |
3
Введение
Ледниковые покровы Земли представляют интерес с научноисследовательской точки зрения, т.к. они содержат достаточно полную палеоклиматическую информацию о химическом составе атмосферы и глобальной температуре Земли. Эта информация содержится в осадках, ежегодно выпадающих на поверхность ледникового покрова, которые, фактически, со временем формируют ледниковый покров, ежегодно аккумулируясь на его поверхности. Каждый годовой слой снега под давлением вышележащих слоев уплотняется, достигая плотности льда, и постепенно перемещается от поверхности к основанию ледникового покрова, сохраняя в себе указанную палеоклиматическую информацию о химическом составе атмосферы в момент образования соответствующего годового слоя. Таким образом, основная задача гляциологических исследований заключается в датировках и изучении химического состава проб льда, извлеченных из ледникового покрова в результате кернового бурения, и основная часть гляциологических исследований посвящена сбору таких данных в различных регионах Земли.
В частности, изменения глобальной температуры Земли в прошлом определяются по относительной концентрации δ18 O –
стабильного изотопа 18 O по отношению к основному изотопу 16 O , т.к. эта концентрация в атмосферных осадках зависит от температуры, при которой происходило их формирование [2, 14]. Например, скважинные измерения концентраций углекислоты и метана ( CO2 и CH4 ) в Антарктиде (скважина “Восток”) позволили
установить корреляции между изменениями концентраций парниковых газов в атмосфере и изменениями глобальной
температуры Земли (по данным δ18 O ) за последние 16 104 лет [7; 8].
С другой стороны, эволюция ледниковых покровов – изменение ледниковой массы, границ областей залегания ледниковых покровов – также является индикатором изменений климата Земли. Ледниковые покровы эволюционируют под влиянием изменений баланса массы на поверхности (аккумуляции осадков и сезонного таяния) и в результате течения льда, т.е. непрерывной во времени деформации льда под действием
4
приложенных напряжений, возникающих в поле силы тяжести. В отличие от вязкой жидкости не удается удовлетворительно описать непрерывную деформацию льда в рамках линейного соотношения между компонентами тензоров скоростей деформаций и девиатора напряжений. Компоненты этих тензоров связаны нелинейным соотношением – реологическим законом Глена, – в котором учитывается зависимость вязкости от скорости деформации [16].
Изменения ледниковой массы в ледниковых покровах могут быть спрогнозированы, опираясь на математические модели течения льда, в основе которых лежат уравнения, описывающие движение сплошной среды, и закон Глена. Эти уравнения включают в себя уравнение непрерывности для несжимаемой среды, уравнения движения сплошной среды, уравнение переноса тепла и уравнение баланса массы льда в ледниковом покрове.
Уравнения движения сплошной среды с учетом малости скорости течения льда, фактически, заменяются уравнениями механического равновесия твердого тела в поле силы тяжести, которые вместе с уравнением непрерывности и законом Глена определяют скорости течения льда на данный момент времени – система диагностических уравнений. Изменения области ледникового покрова со временем определяются решением уравнения баланса массы. Таким образом, решение задачи об эволюции ледникового покрова заключается в последовательном решении системы диагностических уравнений на каждом временном шаге и уравнения баланса массы. Вязкость льда зависит от температуры [16], и в общем случае следует также учитывать изменения температуры льда со временем, решая уравнение переноса тепла.
Дальнейшие преобразования (упрощения) системы диагностических уравнений, связанные, в частности, с уменьшением количества неизвестных функций и, соответственно, сокращением объема вычислений, приводят к различным моделям течения льда. Существуют модели, основанные на приближенных аналитических решениях для скорости течения льда (приближение тонкого слоя льда) [9; 10; 13], на численных решениях уравнений механического равновесия льда в поле силы тяжести с учетом закона Глена [11; 12; 13, 14] и уравнения непрерывности [5; 17]. В данном учебном пособии рассмотрена модель, основанная на приближенных
5
аналитических решениях, требующая минимального объема вычислений, т.к. в этом случае задача определения эволюции ледника сводится к решению только прогностического уравнения (для заданной температуры льда). Прогностическое уравнение в данном случае представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение параболического типа. Решения прогностического уравнения получены конечно-разностным методом, методом конечных элементов и реализованы с помощью математического пакета Maple.
6
§ 1. Закон Глена. Основные уравнения, описывающие течение льда и эволюцию ледниковых покровов
1.1. Закон Глена
Под действием приложенных напряжений поликристаллический лед непрерывно деформируется (в пространстве и во времени), что приводит к течению льда в ледниковых покровах. Скорости течения льда варьируются в
широком диапазоне значений от ~ 1м/год до ~103 м/год в зависимости от геометрии ледникового покрова, толщины льда, граничных условий и термодинамического состояния льда. Например, максимальные, известные значения скорости течения
льда (~103 м/год) достигаются в шельфовых ледниках (ледник Росса, Антарктида).
В плоскопараллельном слое льда под действием приложенных скалывающих напряжений (рис.1) возникает непрерывная деформация льда и единственная, отличная от нуля, компонента тензора скоростей деформаций связана с соответствующей компонентой тензора напряжений законом Глена:
& |
′ |
n |
, |
(1) |
εxz = A(σ xz ) |
|
где коэффициент текучести A определяется температурой льда.
z |
|
|
|
σ′xz |
|
||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
Рис. 1. Поле скоростей в плоскопараллельном слое льда
7
В случае сложной деформации льда в ледниковом покрове выражение, связывающее скорости деформации с девиатором напряжений, должно обладать свойством инвариантности по отношению к ортогональным преобразованиям координат. Нелинейное соотношение вида (1), обладающее свойством инвариантности, может быть записано для скалярных величин – инвариантов соответствующих тензоров.
Лед представляет собой несжимаемую среду. Соответственно, первый инвариант тензора скоростей деформаций ε&ii = 0 – уравнение непрерывности для несжимаемой среды.
Предположим, что вторые инварианты тензоров скоростей деформаций и девиатора напряжений связаны соотношением:
|
& |
′ |
n |
, |
|
|
(2) |
||
|
ε |
= A(σ ) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
& |
= |
& & |
|
и σ |
= |
′ ′ |
|||
где ε |
εik εik / 2 |
|
|
σikσik / 2 . |
Тогда частный случай непрерывной деформации льда в плоскопараллельном слое (см. рис. 1) удовлетворяет выражению (2).
С другой стороны, в изотропной несжимаемой среде, как, например, в несжимаемой вязкой жидкости, должно иметь место линеаризованное соотношение между компонентами тензоров ε&ik и
σik′ :
′ |
& |
(3) |
σik = 2ηεik , |
которое выражает собой тот факт, что чем больше компонента девиатора напряжений σik′ , тем быстрее возрастает i-ая компонента
скорости течения в сплошной среде в направлении оси хk .
Из выражений (2) и (3) следует, что для вторых инвариантов тензоров имеют место соотношения:
|
′ |
|
− |
1 |
|
1 |
|
|
′ |
|
|
σ |
= A |
n |
&n |
, |
σ |
& |
|||||
|
|||||||||||
|
|
|
ε |
|
= 2ηε . |
Сравнивая эти соотношения, получим выражение для коэффициента вязкости η :
|
1 |
|
− |
1 |
|
1−n |
|
|
|
η = |
A |
n |
ε |
n |
. |
(4) |
|||
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
& |
|
|
8
Таким образом, закон Глена в общем случае имеет вид [16]:
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1−n |
|
|
||
′ |
|
η = |
A |
− |
|
|
|
. |
(5) |
||
& |
n |
& |
n |
||||||||
|
|||||||||||
σik = 2ηεik ; |
2 |
|
|
ε |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. Система диагностических уравнений
Основными уравнениями для определения скорости течения льда в ледниковом покрове являются уравнение непрерывности в несжимаемой среде и уравнение движения сплошной среды [3]:
div v = 0; |
|
|
|
|
|
|
||
∂vi |
+vk |
∂vi |
= |
1 |
|
∂σik |
+ gi , i =1,2,3; |
(6) |
∂ xk |
|
|
|
|||||
∂t |
|
|
ρ ∂ xk |
|
где v – скорость течения льда; ρ – плотность льда ( ρ ≈ 910кг/м3 ); g – ускорение свободного падения.
Полагая, что характерное время задачи для уравнений (6) τ ≥1год и характерное значение скорости v ~ 103 м/год, получим
для левой части уравнения движения оценку: τv ≤10−12 м/с2 . Правая
часть уравнения движения является величиной ≥10 м/c2 . Таким
образом, фактически, вследствие малости скорости течения льда, распределение напряжений в ледниковом покрове определяется уравнениями механического равновесия льда в поле силы тяжести
[4]:
∂σik +ρ gi = 0; i =1,2,3.
∂ xk
Окончательно, система уравнений для определения скорости течения льда имеет вид:
9
div vr = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∂σik + ρ gi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0; i =1,2,3; |
|
|||||||||
|
∂ xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1−n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
′ |
|
|
A |
− |
|
& |
|
; |
|||
& |
|
n |
n |
||||||||
σik |
= 2ηεik ; η = |
2 |
|
|
ε |
|
|||||
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
x, y Ω; h |
≤ z ≤ h |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
b |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
где ось |
z |
направлена |
вертикально вверх; hb (x, y) и hs (x, y) – |
высоты основания и свободной поверхности ледникового покрова над уровнем моря; Ω – область залегания ледникового покрова.
Система уравнений (7) не содержит времени явно. Она определяет поле скорости течения льда для заданного распределения температуры льда и данной геометрии ледникового покрова, которая определяется уровнями основания hb (x, y) и
свободной поверхности hs (x, y) . Эта система может быть названа
системой диагностических уравнений.
Граничными условиями для уравнений (7) являются условие свободной поверхности σik nk = 0 при z = hs и условие отсутствия
проскальзывания в базисном слое v = 0 при z = hb для ледникового покрова, расположенного на земле. Для шельфового ледника
граничным |
условием при z = hb |
является |
σik nk = − p ni , где |
p = −ρw g hb |
– гидростатическое |
давление на |
соответствующей |
глубине. В определенных случаях, для ледниковых покровов, распложенных на земле, также возможно проскальзывание в базисном слое. Тогда скорость проскальзывания определяется величиной скалывающих напряжений в базисном слое.
1.3. Уравнение баланса массы. Прогностическое уравнение
Течение льда, изменения в аккумуляции (количестве выпадающих осадков) и сезонном таянии снега на поверхности ледника, а также существующее в ряде случаев придонное таяние приводят к изменению формы поверхности ледникового покрова со временем. Баланс массы льда в прямоугольном параллелепипеде
10