[ Лялинов ] Программа и задачи по курсу линейной алгебры и аналитической геометрии в основном потоке
.pdf
|
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ |
ПРИОРИТЕТНЫЙ |
|
|
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ |
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ |
|
|
УНИВЕРСИТЕТ |
"ОБРАЗОВАНИЕ" |
|
|
|
|
|
Проект ¾Инновационная образовательная среда в классическом университете¿
Пилотный проект № 22 ¾Разработка и внедрение инновационной образовательной программы ¾Прикладные математика и физика¿¿
Физический факультет
Кафедра высшей математики и математической физики
М. А. Лялинов
Программа и задачи по курсу линейной алгебры и аналитической геометрии в основном потоке
Учебно-методическое пособие
Санкт Петербург 2007 г.
²Рецензент: профессор кафедры высшей математики и математической физики, доктор физико-математических наук М.Ш. Бирман.
²Печатается по решению методической комиссии физического факультета СПбГУ.
²Рекомендовано Ученым советом физического факультета СПбГУ.
Программа и задачи по курсу линейной алгебры и аналитической геометрии в основном потоке – СПб., 2007 г.
В данном пособии мы приводим программу и набор типовых задач по курсу линейной алгебры и аналитической геометрии в первом и втором семестрах для студентов основного потока физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Предложен разбор решения некоторых ключевых задач. Задачи данного уровня сложности предлагаются на коллоквиуме и экзамене в первом и втором семестрах.
Оглавление
Глава 1 |
|
4 |
§1.1. Вводные замечания и правила отчетности . . . . . . |
4 |
|
§1.2. Программа коллоквиума в 1 семестре. . . . . . . . . . |
5 |
|
§1.3. Набор типовых задач: линейная алгебра и аналити- |
|
|
ческая геометрия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
|
1.3.1. Сложение векторов. Умножение на число. Ска- |
|
|
|
лярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
1.3.2. |
Векторное и смешанное произведения . . . . . |
7 |
1.3.3. |
Прямая линия на плоскости . . . . . . . . . . . |
9 |
1.3.4.Плоскость в пространстве . . . . . . . . . . . . 10
1.3.5.Прямая в пространстве. Прямая и плоскость . 10
1.3.6.Кривые 2-го порядка на плоскости. Эллипс. Гипербола. Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§1.4. Программа экзамена в 1 семестре. . . . . . . . . . . . 13
1.4.1.Матрицы и определители. Системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Глава 2 |
|
20 |
§2.1. Программа коллоквиума во 2 семестре. . . . . . . . . |
20 |
|
2.1.1. |
Линейные пространства. . . . . . . . . . . . . . |
21 |
2.1.2. |
Евклидовы пространства . . . . . . . . . . . . |
26 |
§2.2. Программа экзамена во 2 семестре. . . . . . . . . . . |
30 |
2.2.1.Квадратичные формы и приведение к каноническому виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Литература |
34 |
3
Глава 1
§1.1. Вводные замечания и правила отчетности
Цель настоящего пособия предложить набор типовых задач по курсу аналитической геометрии и линейной алгебры. Программа курса разбита на 4 части – по две в первом и втором семестрах. Представленные задачи позволяют оценить уровень требований к студентам основного потока физического факультета СПбГУ. Предлагаемый набор не является исчерпывающим, однако, он ориентирован на освоение ключевых теоретических понятий и утверждений, в том числе, посредством приобретения практических навыков решения стандартных задач по курсу. Представлен подробный разбор решения ряда задач, которые с одной стороны иллюстрируют ключевые теоретические утверждения и понятия курса, а с другой стороны призваны помочь студенту приобрести необходимую ”культуру“ решения типовых задач. Предлагаемые задачи стандартны, в том смысле, что их решение не требует специального подхода, применения какого-либо нетрадиционного приема или теоретического утверждения, выходящего за рамки курса. Тем не менее, их можно отнести к уровню от 1-2 до 6-7 баллов по десятибальной шкале сложности. Задачи, предназначенные для самостоятельного решения, пронумерованы.
Предполагается, что в нормальной ситуации оценка за курс линейной алгебры и аналитической геометрии (в первом и втором семестрах по отдельности) формируется как среднее арифметическое 3-х оценок по “болонской” шкале: оценки за семинарские занятия, оценки за коллоквиум и оценки за экзамен. Однако, если хотя бы
4
одна из 3-х этих оценок ниже 2-х баллов, то итоговая оценка – 1 балл, т.е. результат неудовлетворительный. Одна из целей такой системы отчетности – повысить роль семинарских занятий и их вклад в итоговую оценку.1 Билет экзамена (коллоквиума) содержит одну задачу уровня сложности типовых задач и один теоретический вопрос.
Преподаватель, ведущий семинарские занятия по линейной алгебре и аналитической геометрии, выставляет “болонскую” оценку по результатам контрольных работ, а также учитывает работу студента в течение семестра. Использование каких либо учебников, конспектов, задачников, калькуляторов и т.д. во время контрольной работы запрещено. То же самое касается коллоквиума и экзамена. Возможны вариации задач в контрольных работах, но трудность должна приблизительно соответствовать примерам задач, приведенным ниже. Более точно – две простые задачи уровня типовых, а также другие, возможно более сложные задачи по усмотрению преподавателя.2
§1.2. Программа коллоквиума в 1 семестре.
Векторы, сложение и умножение на число, скалярное произведение, свойства основных операций с векторами, колинеарность и компланарность. Координатная ось, системы координат, проекция вектора на заданное направление или вектор, свойства проекции, координаты точки, ориентация, левые и правые системы координат. Определители 2 и 3 порядков, разложение определителя по строке. Векторное произведение и его свойства, псевдовекторы. Двойное векторное произведение. Смешанное произведение, геометрический смысл
1В исключительных случаях лектор потока оставляет за собой право выставить итоговую оценку за семестр в соответствии с результатом сдачи экзамена (возможно после согласования с экзаменатором, если опрос проводил не лектор потока, и с преподавателем, проводившим семинарские занятия студента). При этом, роль двух других оценок может быть существенно снижена.
2Это правило необходимо для унификации требований к студентам разных групп основного потока. Допускается разумное число ”переписываний“ контрольных работ, но уже второе переписывание должно приводить к заметному снижению болонской оценки за семинарские занятия.
5
и свойства. Доказательство свойства дистрибутивности векторного произведения. Прямая на плоскости, различные формы уравнения прямой, уравнение пучка прямых, параллельность и ортогональность, угол между прямыми. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Плоскость в пространстве, различные формы уравнения плоскости, условие параллельности и ортогональности плоскостей, угол между плоскостями, уравнение пучка плоскостей. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве, взаимосвязь различных форм уравнений прямой, взаимное расположение двух прямых в пространстве. Плоскость и прямая в пространстве, угол, параллельность и ортогональность. Эллипс, каноническое уравнение, оптическое свойство (без доказательства), условие касания прямой и эллипса, касательная к эллипсу. Гипербола, каноническое уравнение, оптическое свойство (без доказательства), условие касания прямой и гиперболы, асимптоты гиперболы, касательная к гиперболе. Парабола, каноническое уравнение и основные свойства, оптическое свойство (без доказательства). Полярные координаты, уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Преобразование декартовых координат на плоскости, параллельный перенос, поворот и отражение. Приведение уравнения второго порядка на плоскости к канонической форме.
Коллоквиум (начало ноября).
§1.3. Набор типовых задач: линейная алгебра и аналитическая геометрия.
1 семестр. Задачи 1-24 соответствуют материалу коллоквиума, остальные 25-35 – экзамена в первом семестре.
1.3.1.Сложение векторов. Умножение на число. Скалярное произведение
¡! ¡!
1. В параллелограмме ABCD обозначены: AB= a и AD= b: Вы-
¡! ¡! ¡! ¡!
разить через a и b векторы MA; MB; MC и MD, где M есть точка
6
пересечения диагоналей параллелограмма.
Задача. Даны две точки на плоскости: A(Ax; Ay) и B(Bx; By).
На отрезке AB найти точку C такую, что jACj : jCBj = m : n.
¡! ¡¡!
Решение. Рассмотрим векторы AC и CB. Так как точка C ле-
¡! ¡¡!
жит на отрезке [AB], то AC и CB коллинеарны и одинаково на-
правлены, следовательно, они отличаются только числовыми мно- |
|||||||||||
жителями: |
¡! |
|
¡¡! |
. Для координат векторов это означает: |
|||||||
AC |
= |
CB |
|||||||||
m |
n |
||||||||||
|
Cx ¡ Ax |
= |
Bx ¡ Cx |
; |
Cy ¡ Ay |
= |
By ¡ Cy |
: |
|||
|
|
n |
m |
|
|||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
n |
Из этих уравнений находятся Cx и Cy:
Cx = |
nAx + mBx |
; Cy = |
nAy + mBy |
: |
m + n |
|
|||
|
|
m + n |
Иногда обозначают mn = ¸, тогда ответ имеет вид
Cx = |
Ax + ¸Bx |
; Cy = |
Ay + ¸By |
: |
|
|
|||
1 + ¸ |
1 + ¸ |
|
В частности, при m = n (деление отрезка пополам):
Cx = |
1 |
(Ax + Bx) ; Cy = |
1 |
(Ay + By) : |
|
|
|||
2 |
2 |
2.Найти линейную зависимость между данными четырьмя некомпланарными векторами: m = a ¡ b + c; p = a + b; n = 2b+ +c; q = b ¡ c.
3.Пусть i; j и k взаимно перпендикулярные орты. Вычислить
скалярное произведение векторов a и b, где a = i ¡ 2j + 3k, b =
=4i + j ¡ 2k. Найти длину векторов a и b и угол между ними.
4.Какой угол образуют единичные векторы s и t, если известно, что векторы p = s + 2t и q = 5s ¡ 4t взаимно перпендикулярны.
1.3.2.Векторное и смешанное произведения
5. Лежат ли точки A(2; 4; 1); B(3; 7; 5); C(4; 10; 9) на одной прямой?
¡! ¡!
Указание: проверить колинеарность векторов AB и AC.
6. Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на трех векторах: a = 3p + 2q ¡ 5r; b = p ¡ q + 4r и c = p ¡ 3q + r, если за
7
основание взят параллелограмм, построенный на a и b. Известно, что p, q и r взаимно перпендикулярные орты.
7. Пусть a; b и c взаимно перпендикулярные орты. Проверить, компланарны ли данные векторы:
а) p = a ¡ 2b + c; б) p = 2a + b ¡ 3c;
q = 3a + b ¡ 2c; r = 7a + 14b ¡ 13c; q = a ¡ 4b + c; r = 3a ¡ 2b + 2c;
Решение a).
1 способ. Вычислим смешанное произведение
|
¯ |
|
¡2 |
¡ |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
1 |
1 |
¯ |
|
|||
|
7 |
14 |
¡ |
13 |
|
|||
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
p q r = |
¯ |
3 |
1 |
|
|
2 |
¯ |
: |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
Вычтем из второй строки 1-ую строку, умноженную на три, а из 3-ей строки вычтем 1-ую строку, умноженную на семь, получим
p q r = |
¯ |
0 |
7 |
¡ |
5 |
¯ |
: |
|
|
¯ |
1 |
¡2 |
|
¯ |
|
||
|
¯ |
1 |
¯ |
|
||||
|
|
|
¡ |
|
|
|
||
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
0 |
28 |
|
20 |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
Разложим определитель по первому столбцу
p q r = 1 ¢ |
¯ |
28 |
¡20 |
¯ |
= 0: |
|
¯ |
|
¡ |
¯ |
|
|
¯ |
7 |
5 |
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
Ответ: векторы p; q; r компланарны.
2 способ проверки компланарности не связан с понятиями векторного и смешанного произведений, он более общий, так как пригоден и для случая неортогональных базисных векторов. Ищем линейную зависимость между данными векторами: существуют ли числа ®, ¯, °, не все равные нулю, такие, что
®p + ¯q + °r = 0 :
Это векторное равенство равносильно трем координатным:
8< 1 ¢ ® + 3 ¢ ¯ + 7 ¢ ° = 0 ; : ¡2 ¢ ® + 1 ¢ ¯ + 14 ¢ ° = 0 ;
1 ¢ ® ¡ 2 ¢ ¯ ¡ 13 ¢ ° = 0 :
Решая эту линейную систему методом исключения, получаем ® = 5°, ¯ = ¡4°, где ° - произвольно. Полагая ° = 1, получаем ® = 5,
8
¯ = ¡4, ° = 1, т.е. найдена линейная зависимость данных векторов. Следовательно, они компланарны.
Задача. Найти площадь треугольника ABC с вершинами |
|
|
||||||||||||||||||||
A(1; 0; ¡1), B(0; 2; 1), C(2; 2; 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. SABC = 2 |
¯¡! |
£ |
¡!¯ |
|
p |
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
i j k |
¯ |
AB |
|
|
AC |
¯ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
£ |
¯ |
¡ |
|
|
¯ |
|
¯ |
¡ |
|
¯ |
|
1 2 |
¯ |
|
¯ |
|
1 2 |
¯ |
|
|||
¯ |
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
¯ |
1 2 1 |
¯ |
|
|
¯ |
2 2 |
¯ |
|
|
¯ |
¡ |
|
¯ |
|
¯ |
¡ |
|
¯ |
|
||
¡! ¡! = |
¯ |
1 2 2 |
¯ |
= i |
¯ |
|
|
¯ |
|
j |
¯ |
1 1 |
¯ |
+ k |
¯ |
1 2 |
¯ |
= |
||||
AB AC |
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
=¡2 i + 3 j ¡ 4 k :
1.3.3.Прямая линия на плоскости
8. Из точки A(6; 9) направлен луч под углом ¼=4 к прямой 2x ¡ 5y+ 4 = 0. Найти уравнение луча, отраженного от этой прямой.
9.Даны вершины треугольника: A(4; 6); B(¡4; 0); C(¡1; ¡4). Составить уравнения:
а) трех его сторон;
б) медианы, проведенной из вершины C; в) биссектрисы угла при вершине B;
г) высоты, опущенной из вершины A на сторону BC.
10.Найти расстояние от точки P до заданной прямой:
а) |
P (4; ¡2); 8x ¡ 15y ¡ 11 = 0; |
б) |
P (2; 7); 12x + 5y ¡ 7 = 0; |
11. Найти уравнения биссектрис углов между прямыми: x + 7y¡
6 = 0; 5x ¡ 5y + 1 = 0.
Задача. Какая из точек A(1; 3), B(¡2; ¡1) ближе к прямой 2x¡
4y + 7 = 0?
|
|
Решение. Нормальное уравнение прямой |
¡2x+4y¡7 |
= 0. Находим |
|||||||||||||||||||
|
|
p |
4+16 |
|
|||||||||||||||||||
отклонения точек A и B от прямой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
± |
|
= |
¡2 ¢ 1 + 4 ¢ 3 ¡ 7 |
= |
3 |
|
|
; ± |
|
= |
¡2 ¢ (¡2) + 4 ¢ (¡1) ¡ 7 |
= |
¡7 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
A |
|
p20 |
2p5 |
|
B |
|
|
p20 |
|
|
2p5 |
Очевидно, j±Aj < j±Bj , т.е. точка A ближе к прямой, чем точка B. При этом можно дополнительно отметить, что точка B и начало координат находятся по одну сторону от прямой, а точка A - по другую сторону.
9
Задача. Уравнения сторон треугольника: 2x¡y +3 = 0, x+5y ¡ 7 = 0, 3x ¡ 2y + 6 = 0. Найти уравнения высот треугольника.
Решение. Пучок, заданный 1-ой и 2-ой прямыми: (2x ¡ y + 3) +
¸(x + 5y ¡ 7) = 0 или (2 + ¸)x + (¡1 + 5¸)y + (3 ¡ 7¸) = 0. Различным значениям ¸ отвечают различные прямые пучка. Условие перпендикулярности искомой прямой к третьей стороне: (2 + ¸)3 + (¡1 + 5¸)(¡2) = 0. Отсюда ¸ = 8=7.
Ответ: 22x + 33y = 35 . Аналогично определяются две другие высоты.
1.3.4.Плоскость в пространстве
12. Вычислить расстояние
а) от точки (4; 3; ¡2) до плоскости 3x ¡ y + 5z + 1 = 0;
б) от точки (2; 0; ¡1=2) до плоскости 4x ¡ 4y + 2z + 17 = 0.
13.Известны координаты вершин тетраэдра: A(0; 0; 2), B(3; 0; 5), C(1; 1; 0), D(4; 1; 2). Составить уравнения его граней.
14.Через линию пересечения плоскостей 4x ¡ y + 3z ¡ 1 = 0 и x + 5y ¡ z + 2 = 0 провести плоскость, проходящую через точку
(1; 1; 1).
Задача. В пучке, определенном плоскостями 3x + y ¡ 2z ¡ 6 = 0 и x ¡ 2y + 5z ¡ 1 = 0, найти плоскости, перпендикулярные к этим основным плоскостям.
Решение. Уравнение пучка: (3x+y¡2z¡6)+¸(x¡2y+5z¡1) = 0 или (3 + ¸)x + (1 ¡ 2¸)y + (¡2 + 5¸)z ¡ 6 ¡ ¸ = 0. Условие перпендикулярности искомой плоскости к первой из основных плоскостей:
3(3 + ¸) + 1(1 ¡ 2¸) ¡ 2(¡2 + 5¸) = 0 =) ¸ = |
14 |
; |
|
||
9 |
и получаем ответ: 41x ¡ 19y + 52z = 68. Аналогично получается уравнение второй из искомых плоскостей: 33x + 4y ¡ 5z ¡ 63 = 0.
1.3.5.Прямая в пространстве. Прямая и плоскость
15. Даны точка A(1; ¡2; 4) и вектор L = (2; 3; ¡1). Написать уравнения прямой, проходящей через точку A и параллельной вектору L. Лежит ли точка Q(3; 1; 3) на этой прямой?
10