Ситникова, ИВ. Линейная алгебра. Практикум

а
11
а	21

Определитель третьего

а		а	а
12
а		11		22
	22

порядка

а12а21 .

вычисляют по формуле:

a		a		a
11		12		13
a	21	a	22	a	23	a a	22	a	33	a	a	23	a	31	a	a	a	32	a	a	22	a	31	a	a	a	33
						11				12					13		21		13					12		21
a	31	a	32	a	33

a a	23	a	32
11

.

При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников, которое символически можно записать следующим образом:



.

Минором М ij элемента aij определителя n-ого порядка (n>1) называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из определителя n-ого порядка вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца, на пересечении которых стоит данный элемент aij .

Алгебраическим дополнением элемента

aij

называется число

Aij

Определители более высоких порядков вычисляют, используя определителей.

Свойства определителей:

(

1)	i j	M ij .

свойства

1.Определитель не изменится, если строки заменить столбцами.

2.При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

3.Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

4.Определитель равен нулю в каждом из следующих случаев: а) если все элементы какой-либо строки (столбца) раны нулю; б) элементы двух строк (столбцов) пропорциональны.

5.Определитель не изменится, если к какой-либо строке (столбцу)

прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.

11

6. Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений всех

элементов какой-либо его строки (столбца) на их алгебраические

дополнения:

А аi1 Ai1 ai 2 Ai 2

ain Ain .

						Обратная матрица
Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных и
невырожденных матриц.
Матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен
нулю.
Обратной					к	матрице А называется матрица A 1 такая, что
A A	1	A	1	A	Е	, где Е – единичная матрица того же порядка, что и А.

Обратная матрица вычисляется по формуле:

				А		A
					11	21
А			1		А	A
	1				12	22
			А
					А	А
					1n	2n

Аn1 An2

Ann

     

.

Упражнения 2

	2.1. Вычислить определители второго порядка: 1)														3 5			; 2)		1	2
																				2
															1 2						3
3)	x 1				1	; 4)	sin	cos	.
	x	3	x	2	x 1		sin	cos
									1 1 2					1					1	2 3
												0 1
	2. 2. Вычислить определители: 1) 3 1										1 ; 2)	1	0	1		; 3)			1	1	2 .
									2	1	4	1	1	0					0	0	2

2 1

3 2

;

1	x	x	1	1	1
2.3. Решить уравнения: 1) x	1	x	0 ; 2) 1	1 x	1 0 .
x	x	2	1	1	2 x

	3	5	7	2		1	2	3	0
2.4. Вычислить определители 4-го порядка: 1)	1	2	3	4	; 2)	0	1	2	3	;
	2 3		3	2		3	0	1	2
	1	3	5	4		2	3	0	1

12

3)

2	3	1
4 1		1
0	5	2
2	2	2

2 4 1 1

; 4)

2	1	1	1
1	3	3	3
0	1 2		2
4 2		2 2

; 5)

2	1	4
5	0	1
2	1	6
1	5	1

3 0 3 2

.

2)

2.5. Найти матрицу, обратную данной. Сделать проверку: 1)

a b		2		3	1				2	2	1
	; 3)		3	6	2		; 4)		2	1	2 .
b a			1	2	1				1	2	2

	5
	8

4
6

;

Домашнее задание № 2

					1	2
1. Вычислить определители: 1)					4	5
					7	8
	x	2	4	9
2. Решить уравнение	x		2	3 0 .
	1		1	1

3 6 9

; 2)

1	1
1	2
1	3

1 3 6

; 3)

	1	3	1
	5	8	2
	4 5		3
	7	8	4

2 72 5

.

3. Найти обратную матрицу, сделать проверку: 1)

1 A 1

3
7

2 1 1 ; 2) A 5 2 4 .

7 3 4

3. Ранг матрицы. Матричные уравнения.

Задачи с экономическим содержанием

Рассмотрим матрицу размера m n. Выделим в ней k строк и k столбцов

( k min(m;n) ). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называют минорами этой матрицы.

13

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначают rangA или r( A) .

Справедлива теорема: ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Перечислим элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы.

1)Транспонирование матрицы.

2)Отбрасывание нулевой строки (столбца).

3)Умножение всех элементов строки (столбца) на число, не равное нулю.

4)Изменение порядка строк (столбцов).

5)Прибавление к каждому элементу какой-либо строки (столбца)

соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое

число.
Для нахождения	ранга матрицы А	ее		с	помощью элементарных
		а11			a12	a1r	a1n
						a2 r	a2 n
преобразований приводят к ступенчатому виду:				0	a22			.
				0	0	arr	arn
Ранг матрицы А равен числу ненулевых строк полученной ступенчатой
матрицы.
Обратная матрица	позволяет найти	решения			следующих матричных

уравнений:

AX

B

и

XA

B

.

и

Решением этих уравнений являются соответственно матрицы			X A	1	B
X BA	1	, если матрица А имеет обратную и умножение определено.

Упражнения 3

1 3		0	3	4	5 1 7			2 1 11				2
3.1. Найти ранг матриц: 1) 2	1 1 ; 2)		8		2 1	15			1	0	4	1
				7			; 3)							;
				1 8 3								5
3	4 1		2			0		11 4 56
									2	1	5	6

14

	2		1	1	2
								1		a	1	2
4)		1	2	0	3		; 5)			1				.
		2	3	1	5				2		a	5
											6
									1	10		1
			1 2
	1				1
		3.2. Найти матрицу Х из следующих уравнений: 1)													1		2		1		3
																			X
																3	4			1	2

01

;

							2	3			3 1		2			2		1 2						1 2	1				4 .
2)	7		5				3 0			; 3)		1 0	1		X		1	1	3		; 4)	X		3 1	2		2 1
	X
																												1 2
		4	3				2	4				4 3	0				1	1	4					1 3	2				3

3.3. Предприятие производит 3 типа продукции, объемы выпуска которой заданы матрицей А. Цена реализации выпускаемой продукции по регионам задана матрицей В. Найти С – матрицу выручки по регионам, если

		2		3	1
А (100	200 100);	B 1		3	2
			2	4	2

5
2
4

.

3.4. Предприятие производит 3 типа продукции, используя 4 вида ресурсов.

Норма затрат ресурсов задана матрицей затрат А. Пусть за определенный промежуток времени предприятие выпустило количество продукции каждого типа, заданное матрицей Х. Стоимость ресурсов задана матрицей Р.

Определить: а) матрицу S – полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени; б) полную стоимость всех затраченных за данный промежуток времени ресурсов. Дано:

			2	5	3
			0	1	8
	A						;
			1	3	1
			2	2
					3

100
X	80		;	Р (10 20 10 10).
110

Домашнее задание №3

							1		3	5 1
2	1	4	5						1 3
							2					4
	0	1	2			2)
1. Найти ранг матриц: 1) 1				;				5	1 1			7	.
	2	4	0
1								7	7	9		1
2. Решить матричные уравнения: 1)				1		2					3	5			;
									X
					3						5	9
						4

15

2)

	1		1	1		1		1
	X	2	1	0			4	3
		1	1	1			1	2

3
2
5

.

3. Используя условие задачи 3.4, определить полные затраты ресурсов 3-х

видов на производство месячной продукции и стоимость всех затраченных ресурсов, если заданы матрицы: А –нормы затрат ресурсов, Х – объем выпуска продукции и Р – стоимости ресурсов.

	2	1
				;
A	2	2
	3	1

X

	200
	300

;

P 50 100

20

.

4. Системы линейных уравнений

Системой линейных уравнений (СЛУ) называется система вида

а11х1 а12 х2 а1n xn b1
						а2n xn b2
а21х1 а22 х2
											(*)
.............................................
a	m1	x a	m2	x	2	a	mn	x	n	b
		1								m

	Решением	СЛУ	называется	такая	совокупность	n	чисел
(x1	1 ; x2 2 ; xn	n ) ,	при подстановке которых каждое уравнение системы
обращается в тождество.
	Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно

решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы называются равносильными, если они имеют одно и тоже множество решений.

16

Матрица, составленная из коэффициентов СЛУ, называется матрицей

	а		a
		11	12
системы	а21		a22
	А
		аm1	am2

неизвестных, матрица

  

	a
	1n
	a2n			.
	amn
		b
				1
	B	b2
		bn

	х
		1
Матрица		х	2		называется столбцом
	Х
		хn

называется столбцом свободных членов

системы.

С помощью матричной форме

введенных обозначений систему (*) можно записать в

AX B .

Методы решения СЛУ Матричный способ решения СЛУ

Если матрица СЛУ квадратная и ее определитель не равен нулю, то решение СЛУ может быть найдено с помощью обратной матрицы:

A	1	АX A	1	1	B Х
				X EX A

А	1	В

.

Метод Крамера решения СЛУ

Пусть в СЛУ m n и A 0

. Обозначим:

А

определитель матрицы А;

1 определитель, полученный заменой первого столбца

определителя

столбцом свободных членов;

2 определитель, полученный заменой второго

столбца определителя

столбцом свободных членов и т.д.;

n определитель,

полученный заменой n–го

столбца

определителя

столбцом свободных

членов.

Тогда единственное решение системы можно найти по формулам Крамера:

x

1 ;

х

2 ; ;

х

n

(

xi

i

, i 1, 2,..., n

)

2

n

1

Если 0

и

все

определители

i

тоже

равны 0,

то СЛУ имеет

бесконечное множество решений.

Если 0

и хотя бы один из определителей i

отличен от нуля, то СЛУ

несовместна.

17

Метод Гаусса решения СЛУ

Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.

Суть метода в том, что с помощью элементарных преобразований СЛУ (*)

приводят к ступенчатому виду.

a

х

а

х

2

а

x

n

b

11

1

12

1n

1

a

(2)

х

а

(2)

x

b

(2)

21

2

2n

n

2

(**)

..........

.........

.........

.........

......

a

r

х

а

(r )

x

b

(r )

rr

r

rn

n

r

............................................

a (n) x

b(n)

n

mn

m

Переход от системы (*) к равносильной ей системе (**) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из системы (**) – обратным ходом.

Преобразования Гаусса удобно проводить в матричной форме, преобразуя

а

11

расширенную матрицу системы: А1 а21

аm1

a12 a1n

a22 a2 n

am 2 amn

b

1

b2 .

bn

Вопрос о разрешимости системы (*) в общем виде рассматривается в следующей теореме.

Теорема Кронекера-Капелли. СЛУ совместна тогда и только тогда,

когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы r( A) r( A1 ) r .

Для совместных СЛУ верны следующие теоремы.

Теорема 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, т.е. r n , то система (*) имеет единственное решение.

Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, т.е. r n , то система (*) неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

18

Пусть	r n . В этом случае переменные x1			, x2 ,...,xr называют базисными,
если определитель		матрицы	коэффициентов	при них	отличен от	нуля.
Остальные	n r	переменные	xr 1 , , xn называют		свободными.	Для

нахождения решения СЛУ все базисные переменные выражают через свободные. Это решение называют общим решением СЛУ.

Упражнения 4

4.1. Решить систему матричным методом и по правилу Крамера:

	х		х	2	х		3	6				4х		2х	2	х	3	1
		1											1
1)			2х2 х3 9								; 2)			3х2		2х3 2 .
	х1											5х1
		х	4х			2х				3				2х		3х			0
					2				3			3х			2			3
		1											1
																				3х		х	2	3х			3		2
																					1
4.2. Решить систему методом Гаусса:																						2х2			2х3					1.
																				5х1
																					2х	2х			3х					1
																								2					3
																					1
																								3х				4х				2		11
																									1
4.3. Решить систему любым из трех методов:																										2			6х				3	28
																								5х
																									х	2х							7
																															3
																									1

.

4.4. Исследовать совместность системы и найти ее общее решение:

	х		2х		2	3х		3		х		4	9
		1
		4х		3х			х			2х				5
						2		3					4
1)		1
		2х		5х			3х				х			16
						2			3				4
		1
	4х			6х		2	2х			3	х		4	5
		1

; 2)

	х		х		2	3х			3	х				4	6
		1
				5х				7х					х					8
	7х						2					3				4
		1
		х	8х				18х						5х					6
						2					3						4
		1

	х		х		2	3х		3	4х			4	1
		1
3)				2х2 2х3							3х4			2
	2х1
		х		х			13х				18х				1
						2				3				4
			1

;

4)

	2		х	х	2	4х		3	х	4
			1
		х	2х			3х			х
					2			3		4
		1
		2	х	х		4х			х
					2			3		4
			1
				2х			х		х
	3х					2		3		4
			1

  

91 11 9

;

		6х		4х
			1	2
	5)		1	2
		3х		2х
			х	6х
		9
			1	2
				2х
		3х
			1	2

  

5х			2х		3х			1
	3		4			5
2	х		х	7
	3		4
х		3х		2х			2
3			4		5
4	х		х	2х			3
	3		4		5

.

4.5. Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 12 млн руб. На текущий год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 70%, а второго на

40%. В результате суммарная прибыль должна вырасти в 1,5 раза. Какова величина прибыли от отделений в минувшем году и в этом году?

19

4.6. Швейная фабрика в течение трех дней производила костюмы, плащи и куртки. Объемы выпуска продукции и затраты на производство за эти дни заданы в таблице (в у.е.).

День	Костюмы	Плащи	Куртки	Затраты
Первый	50	10	30	176
Второй	35	25	20	168
Третий	40	20	30	184

Найти себестоимость единицы продукции каждого вида.

4.7. Дана матрица прямых затрат		0,1	0,5
	A			. Найти матрицу Х для
		0,3	0,2

обеспечения конечной продукции

Y

	400
	500

.

4.8. Работа системы, состоящей из двух отраслей, в течение некоторого периода характеризуется следующими данными (усл. ден. ед.):

Отрасль	1	2	Валовый продукт
1	100	160	500
2	275	40	400

Вычислить матрицу прямых затрат.

4.9.Имеются данные о работе системы двух отраслей в прошлом периоде

иплан выпуска продукции У1 в будущем периоде:

Отрасль	1	2	Валовый продукт	План У1
1	80	120	500	350
2	70	30	300	300

Найти валовый продукт в плановом периоде, обеспечивающий выпуск продукции У1.

20