- •Функция нескольких переменных
- •Дифференциальные уравнения
- •Методические рекомендации и варианты контрольных работ
- •Брест 2003
- •Методические указания к выполнению контрольной работы
- •Вопросы по разделам
- •Интегральное исчисление функции одной переменной» и «Дифференциальные уравнения»
- •Вариант
- •Интегральное исчисление функции одной переменной"
- •Варианты заданий контрольной работы № 3
- •Варианты заданий контрольной работы № 4
- •Решение типового варианта контрольной работы № 3
- •Решение типового варианта контрольной работы № 4
Министерство образования Республики Беларусь
Брестский государственный технический университет
Кафедра высшей математики
Функция нескольких переменных
Интегральное исчисление функции одной переменной
Дифференциальные уравнения
Методические рекомендации и варианты контрольных работ
по разделам «Функция нескольких переменных.
Интегральное исчисление функции одной переменной» и «Дифференциальные уравнения»
для студентов технических специальностей заочной формы обучения
Брест 2003
УДК 517.9
В настоящей методической разработке приведены варианты контрольных заданий по разделам «Функция нескольких переменных. Интегральное исчисление функции одной переменной» и «Дифференциальные уравнения» общего курса высшей математики для студентов технических специальностей заочной формы обучения. Даны некоторые методические рекомендации, полезные для успешного выполнения контрольных работ.
Составители: А.В. Санюкевич, к.ф.-м.н., доцент Л.Т. Мороз, доцент А.В. Дворниченко, ассистент
Рецензент: Н.Н.Сендер, заведующий кафедрой высшей математики Брестского государственного университета, канд. физ.-мат. наук, доцент
© Брестский государственный политехнический университет 2003
2
Методические указания к выполнению контрольной работы
В соответствии с учебным планом студенты-заочники I курса всех технических специальностей во II семестре выполняют две письменные контрольные работы по курсу «Высшая математика».
Задания в контрольных работах составлены в тридцати вариантах. Выбор варианта определяется двумя последними цифрами номера зачетной книжки студента. Приступая к выполнению контрольной работы, необходимо ознакомиться с соответствующими разделами программы курса и методическими указаниями, изучить литературу. Далее следует предварительно наметить схему решения задачи.
Требования к выполнению контрольной работы.
1.Контрольная работа должна быть выполнена и представлена в установленные сроки.
2.В начале работы должен быть указан номер варианта работы.
3.Задачи нужно решать в том порядке, в каком они даны в задании.
4.Перед решением задачи должно быть полностью приведено ее условие. Необходимо отделить решение задачи от ее условия некоторым интервалом. В том случае, если задача имеет общую формулировку, ее условие следует переписывать, заменяя общие данные конкретными, соответствующими номеру варианта.
5.Решение задачи следует сопровождать необходимыми формулами, развернутыми расчетами и краткими пояснениями. Задачи, к которым даны ответы без развернутых расчетов, пояснений и кратких выводов, будут считаться нерешенными.
6.Выполненная контрольная работа должна быть оформлена аккуратно, написана разборчиво, чисто, без помарок и зачеркиваний. Запрещается произвольно сокращать слова (допускаются лишь общепринятые сокращения).
7.В конце работы следует привести список использованной литературы (автор, название учебника, главы, параграфа, страницы). Работа должна быть подписана студентом с указанием даты ее выполнения.
8.При удовлетворительном выполнении работа оценивается “допущена к защите”. К собеседованию студент обязан учесть все замечания рецензента и, не переписывая работу, внести в нее необходимые исправления и дополнения. После успешного прохождения собеседования студент получает зачет по работе и допускается к экзамену. Студенты, не получившие зачета по предусмотренным учебным планом работам, к экзаменам не допускаются.
На обложку контрольной работы необходимо наклеить бланк установленного образца и разборчиво заполнить все имеющиеся там реквизиты, отсутствие которых может задержать отправку проверенной работы. Указывайте индекс вашего предприятия связи, разборчиво пишите свою фамилию.
Если студент не может самостоятельно выполнить контрольную работу или какую-то ее часть, следует обратиться к ведущему преподавателю за консультацией. В письменном запросе надо точно указать, что именно непонятно и какая литература использована при написании работы.
3
Вопросы по разделам «Функция нескольких переменных.
Интегральное исчисление функции одной переменной» и «Дифференциальные уравнения»
1.Функции нескольких переменных (ФНП). Определение, способы задания и геометрическая интерпретация ФНП.
2.Предел и непрерывность ФНП. Частные приращения и частные производные.
3.Полное приращение ФНП и дифференцируемость ФНП. Полный дифференциал ФНП.
4.Достаточные условия дифференцируемости ФНП. Приложение полного дифференциала в приближенных вычислениях.
5.Производная сложной функции. Производные неявной функции.
6.Частные производные и дифференциалы высших порядков.
7.Производная по направлению. Градиент и его свойства. Линии и поверхности уровня.
8.Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
9.Экстремум ФНП. Необходимые и достаточные условия экстремума ФНП.
10.Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области. Условный экстремум ФНП.
11.Метод множителей Лагранжа.
12.Метод наименьших квадратов.
13.Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование.
14.Методы интегрирования в неопределенном интеграле: замена переменной, интегрирование по частям.
15.Разложение рациональных дробей на простейшие. Интегрирование простейших рациональных дробей. Общая схема интегрирования рациональных дробей.
16.Интегрирование некоторых иррациональных выражений.
17.Интегрирование чётных и нечётных степеней и произведений тригонометрических функций. Интегрирование рациональных тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка.
18.Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.
19.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла. Геометрический и механический смыслы определенного интеграла.
20.Свойства определенного интеграла.
4
21.Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Барроу. Формула Ньютона-Лейбница.
22.Методы интегрирования определенного интеграла: метод подстановки (замены переменной); формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
23.Интегрирование четных, нечетных и периодических функций.
24.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Теоремы сравнения.
25.Несобственные интегралы от неограниченных функций. Теоремы сравнения.
26.Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей в декартовых и полярных координатах; вычисление объемов тел; вычисление длины кривой.
27.Механические приложения определенного интеграла: масса плоской пластины; статические моменты плоской фигуры; центр тяжести плоской фигуры.
28.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные понятия ДУ.
29.Задача Коши для ДУ первого порядка. Теорема существования и единственности решения.
30.Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешимые в квадратурах: ДУ с разделяющимися переменными; однородные ДУ; линейные ДУ первого порядка; уравнение Бернулли.
31.ДУ высших порядков. Общие понятия. Задача Коши. Теорема существования и единственности. Понятие краевой задачи.
32.Уравнения, допускающие понижение порядка.
33.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков, их свойства.
34.Структура общего решения ЛОДУ. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами.
35.Линейные неоднородные ДУ (ЛНДУ). Структура общего решения ЛНДУ.
36.ЛНДУ с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.
37.Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
38.Системы дифференциальных уравнений. Определение, общее решение, задача Коши.
39.Нормальная система дифференциальных уравнений. Метод исключения.
40.Линейные нормальные системы ДУ с постоянными коэффициентами.
5
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
"ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ"
Задание 1. По данной функции z=f(x,y) вычислить выражение F.
Варианты 01–06:
1.01z = x x2 + y2 ;
1.04z = arctg(2x − y) ;
Варианты 07–12:
1.07 |
z = |
y |
+sin |
y |
; |
||
|
|
||||||
|
|
|
x |
x |
|||
1.10 |
z = y cos x − xsin y ; |
||||||
Варианты 13–18: |
|
|
|||||
1.13 |
z = |
x + y |
; |
|
|
||
|
|
|
|||||
|
|
|
y |
|
|
||
1.16 |
z = xsin(x + y) ; |
Варианты 19–24:
1.19 z = y x2 − y2 ; 1.22 z = x + cos2 y ;
Варианты 25–30:
1.25 |
z = yex + x |
y ; |
||||
1.28 |
z = |
x |
+ln |
y |
; |
|
y |
x |
|||||
|
|
|
|
F = ∂2 z −2 ∂2 z + 3 ∂z .
∂x2 ∂x∂y ∂y
1.02 |
z = ex cos y + ey sin x ; |
1.05 |
z = arcsin(x + y) ; |
F = ∂2 z + 2 ∂2 z − ∂z . ∂x2 ∂y∂x ∂x
1.08 z = xxy− y ;
1.11z = 2cos2 (x − y) ;
F = 2 |
∂2 z |
+ |
∂2 z |
−4 |
∂z |
. |
||||
∂x2 |
∂y2 |
∂y |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
1.14 |
z = |
x + y |
; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
y − x |
|
|
|
||||
1.17 |
z = (x + y)sin(xy) ; |
|
F = 2 ∂2 z + ∂2 z − ∂z ∂z . ∂x∂y ∂y2 ∂x ∂y
1.20 |
z = y x2 +1 ; |
1.23 |
z = cos y + xsin y ; |
F = ∂2 z +4 ∂2 z +4 ∂2 z .
∂x2 ∂x∂y ∂y2
1.26 z = ex cos y − ysin x ;
1.29 |
z = |
x |
+sin |
y |
; |
|
y |
x |
|||||
|
|
|
|
1.03 |
z = exy + xy ; |
1.06 |
z =sin x cos y ; |
1.09 |
z = |
x |
ln |
y |
; |
|
y |
x |
|||||
|
|
|
|
|||
1.12 |
z = y ln x + |
y ; |
1.15 |
z = |
x + y |
; |
|
yx |
||||
|
|
|
||
1.18 |
z = arccos( y − x) ; |
1.21 z = y x2 + y2 ;
1.24z = 2sin2 (x + y) ;
1.27 |
z = y cos(x + y) ; |
||
1.30 |
z = x y +cos |
y |
. |
|
|||
|
|
x |
Задание 2. Найти экстремум функции двух переменных z = ax2 +bxy +cy2 + dx + ky + m .
№ |
a |
|
b |
|
с |
|
d |
|
k |
|
m |
№ |
a |
|
b |
|
c |
|
d |
|
k |
|
m |
варианта |
|
|
|
|
|
варианта |
|
|
|
|
|
||||||||||||
2.1 |
1 |
|
2 |
|
4 |
|
–2 |
|
4 |
|
0 |
2.2 |
–2 |
|
–4 |
|
–5 |
|
–2 |
|
–2 |
|
–2 |
2.3 |
–3 |
2 |
|
–2 |
3 |
6 |
|
–7 |
2.4 |
4 |
|
–3 |
1 |
3 |
5 |
2 |
6
№ |
a |
b |
|
|
с |
|
|
|
d |
|
k |
m |
|
№ |
a |
b |
c |
d |
k |
m |
|||
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
варианта |
|||||||||||||||
2.5 |
5 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
1 |
4 |
|
2.6 |
–6 |
2 |
–3 |
–4 |
–5 |
–4 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2.7 |
–7 |
–1 |
|
|
–2 |
|
|
–5 |
–9 |
–5 |
|
2.8 |
8 |
–8 |
3 |
4 |
4 |
0 |
|||||
2.9 |
9 |
10 |
|
|
3 |
|
|
|
8 |
|
–1 |
7 |
|
2.10 |
–10 |
–6 |
–1 |
–6 |
6 |
0 |
|||
2.11 |
–1 |
–5 |
|
|
–7 |
|
|
3 |
|
6 |
–7 |
|
2.12 |
2 |
6 |
5 |
–1 |
2 |
4 |
||||
2.13 |
3 |
6 |
|
|
4 |
|
|
|
–3 |
–6 |
4 |
|
2.14 |
–4 |
–10 |
–7 |
–3 |
6 |
–2 |
||||
2.15 |
–5 |
–14 |
|
–10 |
|
|
–2 |
1 |
0 |
|
2.16 |
6 |
–10 |
5 |
4 |
–6 |
7 |
||||||
2.17 |
7 |
9 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
–6 |
8 |
|
2.18 |
–8 |
–12 |
–5 |
4 |
1 |
0 |
|||
2.19 |
–9 |
–1 |
|
|
–1 |
|
|
–4 |
6 |
3 |
|
2.20 |
10 |
8 |
2 |
9 |
3 |
–5 |
|||||
2.21 |
1 |
–4 |
|
|
5 |
|
|
|
–3 |
1 |
5 |
|
2.22 |
–2 |
–8 |
–9 |
–8 |
6 |
5 |
||||
2.23 |
–3 |
–10 |
|
–9 |
|
|
2 |
|
6 |
2 |
|
2.24 |
4 |
8 |
2 |
–2 |
–4 |
6 |
|||||
2.25 |
5 |
8 |
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
8 |
7 |
|
2.26 |
–6 |
4 |
–1 |
2 |
–4 |
2 |
|||
2.27 |
–7 |
9 |
|
|
–3 |
|
|
9 |
|
–12 |
–4 |
|
2.28 |
8 |
7 |
2 |
–2 |
4 |
2 |
||||
2.29 |
9 |
4 |
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
–1 |
6 |
|
2.30 |
–10 –14 |
–5 |
3 |
1 |
–8 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
Задание 3. Даны функция u=f(x,y,z), точка A(x0;y0;z0) и вектор a . Найти: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
1) grad u в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора a . |
|
||||||||||||||||||||||
|
3.01 u = x3 − xyz + |
3z2 x + |
|
|
|
→ |
= (−3;12;−4) ; |
|
|
||||||||||||||
|
2y2 z , A(1;0;1) , |
a |
|
|
|||||||||||||||||||
|
3.02 u = |
|
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
−3z2 , A(3;4;2) , a = (3;4;12) ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3.03 u = 3x2 y2 − yz2 +3xyz , |
|
→ |
= (4;2;−4) ; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
A(1;2;−1) , a |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.04 u = xy − x2 z2 + y2 + z , A(4;−1;2) , a = (2;1;−2) ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3.05 u = |
|
|
xz |
|
|
, |
|
A(5;3;1) , |
a = (−8;4;8) ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y |
|
|
|
|
|
A(1;1;1) , a = (2;2;1) ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3.06 u = zy + zx , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.07 u = |
|
|
|
|
|
|
|
, |
A(6;8;10) , a = (6;2;3) ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.08 u = x2 −3xyz + y2 , A(2;1;6) , a = (−6;−3;−2) ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3.09 u = z |
x2 + y2 |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
, A(8;6;1) , a = (2;−3;6) ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3.10 u = 4 + x3 + z2 − xyz , |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
A(0;2;1) , a = (1;−2;2) ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
u = |
|
|
xy |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.11 |
|
|
|
|
|
, |
|
A(0;2;1) , a |
= (3;2;6) ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
+ z2 |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3.12 u = x2 y + z2 − |
5xz + yx , |
|
|
= (−1;2; |
−2) ; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
A(10;2;−4) , |
a |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3.13 u = 2 y3 − xz + |
3z2 x + 2 y2 z , A(2;1;1) , |
→ |
= (−3;2;−6) ; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
7
3.14 |
u = |
|
|
x2 + z2 |
+ 5 y2 , |
|
→ |
= (3;4;12) ; |
|||||||||||
|
|
A(3;1;4) , a |
|||||||||||||||||
3.15 |
u = |
3x2 − |
5xy2 + yz2 + xyz , A(2;2;−1) , |
→ |
|||||||||||||||
a = (−4;4;−2) ; |
|||||||||||||||||||
3.16 |
u = |
3xy − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
= (4;4;−2) ; |
|||||
2x2 z + y2 + z2 , A(4;−4;2) , a |
|||||||||||||||||||
3.17 |
u = |
|
|
xyz |
|
|
|
|
, |
A(2;0;1) , a = (−24;12;8) ; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
3.18 |
u = |
|
x −2 y |
|
|
|
|
A(1;2;1) , a = (2;2;1) ; |
|
||||||||||
|
y + zx , |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
zx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
u = |
z |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
||||||
3.19 |
|
|
|
|
|
|
, |
A(3;2;10) , a = (−6;−3;2) ; |
|||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|||
3.20 |
u = |
2x2 − |
4xyz + zy2 |
, A(2;3;6) , |
|
||||||||||||||
a = (2;−3;−6) ; |
|||||||||||||||||||
3.21 |
u = xz2 + |
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 , |
|
→ |
= (4;−2;4) ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
A(3;4;1) , a |
|||||||||||||
3.22 |
u = |
3z + yx3 + xz2 − zy2 , |
|
→ |
|
||||||||||||||
A(1;−1;1) , a = (−2;−2;1) ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
2x |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
||
3.23 |
u = |
|
|
|
|
|
, A(3;1;2) , a |
= (12;−4;6) ; |
|
||||||||||
|
y + z2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.24 |
u = x2 y + y2 z + z2 x −4xyz , A(3;2;−1) , |
→ |
|||||||||||||||||
a = (1;−2;−2) ; |
|||||||||||||||||||
3.25 |
u = |
3x2 y2 −2 y2 z2 + x2 z2 |
|
→ |
= (3;2;6) ; |
||||||||||||||
, A(2;2;2) , a |
|||||||||||||||||||
3.26 |
u = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
2xy − x2 z2 + zy2 − 2xz , A(−3;−1;2) , a = (2;1;2) ; |
|||||||||||||||||||
3.27 |
u = |
|
|
|
xyz |
|
|
|
|
|
|
, A(1;1;1) , |
a = (−2;1;2) ; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
x + y + z |
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.28 |
u = zyx − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
= (2;3;6) ; |
||||||
2x2 − 2 y2 + 2xy , A(2;1;5) , a |
|||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
+ z |
2 |
|
|
|
|
→ |
|
|
||||||
3.29 |
u = |
|
|
|
|
|
, |
A(3;2;2) , a = (−4;2;4) ; |
|
||||||||||
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.30 |
u = x2 + 5xyz + 2z2 , |
|
→ |
|
|||||||||||||||
A(3;7;2) , a = (−3;6;−2) . |
|||||||||||||||||||
Задание 4. При |
|
|
|
изучении |
функциональной |
зависимости y = f (x) |
произведен ряд изменений величины x и получены соответствующие значения величины y. Результаты измерений занесены в таблицу:
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Y |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
y5 |
y6 |
y7 |
Предполагая, что теоретически зависимость между значениями признаков выражается линейной функцией y=ax+b, по методу наименьших квадратов найти параметры a и b. Каково значение признака Y при x=4,25?
Вариант |
X |
1 |
2,2 |
3,4 |
4,6 |
5,8 |
7 |
8,2 |
9,4 |
4.01 |
Y |
2,906 |
4,415 |
4,865 |
4,922 |
6,797 |
8,655 |
10,213 |
10,459 |
8
|
Вариант |
|
X |
|
1 |
|
|
2,2 |
|
3,4 |
|
|
4,6 |
|
|
5,8 |
|
|
7 |
|
|
8,2 |
9,4 |
|
||
|
4.02 |
|
|
y |
|
5,093 |
|
7,096 |
10,116 |
9,362 |
12,695 |
16,964 |
|
20,013 |
20,832 |
|
||||||||||
|
4.03 |
|
|
y |
|
8,109 |
|
10,872 |
15,515 |
16,891 |
21,106 |
25,398 |
28,406 |
31,833 |
|
|||||||||||
|
4.04 |
|
|
y |
|
-1,272 |
|
5,470 |
|
8,230 |
|
12,992 |
|
16,886 |
|
22,901 |
|
27,614 |
30,145 |
|
||||||
|
4.05 |
|
|
y |
|
-0,798 |
|
4,683 |
|
10,667 |
|
15,921 |
|
20,002 |
|
30,021 |
|
36,400 |
40,593 |
|
||||||
|
4.06 |
|
|
y |
|
-1,989 |
|
6,912 |
|
14,558 |
|
17,852 |
|
26,124 |
|
35,992 |
|
41,764 |
47,705 |
|
||||||
|
4.07 |
|
|
y |
|
10,900 |
|
20,914 |
27,971 |
34,477 |
44,058 |
53,829 |
64,470 |
67,831 |
|
|||||||||||
|
4.08 |
|
|
y |
|
11,175 |
|
20,484 |
29,693 |
38,841 |
47,239 |
60,096 |
68,877 |
75,256 |
|
|||||||||||
|
4.09 |
|
|
y |
|
12,849 |
|
21,971 |
32,778 |
43,196 |
52,650 |
65,492 |
77,294 |
85,744 |
|
|||||||||||
|
4.10 |
|
|
y |
|
5,609 |
|
16,241 |
28,410 |
38,782 |
51,803 |
64,031 |
76,158 |
87,720 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
|
x |
|
2 |
|
3,5 |
5 |
|
6,5 |
|
8 |
|
9,5 |
|
11 |
12,5 |
|
|||||||||
4.11 |
|
y |
|
3,796 |
|
5,142 |
7,592 |
|
5,543 |
|
9,547 |
|
12,496 |
|
13,438 |
12,780 |
|
|||||||||
4.12 |
|
y |
|
5,061 |
|
5,218 |
10,349 |
|
9,584 |
|
11,846 |
|
16,632 |
|
19,856 |
19,931 |
|
|||||||||
4.13 |
|
y |
|
10,104 |
|
15,263 |
19,291 |
|
22,813 |
|
27,485 |
|
33,266 |
|
37,904 |
40,142 |
|
|||||||||
4.14 |
|
y |
|
2,920 |
|
8,615 |
16,209 |
|
18,335 |
|
23,751 |
|
35,405 |
|
39,930 |
42,043 |
|
|||||||||
4.15 |
|
y |
|
19,495 |
|
25,030 |
32,133 |
|
39,374 |
|
45,191 |
|
55,223 |
|
62,080 |
69,256 |
|
|||||||||
4.16 |
|
y |
|
20,802 |
|
30,937 |
38,377 |
|
46,370 |
|
55,764 |
|
65,629 |
|
77,226 |
82,777 |
|
|||||||||
4.17 |
|
y |
|
11,420 |
|
21,356 |
31,541 |
|
41,254 |
|
50,768 |
|
63,972 |
|
76,055 |
81,342 |
|
|||||||||
4.18 |
|
y |
|
21,532 |
|
33,117 |
45,129 |
|
56,794 |
|
67,037 |
|
81,250 |
|
95,260 |
104,653 |
||||||||||
4.19 |
|
y |
|
30,366 |
|
43,690 |
57,803 |
|
69,708 |
|
83,782 |
|
98,642 |
|
111,295 |
124,497 |
||||||||||
4.20 |
|
y |
|
10,883 |
|
25,112 |
39,727 |
|
51,910 |
|
66,846 |
|
84,850 |
|
100,574 |
112,995 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Вариант |
|
x |
|
3 |
|
|
3,5 |
|
4 |
|
|
4,5 |
|
|
5 |
|
|
5,5 |
|
|
6 |
6,5 |
|
||
|
4.21 |
|
|
y |
|
6,220 |
|
|
5,826 |
|
6,231 |
|
|
6,362 |
|
|
7,008 |
|
|
8,207 |
|
|
9,572 |
8,586 |
|
4.22y 9,704 11,856 11,712 12,304 12,975 15,363 16,184 16,225
4.23 |
y 5,619 5,413 7,485 8,107 9,717 12,403 14,747 13,622 |
4.24y 19,618 23,547 23,356 24,241 24,674 29,510 31,222 29,816
4.25y 24,897 27,678 29,951 31,051 31,367 37,280 39,335 41,304
4.26y 11,390 14,174 16,637 18,644 20,332 25,796 29,155 31,466
4.27y 9,855 12,715 17,049 19,398 21,684 28,202 30,252 33,293
4.28y 26,918 31,557 37,362 38,122 42,272 47,036 50,988 54,258
4.29y 32,533 35,897 40,845 43,174 45,774 53,413 60,508 61,255
4.30y 26,281 30,450 37,320 38,905 43,721 52,873 56,549 59,396
Задание 5. Найти |
неопределенные интегралы (результаты проверить |
|||||||||||||||||||||
дифференцированием). |
(2x +1)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||
|
6 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.01а) ∫ |
|
x − x |
|
|
dx ; |
б) ∫ |
|
; |
в) ∫x2 cos xdx ; |
г) ∫ |
x |
5 |
dx ; |
|||||||||
|
|
|
(2x +1)2 + 3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
− x |
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||
5.02а) ∫ |
8x −2x5 |
б) ∫ |
1 −e2tgx |
|
в) ∫2x |
2 |
e |
2 x |
dx ; |
г) ∫ |
2x −1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
cos2 x dx ; |
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ 2x |
|||||||||||
5.03а) ∫ |
x |
2 |
− |
3 |
x |
|
|
б) ∫ |
ln(2x + 3) + 3 |
dx ;в) ∫x arctg3xdx ; |
г) ∫ |
3x +1 |
||||||||||
|
|
dx ; |
|
|
|
|
dx ; |
|||||||||||||||
|
|
|
2x + 3 |
|
x2 |
−3x |
||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
9
5.04а) ∫ |
3 |
x − |
2x3 |
|
|
dx ; |
б) ∫sincos3 xx dx ; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5.05а) ∫2x |
3 |
|
3 |
x dx ; |
|
2 +arcsin x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
x− |
|
б) ∫ |
|
|
1 − x2 |
|
|
dx ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
ln |
3 |
(x |
+1) |
−1 |
|
|||||||
5.06а) ∫ |
|
|
x |
+5x |
|
|
|
|
|
|
;б) ∫ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
x +1 |
|
|
|
dx ; |
|||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.07а) ∫3 |
|
|
x3x+ x4 |
|
dx ;б) ∫xe3 x2 −5dx ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
5.08а) ∫ |
x3 + |
|
x5 |
|
|
dx ; |
б) ∫esin x−2 cos xdx ; |
||||||||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5.09а) ∫ |
x |
2 |
+ |
|
x |
3 |
|
|
dx ; |
б) ∫ |
ln(3x +5) |
|
dx ; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(3x +5) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5.10а) ∫ |
x2 −5 |
dx |
; |
|
|
б) ∫xe1+3 x2 dx ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.11а) ∫ |
3 |
x10 |
+6 x |
|
dx |
; б) ∫ |
ctg2 x +6 |
dx ; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
7 |
x |
8 |
|
|
|
3 |
|
|
|
1 −arcsin2 x |
|
|
||||||||||||
5.12а) ∫ |
|
|
+ 5x |
|
|
|
|
|
dx ;б) ∫ |
|
|
1 − x2 |
|
|
dx ; |
||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
4 |
|
3 |
x |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
5 −ln |
2 |
(x |
− 2) |
|
||||||
5.13а) ∫ |
|
− |
|
|
|
|
dx ; |
б) ∫ |
|
dx |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x −2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5.14а) ∫ |
5 |
x17 |
− x2 |
dx ; б) ∫ |
5 ln(4x +1) |
|
dx ; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
4x +1 |
|
|
|
||||||||||
5.15а) ∫ |
|
|
x +4x3 |
|
|
dx ; |
б) ∫ |
3 +ln3 (x + 2) dx |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
в) ∫2x2 sin 4xdx ; |
г) ∫ |
|
4x +1 |
|
dx ; |
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
+4x |
|
|
|
|
|
|
||||
в) ∫(5 − x2 )e5 xdx ; |
г) ∫ |
|
5x |
+ 2 |
|
|
|
dx ; |
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
−5x |
|
|
|
|
|
|
||||
в) ∫arcsin6 xdx ; |
г) ∫ |
|
6 x +4 |
dx ; |
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
+6 x |
|
|
|
|
|
|
||||
в) ∫(2 − x2 )cos7 xdx ;г) ∫ |
7 x +4 |
|
|
|
dx ; |
|
|||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
−7 x |
|
|
|
|
|
|
||||
в) ∫(x2 + x)e8 xdx ; |
г) ∫ |
|
8x −2 |
|
dx ; |
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
+8x |
|
|
|
|
|
|
||||
в) ∫arccos 9xdx ; |
г) ∫ |
|
9x −1 |
|
; |
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
−9x |
|
|
|
|
|
|
||||
в) ∫(x2 + 3)exdx ; |
Г) ∫ |
10 |
x −4 |
dx ; |
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
+10x |
|
|
|
|
||||||
в) ∫(1 − x |
2 |
)cos xdx ; |
г) ∫ |
|
|
|
|
x −3 |
|
|
dx ; |
||||||
|
2x |
2 |
− x |
|
−1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) ∫4x arctg2xdx ; |
г) ∫ |
|
|
|
2x −1 |
|
|
|
dx ; |
||||||||
x |
2 |
|
−3x + 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
;в) ∫(2x −1)sin 3xdx ; г) ∫ |
|
|
|
3x +1 |
|
|
|
dx ; |
|||||||||
x |
2 |
|
+4x +3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) ∫(4x − x2 )e4 xdx ; |
г) ∫ |
|
|
|
4x +7 |
|
|
|
dx ; |
||||||||
x |
2 |
|
−5x +4 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
;в) ∫arcsin 5xdx ; |
г) ∫ |
|
|
|
5x +8 |
|
|
|
dx ; |
||||||||
x |
2 |
|
+6 x + 5 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5.16а) ∫ |
5 |
x9 − x3 |
б) ∫ |
5 |
tg2 x −1 |
dx ; |
в) ∫(x |
2 |
+1)cos6 xdx ; г) ∫ |
|
|
6 x +1 |
|
dx ; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
−7 x +6 |
|||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
8 |
|
|
|
|
2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 x |
|
|
|
7 x −1 |
|
|
|
|||
5.17а) ∫7 −x3 x |
|
|
dx ; |
б) ∫xe3 x 5dx ; |
|
|
в) ∫(x |
|
+7 x)e dx ; |
г) ∫ |
|
|
|
dx ; |
||||||||||||||
|
|
|
x2 |
−8x +7 |
||||||||||||||||||||||||
5.18а) ∫5x −3x2 dx ; |
б) ∫e4 x3 −2 x2dx ; |
|
в) ∫arccos 8xdx ; |
г) ∫ |
|
|
8x + 5 |
|
dx ; |
|||||||||||||||||||
|
x |
2 |
+ 9x +8 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.19а) ∫ |
5 |
x −5 |
dx ; |
б) ∫5x4 (ex |
1 +1)dx ; в) ∫(x + 9)e9 xdx ; |
г) ∫ |
|
|
21 −9x |
|
|
dx ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
−10x + 9 |
||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
arcsin |
2 |
2xdx |
|
|
|
|
|
|
5x + 20 |
|
|
|
|||||||
5.20а) ∫ |
|
x |
− x |
dx ; |
б) ∫ |
|
|
; |
в) ∫(1 − x)cos10xdx ;г) ∫ |
|
dx ; |
|||||||||||||||||
|
|
1 −4x2 |
4x2 + x −3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
10
5.21а) ∫ |
x |
2 |
|
+3 |
|
|
x |
|
|
dx ; |
б) ∫ |
e |
x |
dx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫2x arctgxdx ; |
г) ∫ |
|
4x +1 |
|
|
|
dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 2 −ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 + x −1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.22а) ∫ |
|
|
x +7 x5 |
|
|
dx ; |
б) ∫ |
2 − arctg2 x |
dx ; |
в) ∫(x |
2 |
− x)sin 2xdx ; |
г) ∫ |
|
2x −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|
2x2 +5x + 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.23а) ∫ |
|
|
x + |
x |
dx ; |
б) ∫x |
|
|
5 +7 x2 dx ; |
в) ∫(3x2 − x)e3 xdx ; |
г) ∫ |
|
|
|
|
dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 −5x +6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.24а) ∫ |
|
x3 +6 |
|
x |
|
|
dx ; |
б) ∫ |
3 2ln x |
−5 |
dx ; |
в) ∫arcsin 4xdx ; |
|
|
|
|
г) ∫ |
|
6 xdx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 2x −8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.25а) ∫7 x |
2 |
4 |
|
x dx ; |
|
cos3xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+x |
|
б) ∫ |
; |
|
|
|
|
в) ∫(x − x2 )cos 5xdx ; |
г) ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 + 3sin 3x |
|
|
|
|
x2 −3x −10 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
sin xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5.26а) ∫5x |
|
|
−x |
|
x dx ;б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫(2x2 +6 x)e6 xdx ; |
г) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 + cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 8x +12 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.27а) ∫ |
|
|
x5 |
−5x |
2 |
|
dx ; б) ∫ |
5 + |
|
ctg3x |
dx ; |
в) ∫arccos7 xdx ; |
|
|
|
|
г) ∫ |
|
7 xdx |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −5x −14 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.28а) ∫ |
|
3 x +4x |
dx ; |
б) ∫ |
7 + 2ln x |
dx ; |
в) ∫(x |
2 |
+ 8)e |
8 x |
dx ; |
г) ∫ |
|
8 − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −10x +16 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
− x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
sin xdx |
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫arcsin 9xdx ; |
|
|
|
|
г) ∫ |
|
2 −9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.29а) ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
7 cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +7 x −18 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.30а) ∫ |
|
|
x − x |
dx ; |
б) ∫ |
(3 + 2tgx)dx |
; |
|
в) ∫x |
2 |
|
cos10xdx ; |
г) ∫ |
|
3x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
x |
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
3x2 −10x + 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Задание 6. Вычислить определенный интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.01 |
∫9 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
; |
|
6.02 |
|
|
49∫ |
|
|
xdx |
; |
|
|
6.03 |
|
11∫ |
|
|
dx |
|
|
; |
|
6.04 |
15∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x −5 |
|
|
x x − |
2 |
3 + |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 x x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x +1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.05 |
24∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
; |
6.06 |
|
|
10∫ |
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
; |
|
6.07 |
|
∫9 |
|
|
dx |
|
|
; |
|
|
6.08 |
18∫ |
|
x −2 |
|
dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + x − |
1 |
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
x +5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.09 |
16∫ |
|
x3dx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.10 |
|
|
∫9 |
|
|
|
|
x −5 |
|
dx ; |
6.11 |
|
∫5 |
|
x +4 |
dx ; |
6.12 |
∫4 |
|
|
2x +1 |
|
dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x −7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6.13 |
∫8 |
|
|
|
|
x +1 + x2 |
dx ; 6.14 |
|
|
∫9 |
|
|
|
|
xdx |
|
|
; |
|
|
|
|
6.15 |
|
14∫ |
|
|
dx |
|
; |
6.16 |
∫2 |
|
x3dx |
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
3 + x + 2 |
|
|
−1 |
|
x + 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
6.17 |
12∫ |
|
|
|
x3dx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.18 |
|
|
10∫ |
|
|
x +1 |
|
|
|
dx ; 6.19 |
|
16∫ |
|
xdx |
; |
6.20 |
∫9 |
|
|
dx |
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
1 (x −1) x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.21 |
14∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
; |
6.22 |
|
|
11∫ |
|
x2dx |
|
|
; |
6.23 |
|
∫8 |
|
3 xdx |
; |
|
|
6.24 |
∫7 |
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 + x − |
5 |
|
|
|
|
x −2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x +5 |
|
|
|
|
|
|
2 x x + |
|
|
|
|
|
11
6.25 |
∫9 |
xdx |
; |
|
|
6.26 |
14∫ |
|
dx |
|
; 6.27 ∫6 |
|
dx |
|
|
; 6.28 |
∫9 |
dx |
|
; |
|||
|
|
|
|
3 + x −5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 x +9 |
|
|
|
|
6 |
|
1 1 + x +3 |
|
2 x x +7 |
|||||||||||||
6.29 |
∫7 |
x2dx |
|
; |
|
6.30 |
17∫ |
|
xdx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
x + 2 |
|
|
8 |
|
2x −7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Задание 7. Вычислить площадь плоской фигуры, |
ограниченной линиями |
|||||||||||||||||||||
y = ax2 +bx +c |
и |
y = kx + d . |
Выполнить рисунок. Значения коэффициентов |
||||||||||||||||||||
даны в таблице: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
№ |
|
a |
b |
c |
|
k |
d |
|
№ |
|
a |
b |
c |
|
k |
|
d |
||||||
варианта |
|
|
варианта |
|
|
|
|||||||||||||||||
7.01 |
|
1 |
|
4 |
2 |
|
1 |
6 |
|
|
7.02 |
|
1 |
4 |
5 |
|
2 |
8 |
|||||
7.03 |
|
1 |
|
4 |
8 |
|
3 |
10 |
|
7.04 |
|
1 |
6 |
1 |
|
4 |
4 |
||||||
7.05 |
|
1 |
|
6 |
4 |
|
5 |
6 |
|
|
7.06 |
|
1 |
8 |
7 |
|
6 |
10 |
|||||
7.07 |
|
1 |
|
8 |
0 |
|
7 |
2 |
|
|
7.08 |
|
1 |
2 |
3 |
|
8 |
-2 |
|||||
7.09 |
|
1 |
|
2 |
6 |
|
9 |
-4 |
|
7.10 |
|
2 |
2 |
9 |
|
10 |
3 |
||||||
7.11 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
1 |
5 |
|
|
7.12 |
|
2 |
4 |
5 |
|
2 |
17 |
|||||
7.13 |
|
2 |
|
4 |
8 |
|
3 |
11 |
|
7.14 |
|
2 |
6 |
1 |
|
4 |
5 |
||||||
7.15 |
|
2 |
|
6 |
4 |
|
5 |
5 |
|
|
7.16 |
|
2 |
8 |
7 |
|
6 |
31 |
|||||
7.17 |
|
2 |
|
8 |
0 |
|
7 |
3 |
|
|
7.18 |
|
2 |
2 |
3 |
|
8 |
11 |
|||||
7.19 |
|
2 |
|
2 |
6 |
|
9 |
3 |
|
|
7.20 |
|
2 |
2 |
9 |
|
10 |
19 |
|||||
7.21 |
|
3 |
|
2 |
2 |
|
1 |
4 |
|
|
7.22 |
|
3 |
4 |
5 |
|
2 |
6 |
|||||
7.23 |
|
3 |
|
4 |
8 |
|
3 |
10 |
|
7.24 |
|
3 |
6 |
1 |
|
4 |
9 |
||||||
7.25 |
|
3 |
|
6 |
4 |
|
5 |
14 |
|
7.26 |
|
3 |
8 |
7 |
|
6 |
15 |
||||||
7.27 |
|
3 |
|
8 |
0 |
|
7 |
4 |
|
|
7.28 |
|
3 |
2 |
3 |
|
8 |
12 |
|||||
7.29 |
|
3 |
|
2 |
6 |
|
9 |
4 |
|
|
7.30 |
|
3 |
2 |
9 |
|
10 |
5 |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
"ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"
Задание 1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального
уравнения.
1.01 (x2 + 2xy)dx + xydy =0 ;
1.04 xy′sin xy + x = ysin xy ;
1.07 xy + y2 = (2x2 + xy) y′;
1.10 y′ = xy +cos xy ;
1.13 yex = x( y′ex −ey ) ;
1.02 |
xyy′ = y2 + 2x2 ; |
||||
1.05 |
y′= |
y |
+sin |
y |
|
|
|
; |
|||
x |
x |
||||
1.08 |
y2 + x2 y′= xyy′; |
1.11y′ = 4 + y + y2 ;
xx2
1.14 xy′ = xsin xy + y ;
1.03 |
y − xy′ = |
x2 + y2 ; |
|
|||||||||
1.06 |
xy′ln |
y |
= x + y ln |
y |
; |
|||||||
x |
x |
|
||||||||||
1.09 |
′ |
|
+ y |
+ x =0 ; |
|
|
|
|||||
y x |
|
|
|
|||||||||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
1.12 |
xy |
− y |
= x tg x ; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
1.15 xy′ = x e |
y |
+ y ; |
|
|
|
|||||||
x |
|
|
|
12
1.16 xy′+ y(ln |
|
y |
−1) =0 ; |
|
|
1.17 y′= |
|
x |
+ |
y |
; |
|
|
|
|
1.18 y′= |
x + y |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
x − y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.19 (x − y)dx + xdy =0 ; |
|
|
1.20 y′= |
|
x − y |
|
; |
|
|
|
|
1.21 xyy′− y2 = x2 y′; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.22 ydx + ( |
|
|
xy − |
|
|
x)dy =0 ; 1.23 xy′ = 2( y − |
xy ) ; 1.24 xy′ = y + |
|
x2 + y2 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.25 (x |
4 |
+6 x |
2 |
y |
2 |
+ y |
4 |
)dx + 4xy(x |
2 |
+ y |
2 |
)dy =0 |
; |
|
|
1.26 3y′ = |
|
y2 |
+9 |
y |
+ 9 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||
1.27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.28 xy′− y = |
|
|
|
|
y ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
3ysin |
|
|
dx |
y −3xsin 3x |
dy =0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.29 4(x2 y + y)dy + |
|
5 + y2 dx =0 ; |
|
1.30 (x2 + xy) y′ = x x2 − y2 + xy + y2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задание 2. Найти частное решение уравнения y′+ g(x) y = h(x) , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяющее начальному условию y(x0 ) = y0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y′ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.01 |
− x y = x |
|
e |
|
, |
y(1) = e ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.02 |
− y tg x = |
|
|
, |
|
y(0) = 2 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y′ |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.03 |
+ |
|
|
|
= 4x |
|
|
, y(1) = 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.04 |
− |
|
= xcos x , |
y(0) =0 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y′ |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.05 |
− |
|
|
|
= cos |
|
x ln(tg |
|
) |
, y( |
2 ) =π ; 2.06 |
+ x y |
|
= |
|
, |
y(1) =0 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x |
|
|
2 |
|
x5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.07 |
(1 + x2 ) y′+ y = arctg x , y(0) = 2 ; |
|
|
|
2.08 |
y′cos x + y =1 −sin x , y(0) = 3 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.09 |
y′ |
|
1 − x2 |
|
|
|
+ y = arcsin x , |
y(0) =0 ; |
|
|
|
2.10 |
y′+ 2xy = xe−x2 , |
y(0) = 2 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.11 |
y′ |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
= xln x , y(e) = |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′sin x − y cos x =1, |
|
|
π |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
|
2 e |
|
; |
|
|
|
|
|
2.12 |
y( 2 ) =0 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xln x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
2 |
|
|
|
|||||||
2.13 |
y |
+3y tg 3x |
=sin6 x , y(0) = 3 ; |
|
|
|
|
2.14 |
xy |
+ y =sin x , |
|
y( 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= π ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.15 |
xy′+ (x +1) y = 3x2e−x , |
y(1) =0 ; |
|
|
|
2.16 |
x( y′− y) = ex , |
y(1) =0 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.17 |
(x +1) y′+ y = x3 + x2 , |
y(0) =0 ; |
|
|
|
2.18 |
(xy′−1)ln x = 2 y , |
|
y(e) =0 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.19 |
x2 y′+ xy +1 =0 , |
|
y(1) =0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
2.20 |
xy′− 2 y + x2 =0 , |
y(1) =0 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.21 |
xy′+ y = ln x +1, |
|
y(1) =0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
2.22 |
xy′−2 y = 2x4 , |
|
|
y(1) =0 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|||||
2.23 |
(x |
|
−1) y |
|
|
− xy = x |
|
− x , y( 2) =1; |
|
|
2.24 |
y = x( y |
− xcos x) , y( 2 ) =0 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В следующих примерах за неизвестную функцию принять x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.25 |
|
|
′ |
+ x = 4 y |
3 |
+ 3y |
2 |
, y(2) |
=1; |
|
|
|
|
|
|
2.26 |
(x + y |
2 |
)dy − ydx =0 , |
y(0) =1; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
yx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.27 |
(x −2xy − y2 ) y′+ y2 =0 , |
y(0) =1; |
|
|
2.28 |
y = xy′+ y′ln y , |
y(2) =1; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.29 |
(2x +3)dy − y |
2 |
dx |
=0 , |
y(1) =0 ; |
|
|
|
|
2.30 |
′ |
|
|
|
|
|
|
2 |
) = y , |
|
y(0) = 2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y (x + y |
|
|
|
|
|
|
|
13
Задание 3. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.
3.01 |
(1 − x2 ) y′− xy −3xy2 =0 ; |
3.02 |
4xy′+3y = −ex x4 y5 |
; 3.03 |
y′+ y = e |
x |
y ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y′ |
|
2 y |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
y′ |
|
|
y |
|
y2 |
|
y′ |
2 y |
|
|
|
2 y |
|
||||||||||||
3.04 |
+ x = |
3x |
|
|
y3 ; |
|
|
3.05 |
− |
|
= |
|
; |
3.06 |
+ x |
= |
|
|
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x −1 |
x −1 |
cos2 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3x2 y |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
′ |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
2 |
|
x |
|
|
|
|||||
3.07 y′− |
|
|
= y |
|
|
(x |
|
+1)sin x ; 3.08 |
y |
|
= y |
|
cos x + y tg x |
; 3.09 |
y |
|
+ 2 y |
= y |
e |
|
; |
|
|
|||||||||||||||
x3 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3.10 |
y′−2 y tg x + y2 sin2 x =0 ; |
3.11 |
xy′−2x2 |
y = 4 y ; |
3.12 |
y′− xy = −y3e−x2 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
3.13 |
xdy +( y + x2 y2 )dx =0 ; |
3.14 |
xydy = ( y2 + x)dx ; |
3.15 |
xy′+ y = y2 ln x ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3.16 |
y |
′ |
+ 2xy = 2x |
3 |
y |
3 |
; |
|
3.17 |
y |
′ |
+ y |
2 |
cos x = y tg x ; 3.18 |
|
′ |
|
= −xy |
2 |
; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y x + y |
|
|
|
|
|
y2 |
|
3 |
|
3.19 |
ydy = |
|
− x |
|
dx ; |
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
3.22 |
(x +1)( y′+ y2 ) = −y ; |
||||
3.25 |
2x3 yy′+3x2 y2 +1 =0 ; |
||||
3.28 |
xy2 y′= x2 + y3 ; |
3.20 |
2 y′− |
x |
xy |
; |
3.21 |
y′+ y = |
x |
|
; |
|
|
|
|||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y |
x2 −1 |
y2 |
|
|
|
|
|||||||||||
3.23 |
yy′ = xe2 x + y2 ; |
|
3.24 |
y′+ xy = x3 y3 ; |
|
|
|||||||||||
3.26 |
x(x −1) y′+ y3 = xy ; 3.27 |
y′+ x 3 |
y = 3 y ; |
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
2 |
|
2 |
|
|||
3.29 |
y′= x y + 2xe |
|
y ; |
3.30 |
y′+ |
|
|
= (x |
|
|
−3x) y |
|
. |
||||
|
x |
|
|
|
Задание 4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
′ |
2 |
= |
|
4.02 y |
′′ |
= x +sin x ; |
|
|
|
|
|
|
|
′′= |
|
|
|
′ |
|
2 |
|
− |
|
|
|
′ |
3 |
|
||||||||||||||||||||
4.01 y(1 ln y) y |
|
|
|
|
(1 |
|
|
|
ln y)( y ) |
|
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.03 |
yy |
|
|
|
|
( y ) |
|
|
|
( y ) |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.04 |
y′′− |
|
|
y′ |
|
|
|
|
= x(x −1) ; |
|
|
|
|
4.05 |
y′′ |
= |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
4.06 |
y′′ |
|
= |
y′ |
+ x ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x −1 |
|
|
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.7 |
(1 + x |
2 |
) y |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
2 |
=0 ; |
|
|
|
|
|
|
′′ |
2 |
|
|
|
|
|
|
′ |
2 |
; |
4.09 yy |
′′ |
|
|
|
|
|
′ |
2 |
= y |
2 |
ln y ; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+1 +( y ) |
|
|
|
|
4.08 4( y |
) |
|
=1 +( y ) |
|
|
|
−( y ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.10 |
(x −1) y |
′′ |
− y |
′ |
=0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.11 |
y |
′′ |
= arctg x ; |
|
|
|
|
|
4.12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 − x2 ) y′′− xy′= 2 ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
′′ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
′ |
|
2 |
|
|
|
|
|
4.14 |
y |
′′ |
= xcos x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′− |
|
|
′ |
|
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4.13 |
y (2 y |
|
|
3) |
|
|
|
2( y ) |
|
|
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.15 |
yy |
|
|
|
|
( y ) |
|
|
|
0 ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
4.16 |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
′ |
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
4.17 |
y |
′′ |
+ |
|
|
|
′ 2 |
|
=0 ; |
4.18 |
x |
3 |
y |
′′ |
+ x |
2 |
y |
′ |
=1; |
|
|
|||||||||||||||||||||
(2 y + y ) y |
|
|
|
= ( y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x( y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.20 |
y |
′′ |
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
4.19 |
xy′′= y′ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
4.21 |
|
= cos |
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
4.22 |
(1 +e |
x |
) y |
′′ |
+ y |
′ |
=0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
4.23 |
y |
3 |
y |
′′ |
+1 =0 ; |
|
|
|
|
|
4.24 |
yy |
′′ |
+ |
|
|
′ |
|
2 |
|
= x ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( y ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.25 |
x |
2 |
y′′= y′− xy′; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.26 |
xy′′− y′ |
2 |
e |
x |
; |
|
|
4.27 |
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x |
|
|
|
y xln x = 2 y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.28 |
y |
′′ |
= cos |
2 |
x +e |
−x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.29 |
y |
′′ |
= |
1 − |
|
′ 2 |
; |
|
|
|
4.30 |
y |
′′ |
|
= y |
′ |
|
|
|
|
|
′ |
2 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
+( y ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Задание 5. Найти общее решение линейного однородного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференциального уравнения второго порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.01 а) |
y′′− y′−2 y =0 ; |
|
б) |
y′′−4 y′+4 y =0 ; |
|
|
|
|
в) |
y′′+ 25 y =0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.02 а) |
y′′−25 y′=0 ; |
|
|
|
б) |
y′′−6 y′+9 y =0 ; |
|
|
|
|
в) |
y′′−2 y′+10 y =0 ; |
|
|
|
14
5.03 |
а) |
y′′−4 y′+ 3y =0 ; |
б) |
5.04 |
а) |
y′′+4 y′−5 y =0 ; |
б) |
5.05 |
а) y′′−8 y′=0 ; |
б) |
|
5.06 |
а) |
y′′+5 y′+4 y =0 ; |
б) |
5.07 |
а) |
2 y′′−9 y′−7 y =0 ; |
б) |
5.08 |
а) |
y′′−3y′=0 ; |
б) |
5.09 |
а) |
2 y′′+9 y′+7 y =0 ; |
б) |
5.10 |
а) 7 y′′−9 y′+ 2 y =0 ; |
б) |
|
5.11 |
а) y′′+4 y′=0 ; |
б) |
|
5.12 |
а) 7 y′′+9 y′+ 2 y =0 ; |
б) |
|
5.13 |
а) |
4 y′′+8 y′+3y =0 ; |
б) |
5.14 |
а) |
5 y′′+4 y′− y =0 ; |
б) |
5.15 |
а) |
3y′′+8 y′+4 y =0 ; |
б) |
5.16 |
а) |
3y′′−4 y′+ y =0 ; |
б) |
5.17 |
а) |
y′′−13y′+36 y =0 ; |
б) |
5.18 |
а) |
3y′′−8 y′+4 y =0 ; |
б) |
5.19 |
а) |
2 y′′+3y′+ y =0 ; |
б) |
5.20 |
а) y′′+36 y′=0 ; |
б) |
|
5.21 |
а) |
4 y′′−8 y′+3y =0 ; |
б) |
5.22 |
а) |
5 y′′−4 y′− y =0 ; |
б) |
5.23 |
а) |
y′′−49 y =0 ; |
б) |
y′′−8 y′+16 y =0 ; |
в) |
4 y′′−8 y′+5 y =0 ; |
4 y′′−4 y′+ y =0 ; |
в) |
y′′+6 y′+13y =0 ; |
y′′+4 y′+4 y =0 ; |
в) |
y′′+ 2 y′+5 y =0 ; |
9 y′′−12 y′+4 y =0 ; |
в) |
y′′+ 2 y′+17 y =0 ; |
16 y′′+8 y′+ y =0 ; |
в) |
y′′−4 y′+ 20 y =0 ; |
y′′+6 y′+9 y =0 ; |
в) |
y′′+4 y′+5 y =0 ; |
25 y′′−10 y′+ y =0 ; |
в) |
y′′+ 2 y′+10 y =0 ; |
9 y′′−6 y′+ y =0 ; |
в) |
y′′+4 y′+ 20 y =0 ; |
9 y′′+12 y′+4 y =0 ; |
в) |
y′′+ y =0 ; |
y′′−10 y′+ 25 y =0 ; |
в) |
y′′+4 y′+8 y =0 ; |
y′′+12 y′+36 y =0 ; |
в) |
y′′+10 y′+ 29 y =0 ; |
16 y′′−8 y′+ y =0 ; |
в) |
y′′+ 2 y′+ 2 y =0 ; |
y′′+10 y′+ 25 y =0 ; |
в) |
y′′+4 y′+13y =0 ; |
y′′−12 y′+36 y =0 ; |
в) |
y′′+ 2 y′+5 y =0 ; |
25 y′′+10 y′+ y =0 ; |
в) |
y′′+6 y′+ 25 y =0 ; |
25 y′′+ 20 y′+4 y =0 ; в) |
y′′+6 y′+10 y =0 ; |
|
9 y′′−24 y′+16 y =0 ; в) |
y′′−6 y′+10 y =0 ; |
|
4 y′′−12 y′+9 y =0 ; |
в) |
y′′+12 y′+37 y =0 ; |
4 y′′−20 y′+ 25 y =0 ; в) |
5 y′′+4 y′+ y =0 ; |
|
36 y′′−12 y′+ y =0 ; |
в) 10 y′′+ 2 y′+ y =0 ; |
|
16 y′′−8 y′+ y =0 ; |
в) |
8 y′′+4 y′+ y =0 ; |
5.24а) 4 y′′+5 y′+ y =0 ; б) 9 y′′+ 24 y′+16 y =0 ; в) 10 y′′−6 y′+ y =0 ;
5.25а) 2 y′′− y′− y =0 ; б) 4 y′′+ 20 y′+ 25 y =0 ; в) 29 y′′+10 y′+ y =0 ;
5.26 а) |
y′′+13y′+ 36 y =0 ; б) 16 y′′+ 24 y′+9 y =0 ; в) 5 y′′−4 y′+ y =0 |
; |
||
5.27 а) |
y′′−64 y =0 ; |
б) 36 y′′+12 y′+ y =0 ; |
в) 5 y′′+ 2 y′+ y =0 |
; |
5.28 а) |
4 y′′−5 y′+ y =0 ; |
б) 16 y′′−24 y′+9 y =0 |
; в) 8 y′′−4 y′+ y =0 ; |
|
5.29 а) |
2 y′′+ y′− y =0 ; |
б) 4 y′′+12 y′+9 y =0 ; |
в) 10 y′′+6 y′+ y =0 ; |
|
5.30 а) |
y′′−6 y′=0 ; |
б) 4 y′′+ 28 y′+49 y =0 |
; в) 10 y′′−2 y′+ y =0 . |
Задание 6. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.
6.01 |
y′′+4 y = 4(sin 2x + cos 2x) ; 6.02 |
y′′+16 y = xsin 2x ; |
|
6.03 |
y′′+4 y′+4 y = xe2 x ; |
6.04 |
y′′+ 2 y′+ 5 y = ex ((x +1)cos 2x + 3sin 2x) ; |
6.05 |
y′′−2 y′+ 2 y = 4ex cos x ; |
6.06 |
y′′−4 y′+13y = e2 x (xcos3x − xsin 3x) ; |
6.07 |
y′′+ y = e2 x (x2 + x +1) ; |
6.08 |
y′′+ 2 y′+ y = e−x sin 2x ; |
6.09 |
y′′+3y′−10 y = xe−2 x ; |
6.10 |
y′′−6 y′+13y = 34e−3 x sin 2x ; |
6.11 |
y′′−2 y′+ 2 y = ex sin x ; |
6.12 |
y′′−3y′+ 2 y = (34 −12x)e−x ; |
6.13 |
y′′+ y′−2 y = cos x −3sin x ; 6.14 y′′−6 y′+ 25 y = 2sin x +3cos x ; |
15