Zaripova_Z_F_Matematika_Chast_I_Metodicheskie
.pdf9. ò |
x3 |
+ 6x2 + 8x + 8 |
dx . |
19. ò |
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2x3 + 4x2 + 2x + 2 |
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dx . |
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(x + 2) |
2 |
(x |
2 |
+ 4) |
(x |
2 |
+ x + |
2)(x |
2 |
+ x +1) |
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10. ò |
x3 + 5x2 +12x + 4 |
dx . |
20. ò |
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2x3 + 7x2 + 7x + 9 |
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dx . |
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(x + 2) |
2 |
(x |
2 |
+ 4) |
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(x |
2 |
+ x + |
2)(x |
2 |
+ x + |
1) |
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21. ò |
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4x2 + 3x + 4 |
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dx . |
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26. ò |
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x3 |
− 6x2 |
+13x − 6 |
dx . |
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(x |
2 |
+ |
1)(x |
2 |
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+ x +1) |
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(x + 2)(x − |
2) |
3 |
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22. ò |
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3x3 + 4x2 + 6x |
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dx . |
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27. ò |
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x3 + 6x2 |
+14x +10 |
dx |
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(x |
2 |
+ |
2)(x |
2 |
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+ 2x |
+ |
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2) |
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(x +1)(x + 2) |
3 |
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23. ò |
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2x2 − x +1 |
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dx . |
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28. ò |
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x3 |
− 6x2 |
+11x −10 |
dx . |
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(x |
2 |
+1)(x |
2 |
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− x +1) |
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(x + 2)(x − 2) |
3 |
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ка |
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е |
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x3 |
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+ 6x2 +13x + 9 |
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x3 |
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24. ò |
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dx . |
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29. ò |
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+ 6x2 +10x +10 |
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dx . |
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(x +1)(x + |
2) |
3 |
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(x −1)(x + |
2) |
3 |
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x3 + 6x2 +13x + 8 |
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x3 − 6x2 |
+13xт− 8 |
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25. ò |
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dx . |
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30. ò |
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и |
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dx . |
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x(x + |
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2) |
3 |
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x(x |
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3 |
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б |
−о2) |
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III.Вычислить определенный интеграл |
л |
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7 |
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2arctg2 |
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dx |
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и |
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x + 2 |
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1.а) ò |
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dx ; б) ò |
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x |
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2 |
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cosxdxая |
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2 |
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x |
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π |
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sin x(1 |
− cosбx) |
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2 |
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π |
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2.а) ò |
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б) |
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(cosx + 2) |
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0 |
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π |
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0 |
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4 |
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1 |
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2arctg2 |
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3.а) ò |
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б) |
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к |
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sin |
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x(1+ cos x) |
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x − 3 |
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π |
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− sin x)dx |
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4. а) |
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0 |
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dx ; |
б) |
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(cosx |
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(sin x +1) |
2 |
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л2 − |
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− |
3 |
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0 |
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0 |
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dx |
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2arctg3 |
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5. а) ò |
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1+ |
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3x +1 |
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− |
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2arctg 2 |
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71
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6.а) |
4 |
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x |
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dx ; |
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ò |
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||||||||
4 |
+ x |
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0 |
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3 |
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2 |
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x |
+ 1+ x |
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7.а) ò |
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dx ; |
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0 |
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1 |
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+ x |
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49 |
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8.а) |
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x |
dx ; |
||||||||
ò |
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|||||||||
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|||||||
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25 x − 6 |
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2arctg |
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1 |
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б) |
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2 |
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dx |
; |
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ò |
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||||||
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||||||
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1 |
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sin |
x(1 − sin x) |
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2arctg |
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3 |
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π |
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б) |
2 |
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dx |
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ò |
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1 (1 |
+ sin x − cos x) |
2 |
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2arctg |
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2 |
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||||||
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π |
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||
б) |
ò2 |
cos xdx |
; |
|
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||||||||
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0 5 + 4cos x |
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2π
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(1+ sin x)dx |
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9.а) ò0 |
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3 |
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x2 |
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dx; |
б) ò3 |
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|
; |
|
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ка |
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3 |
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(1+ cos x + sin x) |
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2 |
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|
−8 |
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x |
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|
+ 3 |
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0 |
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2 |
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π |
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т |
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dx |
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2 |
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cos xdx |
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е |
||||||||||||
10.а) ò |
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; |
б) ò |
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; |
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о |
||||||||||||||||||||
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4 |
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1 2 + |
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x −1 |
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π 1+ sin x − cos x |
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|
и |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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0 |
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3 |
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2 |
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||
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4 |
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|
π |
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б |
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||||||||
11.а) |
ò |
|
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|
3x |
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dx ; |
б) |
ò |
|
|
|
(1+ cos x)dx |
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; |
и |
л |
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3 |
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− |
3 |
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(x +1) |
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0 1+ sin x + cos x |
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π |
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|
ая |
б |
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||||||||||||
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1 |
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|||||||||||||||
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1 |
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2 |
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|||||||||||||
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0 |
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|
2 |
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|
sin xdx |
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|||||||||||||
12. а) ò |
|
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− |
3 |
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dx ; |
|
б) |
ò |
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|
; |
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||||||||||||||||
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−8 |
5 |
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|
x |
|
|
|
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0 1+ sin x + cos x |
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π |
(1+ cos x)dx |
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||||||||||||
13.а) |
ò |
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x |
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dx ; |
б) ò |
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; |
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14.а) |
−4 |
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dx |
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ро; б) |
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cos xdx |
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; |
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(5 − x) |
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0 1+ sin x + cos x |
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|||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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|
т |
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|
π |
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|||||||||||
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2 |
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|||||||||||||||||
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|
ò |
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|
ò |
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3 |
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||||||||||||||
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3 2 |
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|||||||||||||||||
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е |
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|
x |
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1 (1− cos x) |
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||||||||||||||||
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1 |
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8 |
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+ |
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|||||||||||
Э |
|
− |
|
|
|
к |
|
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|
2arctg |
2 |
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|||||||||||||||
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0 |
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dx |
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2 |
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cos xdx |
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|||||
15.а) |
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|
; |
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|
б) |
|
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|
; |
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|||||||||||||
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||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
+ 3 |
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|
ò0 1+ sin x + cos x |
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||||||||||||||||||||||||||
лò1 4 |
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x2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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|
− |
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2arctg |
1 |
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||||||
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||||||||
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|
6 |
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x − 3dx ; |
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б) |
ò |
3 |
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cos xdx |
|
; |
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||||||||||||||||||||||||||||||
16.а) ò |
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|||||||||
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|
3 |
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|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
0 |
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(1+ cos x)(1− sin x) |
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72
АГНИ
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2 |
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0 |
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|
cos xdx |
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|||||||
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x |
- |
2 |
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||||||||||||||||||
17.а) ò |
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dx ; |
б) |
ò |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
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− sin x + cos x) |
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
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+ |
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x - 2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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−π (1 |
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− sin x + cos x |
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0 |
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2x + |
7 |
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−2π 1 |
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3 |
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π |
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9 |
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2 |
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19.а) ò |
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(1+ sin x + cos x) |
2 |
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2arctg2 |
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x2 −1 |
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dx |
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27.а) |
ò |
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dx |
; |
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б) |
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x |
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(1+ sin x)sin x |
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1 |
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π |
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2 |
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π |
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1 |
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2 |
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dx |
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28.а) ò x2 1− x2 dx ; |
б) ò |
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; |
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+ sin x + cos x) |
2 |
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0 |
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0 (1 |
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73 |
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АГНИ
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1 |
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1- x2 |
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4 |
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dx |
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|||||||||||||
29.а) |
ò |
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dx ; |
б) |
ò |
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; |
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||||
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x |
6 |
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(1 |
+ cos x)cos x |
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2 |
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0 |
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2 |
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π |
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3 |
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1+ x2 |
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2 |
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sin xdx |
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30.а) |
ò |
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dx ; |
б) ò |
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. |
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x |
2 |
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+ 3sin x |
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1 |
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0 5 |
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|||||||||
IV а) Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями. |
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Сделать чертеж. |
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ка |
АГНИ |
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1. 3x2 - 4y = 0, 2x - 4y +1 = 0 . |
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е |
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2. 3x2 + 4y = |
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0, 2x - 4y -1 = |
0 . |
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т |
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о |
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3. 2x + 3y2 = 0, 2x + 2y +1 = 0 . |
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и |
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л |
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4. 3x2 - 4y = 0, 2x + 4y -1 = 0 . |
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б |
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и |
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б |
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5. 3x2 + 4y = 0, 2x + 4y +1 = 0 . |
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2 |
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ая |
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6. 3x - 2y = |
|
0, 2x - 2y +1 = |
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0 . |
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7. 2x - 3y |
2 |
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= |
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нн |
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|
|
|
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|||||||||||||||
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0, 2x + 2y -1 |
= |
0 . |
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||||||||||||||||||||||
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ро |
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||
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2 |
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|||
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т |
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||||||||||
8. y = x 9 - x , y = 0, 0 £ x £ 3. |
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к |
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е |
2) |
3 |
, y = 4x - 8. |
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||||||||||||||||||
9. y = (x - |
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л |
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|||
Э10. |
y = sin x × cos2 x, y = 0, |
|
0 £ x £ |
π . |
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2 |
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11. |
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0 £ x £ 2 . |
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y = x2 |
|
|
4 - x2 , y = 0, |
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|
12. y = arccosx, y = 0, x = 0.
13.y = (x +1)2 , y2 = x +1.
14.x = arccosy, x = 0, y = 0 .
15. |
y = cos x ×sin2 x, y = 0, |
0 £ x £ π . |
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||||||
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2 |
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16. |
y = 2x - x2 + 3, y = x2 - 4x + 3. |
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АГНИ |
|||||||
17. |
y = |
|
x |
|
, y = 0, x = 1. |
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|||
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||||||
1+ |
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|||||
x |
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|||||||
18. |
x = (y - 2)3, x = 4y - 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
19. |
x = 4 - ( y -1)2 , x = y2 - 4y + 3. |
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
|||||||
20. |
y = x3 - 2, x = 0, y = x + |
2, x = -3 . |
|
|
|
|
|
т |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
21. |
y = x3 -1, x = 0, y = x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3, x = -2. |
|
|
|
|
о |
е |
|
||||||||||
22. |
y = x3 +1, x = 0, y = x + |
5, x = -2. |
|
|
л |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
23. |
y = x3 + 2, x = 0, y = x + 6, x = -2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
и |
|
и |
|
|
|
|
|||||||||||
24. |
y = x3 + 3, x = 0, y = x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7, x = -2. |
б |
б |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
25. |
y = x3 - 2, x = 0, y = x - 6, x = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
27. |
y = x3 +1, x = 0, y = x - 3, xая= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
26. |
y = ln x, y |
= ln2 |
x. |
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|
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||||
|
|
|
|
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|
нн |
|
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28. |
|
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|
|
ро |
|
|
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x2 - y = 0, x = -1, y = 0. |
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|||||||
29. |
|
|
2 т |
|
|
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|
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|||
y = x(x -1)2 , y |
= 0. |
|
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||||||
|
|
к |
|
|
|
|
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||
30. |
е |
|
|
= 0 |
|
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|
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|||
x = y (y -1), x |
|
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|||||||
л |
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Э |
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б) Найти длину дуги кривой, заданной параметрически |
|
||||||||||||||||
ìx = 5(t - sin t) |
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|
ìx = 3(2cost - cos2t) |
||||||||||
1. íïy = 5(1 - cost) |
|
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|
2. íïy = 3(2sint - sin 2t) |
|
||||||||||
ï0 £ t £ π. |
|
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ï0 £ t £ 2π. |
|
|
||||||
î |
|
|
|
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|
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|
|
î |
|
|
|
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|
|
|
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|
75 |
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|
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|
ìx = 7(cost + t sin t)
3.ïíy = 7(sin t - t cost)
ïî0 £ t £ 2π.
ìx = (t2 - 2)sin t + 2t cost
4.ïíy = (2 - t2 )cost + 2t sin t .
ïî0 £ t £ π.
ì |
= 5cos3 t |
ïx |
|
5. íïy = 5sin3 t . |
|
ï |
π |
ï |
|
î0 |
£ t £ 2 . |
ìx = 2(t - sin t)
7.ïíy = 2(t - cost)
ïîπ £ t £ 2π.
ïïx = 2(cost + t sin t) íy = 2(sin t - t cost)
ï π ï0 £ t £
î 3 .9.
|
ì |
|
|
нн |
|
î0 £ t £ 3 . |
|
||
|
ïx |
= 6cos3 t |
|
|
11. íïy = 6sin3 t |
ро |
|
||
|
ï |
π |
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
ì |
к |
|
|
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ï |
|
|
|
|
еx = 3,5(t - sint) |
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||
|
ï |
= 3,5(1- cost) |
|
|
13.лíy |
|
|||
Э |
ïπ |
£ t £ π. |
|
|
ï |
|
|
||
î 2 |
|
|
ая
ìx = et (cost + sin t) |
АГНИ |
6. íïy = et (cost - sin t) |
|
ï0 £ t £ π. |
|
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|
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|
|
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|
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1 |
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= |
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cost - |
|
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|
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4 |
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1 |
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1 |
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8. |
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|
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sin 2t . |
|||
|
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= |
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sin t - |
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2π |
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£ t |
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ì |
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2 |
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|
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ïx = |
(t |
|
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- 2)sin t + 2t cost |
||||||||
б |
10. íïy = (2 - t2 )cost + 2t sin t . |
|||||||||||||||
|
|
|
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|
|
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π |
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3 . |
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= et (cost + sint) |
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|
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ïx |
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|
|
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12. íïy = et (cost - sint) |
|||||||||||||
|
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£ t £ π. |
|
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|
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|
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î 2 |
|
|
|
|
ì |
|
|
ïx = 2,5(2cost - cos2t) |
||
14. íïy = 2,5(2sint - sin 2t) |
||
ï |
|
π |
ï |
£ t £ |
|
î0 |
2 . |
76
ìx = 15(cost + t sin t)
15.ïíy = 15(sin t - t cost)
ïî0 £ t £ π.
ïx = 8cos3 t
ï
íy = 8sin3 t
ï π ï0 £ t £ .
î 617.
ì
ïx = 4(t - sin t)
19.ïíy = 4(1- cost)
ïïπ £ t £ 2π .
î 2 3
|
ì |
|
|
|
|
|
|
ïx = 21(cost + t sin t) |
|||||
21. íïy = 21(sint - t cost) |
||||||
|
ï |
|
|
π |
|
|
|
ï |
£ t £ |
|
|
||
|
î0 |
4 . |
|
нн |
||
23. íïy = 4sin3 t |
|
|||||
|
ì |
|
|
|
ро |
|
|
ïx = 4cos3 t |
|
|
|||
|
ïπ |
|
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π |
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ï |
к |
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£ t £ . |
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= 7(t - sin t) |
|
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= 7(1- cost) |
|
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|
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|
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|
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|
|
|
ï |
£ t £ 2 . |
|
|
||
|
î0 |
|
|
ая
ì |
= (t2 |
- 2)sin t + 2t cost |
ïx |
||
16. íïy = (2 - t2 )cost + 2t sin t |
||
ï |
|
π |
ï |
£ t £ |
|
î0 |
2 . |
|
|
|
|
|
ìx = et (cost + sin t) |
|||||
|
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|
18. íïy = et (cost - sin t) |
||||||
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|
ï0 £ t £ 2π. |
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|
|
ïx = 20(2cost - cos2t) |
|||||
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ï |
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|
|
|
|
20. íy = 20(2sint - sin 2t) |
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π |
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ï |
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3 . |
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и |
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|
ìx = (t2 - 2)sin t + 2t cost |
||||||
б |
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||||||
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|
|
22. íïy = (2 - t2 )cost + 2t sin t |
|||||||
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|
ï0 £ t £ 2π. |
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||||
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ì |
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|
ïx = et (cost + sint) |
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24. íïy = et (cost - sint) |
|||||||
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|
3π |
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2 . |
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|||
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|
î0 £ t £ |
|
ìx = 4(2cost - cos2t)
26.ïíy = 4(2sin t - sin 2t)
ïî0 £ t £ π.
77
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ìx = (t2 - 2)sin t + 2t cost |
|||||||||||||||||||
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|
ïx = 2(cost + t sin t) |
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27. íïy = 2(sin t - t cost) |
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28. íïy = (2 - t2 )cost + 2t sin t |
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ï |
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π |
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£ t £ 3π. |
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= 9cos3 t |
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= et (cost + sint) |
|||||||||||||||||||||||
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ïx |
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29. íïy = 9sin3 t |
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АГНИ |
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30. íïy = et (cost - sint) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ï |
|
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π |
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π |
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4 . |
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е |
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го расходимость |
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V. Вычислить несобственный интеграл или установить |
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т |
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1 |
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2 |
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ò |
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ò |
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3 |
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|||||||||||||
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1 xln x |
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2. |
0 x - 4x + 3 |
. |
3. |
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. |
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4. |
б |
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. |
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5. |
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. |
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1 |
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x -1 |
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1 x × ln x |
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0 |
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xln x |
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1 |
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б |
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6. |
1 |
e |
x |
|
dx . |
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7. |
1 |
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3x2 + |
2 |
dx. |
|
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8. |
+∞ |
|
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x |
|
dx. и9. +∞ |
x3 + 1 |
dx. |
10. |
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+∞ |
arctgxdx |
. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ò |
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3 |
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ò |
|
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|
ò |
|
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3 |
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x |
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3 |
x |
2 |
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x |
|
+1 |
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ò |
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x |
4 |
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ò |
|
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|
x |
2 |
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||||||||||||||||||
|
0 |
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|
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1 |
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0 |
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1 |
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1 |
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||||||||||||||||
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− |
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ая |
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+∞ |
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+∞ |
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dx |
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+∞ |
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dx |
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3 |
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dx |
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|
∞ |
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11. ò x3e− x 2 dx . 12. |
ò |
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. 13. |
ò |
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. |
14. ò |
|
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|
. |
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15. ò xe− x 2 dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
+ 2x + 2 |
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2 |
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3 |
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x + 3 |
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0 |
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−∞ |
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−∞ |
x (x +1) |
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−3 |
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0 |
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||||||||||||
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∞ |
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ро |
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0 |
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π |
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dx |
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xdx |
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4 |
сosxdx |
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5 |
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dx |
2 . |
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2 |
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. |
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19. |
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16. ò |
|
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2 . |
17. ò |
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18. ò |
|
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ò |
|
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. 20. ò |
|
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2 . |
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x |
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e |
|
т |
4 (x - |
4) |
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1 |
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x -1 |
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− |
π |
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0 |
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|
π |
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2 |
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|||||||||
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∞ |
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|
к |
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2 |
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1 |
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dx |
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8 |
3x |
|
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+ |
|
2 |
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0 |
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2 |
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|
|
|
||||||||||||||
21. |
ò |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
22. òctgxdx. 23. ò |
|
|
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|
|
. |
24. ò |
|
|
|
dx . 25. òe− x |
|
xdx . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
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|
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3 |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
л |
|
|
+ x |
+ 5 |
|
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|
x |
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|||||||||||||
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0 |
4x |
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0 |
|
|
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0 |
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|
1- x |
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|
0 |
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−∞ |
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|||||||||||||||||||||
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|
е |
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e |
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dx |
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|
∞ |
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|
1 |
|
x +1 |
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+∞ xarctgxdx |
|
|
|
+∞ |
|
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|
dx |
|
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|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
26. |
ò |
|
|
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|
. 27. òe−7xdx . 28. ò |
|
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|
dx . 29. ò |
|
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|
. |
|
30. ò |
|
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|
. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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4 |
x |
|
|
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3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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5 |
|
x |
3 |
|
|
1 |
+ x |
4 |
|
|
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|
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|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Э |
1 x ln |
|
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|
0 |
|
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|
|
1 |
|
|
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|
0 |
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
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e |
2 xln(ln x) |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
− |
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78
Образец выполнения контрольных заданий по теме №6
I.а) ò |
ln7 (x + 2) |
dx. |
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||||||||||||||||||||
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x + 2 |
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||||||||||||||||
Внесем под знак дифференциала множитель |
|
1 |
|
. Для этого его |
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x + |
2 |
АГНИ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ò ln7 |
(x + 2)dx = òln7 |
(x + 2)d(ln(x + 2)) = ln |
8 (x + 2) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ C |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
проинтегрируем: |
ò |
|
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dx |
|
|
= |
ò |
d (x |
+ |
2) |
= ln |
x |
+ 2 |
= ln(x |
+ 2) |
( модуль раскрыли с учетом |
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x + 2 |
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x + 2 |
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|
||||||||||||
области определения подынтегральной функции). |
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Итак, |
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ка |
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x + 2 |
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б) ò |
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3x − 4 |
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dx . |
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2 |
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+ 6x +15 |
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т |
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x |
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+ 6 . |
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Выделим квадрат двучлена в знаменателе: |
x2 |
+ 6x +15 = (x + 3)2 |
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Воспользуемся методом замены переменной. |
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2 |
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t = x + 3, |
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б |
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б |
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d(t 2 |
) |
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ò |
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3x - 4 |
|
|
dx |
= |
|
x = t - 3, |
|
= ò |
|
3(t - 3) - 4 |
dt |
= ò |
|
3t -13 |
dt |
= 3ò |
|
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tdt |
-13ò |
|
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dt |
= 3ò |
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- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
+ |
6x +15 |
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t |
2 |
+ |
6 |
|
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t |
2 |
+ 6 |
t |
2 |
+ 6 |
|
t |
2 |
+ 6 |
t |
2 |
+ |
6 |
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dx = dt, |
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ая |
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-13× |
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arctg |
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t |
= |
3 |
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ò |
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d(t 2 + 6) |
- |
13 |
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arctg |
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t |
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= |
3 |
ln(t |
2 |
+ 6) |
- |
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13 |
arctg |
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t |
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. |
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2 |
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6 |
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6 |
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2 |
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нн |
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6 |
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6 |
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2 |
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6 |
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6 |
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t |
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+ 6 |
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Вернувшись к перво ачальной переменной, получим |
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3x − 4 |
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ро |
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x + 2 |
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ò x2 + |
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т |
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+ C . |
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6x +15dx |
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= 2 ln |
((x + 3) |
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+ 6) - |
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6 arctg |
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6 |
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ò |
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к |
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в) |
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(7x2 |
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-15x)sin 2xdx. |
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||||||||||
Вычис им интеграл интегрированием по частям с помощью формулы: |
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Э |
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òudv = uv - òvdu . |
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79
u = 7x2 -15x,
du = (14x -15)dx,
ò(7x2 -15x)sin 2xdx = dv = sin 2xdx, = - 12 (7x2 -15x)cos 2x + 12 òcos 2x(14x -15)dx .
v= òsin 2xdx,
v = - |
1 |
cos 2x |
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2 |
АГНИ |
|||
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|||
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|
После однократного применения интегрирования по частям получили более простой интеграл. Тем не менее, для его вычисления требуется еще раз применить этот метод.
òcos 2x(14x -15)dx = |
dv = cos 2xdx, |
= |
|
|
(14x -15)sin 2x - òsin 2xdxка= (14x -15)sin 2x + cos 2x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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u |
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= 14x -15, |
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е |
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du = 14dx, |
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1 |
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14 |
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1 |
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7 |
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|||||||||||||||||||||||||||
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v = òcos 2xdx, |
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Решение. Подынтегральная дробь правильная, разложим ее на простые дроби, предварительно разложив знаменатель на множители.
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