Математика.Павловская О.Г., Плюснина Е.С

f

x

0 при x 1 – критическая точка функции;

f

x

не существует при x

1.

Разобьем всю числовую прямую на интервалы точками x

1 и x

1 и

определим знак производной f

x

на этих интервалах:

х

(– , –1)

–1

(–1, 1)

1

(1, +

)

f

x

–

не существует

–

0

+

точка

е

0,7

f x

4

разрыва

min

7.

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Найдем f

x :

f

x

e x

x 1 e x

x 1 3

e x

x 1 3 x 1 2

e

x x 2

2x 3

;

x

1 6

x

1 4

f

x

0 ,

при x2 2x

3

0 , D

4 12 0 , действительных корней нет,

следовательно, точек перегиба нет;

f

x

не существует при x

1.

Определим интервалы знакопостоянства второй производной f x :

	х	(– , –1)	–1	(–1, + )
f	x	+	не существует	+
f	x	вогнута	не существует	вогнута

8. Построение графика (рис. 32).

2.

	f (x)	e x
		x 1	2

х = –1

1

–1

2

1

1

Рис. 32

9.

Область значений.

На основании построенного графика получаем, что E y

0,

.

в)

f x

x3

9x2

24x 16

Решение

1.

Область определения.

Функция f x

является многочленом третьей степени. Следовательно,

D y

,

.

2.

Четность, нечетность, периодичность функции.

f

x

( x)3

9(

x)2

24(

x)

16

x3

9x2

24x

16

x3

9x2

24x 16 ,

f

x

f x , f

x

f x .

Следовательно,

f

x не является ни четной, ни нечетной функцией.

В

выражение

f

x не

входят

периодические

функции, значит, f

x не

является периодичной.

3.

Непрерывность.

Функция определена при всех значениях х,

f

x

не

имеет

точек

разрыва. Определим поведение функции на концах области определения

lim f

x

lim

x3 9x2

24x

16

lim x3 1

9

24

16

,

x

x2

x3

x

x

x

аналогично получим, что

lim f

x

lim

x3

9x2

24x

16

.

x

x

Знак определяется знаком старшего члена х3 .

Таким образом, слева (при х

) график функции уходит неограниченно

вниз, а справа (при х

) – неограниченно вверх.

4.

Асимптоты.

а) а) так как

функция

f

x не

имеет точек

разрыва

и

является

многочленом третьей степени, то вертикальных асимптот нет;

б)

б) так как

k

lim

f x

lim

x3

9x2

24x

16

lim

x2

9

24

16

,

x

x

x

x2

x

x

x

то наклонных (горизонтальных) асимптот нет.

5. Нули и интервалы знакопостоянства.

Найдем точки пересечения с осями координат.

С осью оу:

f

0

03

9 02

24 0

16

16 .

Получили точку (0, –16).

С осью ох: решаем кубическое уравнение:

x3

9x2

24x 16 0 .

Действительными корнями уравнения могут являться делители свободного

члена, равного 16. Т. е. такими корнями могут быть числа

1,

2,

4,

8, 16.

При x 1 получаем 13

9 12

24 1

16

0 , следовательно, x

1 является

корнем кубического уравнения. Тогда многочлен x3

9x2

24x 16 делится на

(х 1)

без остатка (выполняем деление «уголком»):

x3

9x2

24x

16

x

1

x

3

x

2

x2

8x

16

8x2

24x

16

8x2

8x

16x

16

16x

16

0

Таким образом,

x3

9x2

24x 16 x 1 x2

8x 16

x 1 x 4 2 .

Следовательно, график функции пересекает ось ох в точках (1, 0) и (4, 0).

Составим таблицу:

х

(–

, 1)

(1, 4)

(4, + )

f

x

–

+

+

6. Интервалы монотонности и экстремумы.

Найдем f

x

:

f x x3 9x f x 0 3x

2

2

24x 16 3x2 18x 24 ;

18x 24 0

x2 6x 8 0

D 36 4 1 8 4

x1

2, x2

4.

Составим таблицу:

х

(–

, 2)

2

(2, 4)

4

(4, +

)

f

x

+

0

–

0

+

f

x

4

0

max

min

7.

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

f x

3x2

18x 24

6x 18,

f x 0

6x 18 0

x

18

3 .

6

Определим интервалы знакопостоянства второй производной f x :

	х	(– , 3)	3	(3, + )
f	x	–	0	+
f	x	выпукла	2	вогнута

перегиб

8. Построение графика.

Для построения графика (рис. 33) можно взять дополнительные точки. Например, (5, 4).

f(x)

4

2

0	1	2	3	4	5	х

f x x3 9x2 24x 16

–16

Рис. 33

9. Область значений.

На основании построенного графика получаем, что

Е(у) = (–∞, +∞).

Пример 5. Опираясь на график функции f x (рис. 34) для ее производной

fxнайдите:

1)область существования;

2)нули, интервалы знакопостоянства и разрывы (установить их характер);

3)вертикальные и горизонтальные асимптоты;

4)интервалы монотонности и экстремумы.

Используя результаты проведенного исследования, постройте схематически график f x .

Решение 1. Область существования.

f

x

определена

в

точке х0 , если

в точке ( х0 ,

f x0

)

существует

касательная к графику, и она не вертикальна. Следовательно:

D( f

x ) = (–

, –5)

(–5, 0)

(0, 1)

(1, 3)

(3, +

).

2. Нули, интервалы знакопостоянства и точки разрывов.

х

(– , –6)

–6

(–6, –5)

–5

(–5,–4)

–4

(–4, 0)

гладкий

касательная

гладкий

f

x

к графику

минимум

максимум

вертикальна

разрыв 2-го

f x

< 0

= 0

> 0

рода

> 0

= 0

< 0

f

(

5

0)

f

(

5

0)

х

0

(0, 1)

1

(1, 3)

3

(3,+

)

неустранимый

разрыв 2-го

негладкий

f

x

разрыв

рода

минимум

1-го рода

устранимый

разрыв 1-го

разрыв

разрыв 2-го

рода

1

рода

f x

f (0 0)

< 0

< 0

1

> 0

f

(1

0)

f

(3

0)

2

2

1

f

(1

0)

f

(0 0)

f

(3

0)

2

2

3. Вертикальные и горизонтальные асимптоты.

Вертикальные: х = –5, х = 1.

Горизонтальные:

f

2 , при х

–

;

			f 0 ,	при х + .
4. Интервалы монотонности и экстремумы.
	х		(– , –5)	–5		(–5,–2)	–2	(–2, 0)	0
f	x	:	вниз	перегиб		вверх	перегиб	вниз	разрыв
				на			гладкий
направление
				вертикали			(наклон)
выпуклости;
точки перегиба
				не					Не
f	x		0			0	0	0	существу
				существует
									ет
				не			минимум		Не
f	x								существу
				существует			–2
									ет

	х		(0, 1)	1	(1, 3)	3	(3, + )
f	x :		вверх	разрыв	вниз	перегиб с	вверх
						изломом
направление
выпуклости;
точки перегиба
f	x		0	Не	0	Не	0
				существует		существует
f	x			Не существует		Не
						существует
График функции			f x представлен на рис. 35.

	f (x)
	3
	2
	1
-8 -7 -6 -5 -4 -3	-2 -1 0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	х
	-1
	-2
	-3

Рис. 34

f(x)

3

2

1

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1 2

3

4 5 6

7 8 9

х

-1

-2

-3

Рис. 35

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа [Текст] / А.Ф. Бермант. – М.: Наука, 1965. – 664 с.

2.Бронштейн, И.Н. Справочник по математике [Текст] / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М.: Наука, 1986. – 531 с.

3.Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике [Текст] / М.Я. Выгодский. – М.: Изд. техн.-теорет. лит., 1956. – 762 с.

4.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1. [Текст] / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высш. шк., 1996.

5.Дюков, В.П. Высшая математика. Часть 1. [Текст]: учеб. пособие / В.П. Дюков, Ю.Г. Костына, Д.А. Крымских, Г.П. Мартынов. – Новосибирск: СГГА,

2000. – 102 с.

6.Козачек, З.М. Типовой расчет «Приложения дифференциального исчисления функции одной переменной» [Текст]: метод. указания / З.М. Козачек. – Новосибирск: НИИГАиК, 1989. – 35 с.

7.Мартынов, Г.П. Математика для самостоятельного изучения. Ч. 1. [Текст] / Г.П. Мартынов. – Новосибирск: Общественная инициатива, 2006. –

219 с.

8.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. [Текст]

/Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1972.