Лекции по Матанализу ч
.3.pdfК У Р С
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Часть 3
2011
Оглавление |
|
Оглавление....................................................................................................................................................................... |
2 |
Интегральное исчисление функции одной переменной. ......................................................................................... |
3 |
Первообразная функция. Неопределенный интеграл. ........................................................................................... |
3 |
Методы интегрирования. .......................................................................................................................................... |
3 |
Непосредственное интегрирование. .................................................................................................................... |
3 |
Способ подстановки (замены переменных). ...................................................................................................... |
4 |
Интегрирование по частям. .................................................................................................................................. |
6 |
Интегрирование элементарных дробей................................................................................................................... |
7 |
Интегрирование рациональных функций. ............................................................................................................... |
9 |
Интегрирование некоторых тригонометрических ............................................................................................ |
13 |
функций. ...................................................................................................................................................................... |
13 |
Интегрирование некоторых иррациональных функций. .................................................................................... |
16 |
Несколько примеров интегралов, не выражающихся через ............................................................................... |
21 |
элементарные функции. ........................................................................................................................................... |
21 |
Определенный интеграл.............................................................................................................................................. |
23 |
Определение определённого интеграла. ................................................................................................................. |
23 |
Свойства определенного интеграла. ...................................................................................................................... |
25 |
Формула Ньютона-Лейбница .................................................................................................................................. |
26 |
Методы вычисления определенного интеграла.................................................................................................... |
27 |
Замена переменных............................................................................................................................................... |
27 |
Интегрирование по частям. ................................................................................................................................ |
29 |
Приближенное вычисление определенного интеграла........................................................................................ |
32 |
Формула прямоугольников. ................................................................................................................................... |
32 |
Формула трапеций. ................................................................................................................................................. |
32 |
Формула парабол (формула Симпсона или квадратурная формула). ................................................................ |
33 |
Геометрические приложения определенного интеграла.................................................................................... |
35 |
Вычисление площадей плоских фигур. ............................................................................................................ |
35 |
Нахождение площади криволинейного сектора.............................................................................................. |
36 |
Вычисление длины дуги кривой. ....................................................................................................................... |
36 |
Вычисление объемов тел. .................................................................................................................................... |
37 |
Объем тел вращения............................................................................................................................................. |
39 |
Несобственные интегралы. ......................................................................................................................................... |
41 |
Определение несобственного интеграла 1-го рода............................................................................................... |
41 |
Несобственные интегралы 1-го рода от знакопостоянных функций. ............................................................. |
42 |
Абсолютная и условная сходимость интегралов 1-го рода................................................................................ |
43 |
Несобственные интегралы 2-го рода. .................................................................................................................... |
44 |
Применение основной формулы интегрального исчисления. ............................................................................. |
45 |
Связь между несобственными интегралами 1-го и 2-го рода. ........................................................................... |
46 |
Главные значения несобственных интегралов..................................................................................................... |
47 |
2
Интегральное исчисление функции одной переменной.
Первообразная функция. Неопределенный интеграл.
Определение: Функция F x называется первообразной функцией функции |
f x |
|
на отрезке a,b , если в любой точке этого отрезка верно равенство: |
|
|
F x f x . |
|
|
|
|
|
Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть |
||
бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число. |
|
|
F1 x F2 x C . |
f x называется |
|
Определение: Неопределенным интегралом функции |
совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
F x C .
Записывают: f (x)dx F(x) C;
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.
Свойства:
1.f (x)dx (F (x) C) f (x);
2.d f (x)dx f (x)dx;
3.dF(x) F(x) C;
4.(u v)dx udx vdx; где u, v, w – некоторые функции от х.
1. C f (x)dx C f (x)dx;
Пример: (x2 2sin x 1)dx x2 dx 2 sin xdx dx 13 x3 2 cos x x C;
Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.
Методы интегрирования.
Рассмотрим три основных метода интегрирования.
Непосредственное интегрирование.
Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.
Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.
Интеграл |
Значение |
Интеграл |
Значение |
3
|
1 |
tgxdx |
|
|
-ln cosx +C |
|
9 |
e x dx |
|
|
|
|
|
|
|
ex + C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
ctgxdx |
|
|
|
|
|
ln sinx + C |
10 |
cos xdx |
|
|
sinx + C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
a |
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
|
|
11 |
sin xdx |
|
|
-cosx + C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
arctg |
x |
C |
12 |
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
tgx + C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a 2 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
cos 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
1 |
|
ln |
|
x a |
|
|
C |
13 |
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
-ctgx + C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 2 a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x x2 a2 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin a + C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 2 a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 x 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
x |
|
dx |
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
C |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C, 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
8 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
x |
|
C |
|
16 |
|
|
1 |
dx |
|
|
ln |
|
tg |
x |
|
C |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
|
требуется найти |
значение |
интеграла |
|
dx |
. На основе |
известной |
формулы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
дифференцирования ln x |
|
|
|
можно сделать вывод, что искомый интеграл равен ln x C , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|||||||
где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны ln( x) |
|
|
|
( 1) |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
Таким образом, окончательно можно сделать вывод:
dxx ln x C
Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.
Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.
Способ подстановки (замены переменных).
Теорема: Если требуется |
найти |
интеграл |
f (x)dx , но сложно отыскать |
|
|
|
|
первообразную, то с помощью замены x t и dx |
t dt получается: |
||
|
|
|
|
f (x)dx f ( (t)) (t)dt |
|||
Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство: |
|||
|
|
|
|
d f (x)dx d |
|
|
|
f [ (t)] (t)dt |
По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла: f x dx f t t dt
4
что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.
Пример. Найти неопределенный интеграл sin x cos xdx .
Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
dt t1/ 2 dt |
2 |
t 3 / 2 |
C |
2 |
sin 3 / 2 |
x C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример. |
x(x2 1)3 / 2 dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Замена t x2 1; |
|
dt 2xdx; |
|
dx |
|
dt |
; Получаем: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t 3 / 2 |
dt |
|
|
1 |
t 3 / 2 dt |
1 |
|
2 |
t 5 / 2 |
C |
t 5 / 2 |
|
C |
(x2 1)5 / 2 |
|
|
C; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример. tgxdx, |
|
ctgxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgxdx |
sin xdx |
|
d cos x |
ln |
|
cos x |
|
C, |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctgxdx |
cos xdx |
|
d sin x |
|
ln |
|
sin x |
|
C |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
различных типов функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Рассмотрим линейную замену переменных t ax b . Тогда |
dt adx, dx |
1 |
dt . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поэтому, если известно, что F x первообразная к f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|||||||||||||||||||||||||||||
т.е. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x dx F x C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
то первообразная к функции |
f ax b равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ax b dx 1a F ax b C
Пример. cos 2xdx 12 sin 2x C
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
C |
|
|
arctg |
|
|
|
C |
||||||||||||||||||||||||||
|
x2 a2 |
a2 |
|
x a 2 1 |
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Аналогично доказывается, что |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
x |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Вычислить интегралы |
|
|
dx |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
sin x |
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
1 |
|
sin2 x 2 cos2 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
sin x |
|
2 |
|
1 |
|
cos x 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin x |
2 |
|
sin x 2 cos x |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
cos x |
|
2 |
2 |
sin x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ln |
|
cos x |
2 |
|
ln |
|
sin x 2 |
|
C ln |
|
tg x 2 |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
t x 2 |
|
|
|
|
|
|
dx |
ln |
|
|
|
|
|
t |
|
C ln |
|
|
|
C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
tg |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos x |
sin x 2 |
sin t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведём в конце ещё несколько примеров применения метода замены переменной
Пример.
ecos2 x sin 2xdx t ecos2 x ; dt ecos2 x 2 cos x sin x sin 2x ecos2 x dx; dt t C
ecos2 x C.
Пример.
5
(2x 1)20dx 2x 1 t; |
dt 2dx; t 20 |
1 |
dt |
1 |
|
t 21 |
1 |
C |
t 21 |
C |
(2x 1)21 |
C |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
21 |
|
2 |
42 |
|
42 |
|
|||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
cos x |
|
dx sin |
3 / 2 x cos xdx sin x t; |
dt cos xdx t 3 / 2dt |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
sin3 x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2t 1 / 2 C 2sin 1 / 2 x C |
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x
Интегрирование по частям.
Способ основан на известной формуле производной произведения:
uv u v uv
где u и v – некоторые функции от x .
В дифференциальной форме: d uv udv vdu
Проинтегрировав, получаем: d (uv) udv vdu , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:
uv udv vdu |
или |
udv uv vdu ; |
Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.
Пример. x2 |
|
2 |
; dv sin xdx; |
|
x2 cos x cos x 2xdx |
|
sin xdx u x |
|
|
||||
|
du 2xdx; |
v cos x |
|
u x; |
dv cos xdx; |
x2 cos x 2 x sin x sin xdx x2 cos x 2x sin x 2 cos x C. |
||
|
|
|
|
|
du dx; |
v sin x |
|
|
Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.
Пример. |
Вычислить интегралы eax cos bxdx, |
|
|
eax sin bxdx |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
u eax; |
du aeaxdx; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
I |
|
eax cos bxdx |
|
|
eaxd sin bx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
dv cos bxdx; |
v |
sin bx |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|||
|
1 |
eax sin bx |
|
a |
sin bx eaxdx |
1 |
eax sin bx |
a |
|
eaxd cos bx |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
b |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
eax sin bx |
a |
eax cos bx |
a |
|
eaxd cos bx |
1 |
eax sin bx |
a |
eax cos bx |
|||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
b |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
a2 I b2
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.
|
a2 b2 |
I |
|
b |
|
eax sin bx |
a |
eax cos bx |
|
|
b2 |
b2 |
b2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
eax cos bxdx |
|
eax |
b sin bx a cos bx C |
||||||
|
a2 |
b2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.
Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.
Пример.
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x2 2 x 2 |
|
|
|
|
|
2 x 2 2 x 2 |
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x x 2 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x 2 |
|
|
|
2 x 2 |
|
|
|
|
|
|
2 x 2 |
|
|
2 x 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arcsin |
|
|
x |
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
5 x |
dx |
u x |
|
|
|
; |
|
|
dv e |
|
|
|
|
|
dx; |
|
1 |
|
5 x |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
5 x |
2xdx |
|
x 2 e |
5 x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 x |
dx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x |
|
|
|
|
e |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xe |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2xdx; |
|
v |
e |
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x; |
|
|
dv e |
5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xe5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
x 2 e5 x |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
5 x |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 e5 x |
|
|
|
2xe5 x |
|
|
|
2 |
|
e |
5 x |
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
du dx; |
|
v |
|
|
|
|
|
e |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x 2 e5 x |
|
|
|
2xe5 x |
|
|
|
|
|
2e5 x |
|
|
e5 x |
|
2 |
|
|
|
2x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
125 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u ln x; |
|
dv |
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
1 dx |
|
|
|
ln x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2x 2 |
|
2x 2 |
|
x |
|
2x 2 |
|
2 |
|
x3 |
2x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
dx; |
|
|
v |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
2x |
2 |
|
|
4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
u ln x; |
dv xdx; |
|
x2 |
|||||||
x ln xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
du |
dx; |
v |
|
; |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|||
|
x2 ln x |
|
|
x2 |
C |
x2 |
(2 ln x 1) C. |
|||||||
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Пример.
ln x |
x2 |
|
1 |
dx |
x2 ln x |
|
1 |
xdx |
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
x |
2 |
|
2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
dt |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2tdt |
|
|
dt |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x t; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2arctgt C 2arctg |
x C. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(x 1) x |
|
|
|
|
(t 2 |
1)t |
t 2 |
1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
2 x |
|
|
2t |
|
|
|
|
|
Интегрирование элементарных дробей.
Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:
I. |
1 |
; |
|
III. |
|
Mx N |
; |
|
|
|
|
||||
ax b |
|
|
ax2 bx c |
||||
II. |
1 |
|
; |
IV. |
|
Mx N |
|
|
|
||||||
(ax b)m |
(ax2 bx c)n |
m, n – натуральные числа (m 2, n 2) и b2 – 4ac <0.
Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.
|
|
dx |
|
1 |
|
|
dt |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
t |
|
C |
|
ln |
|
|
ax b |
|
C. |
|
|
|||||||||
ax b |
a |
|
t |
a |
a |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
II. |
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
dt |
|
|
1 |
|
|
|
|
C |
1 |
|
C; |
||||||||||||
(ax b) |
m |
|
a |
m |
a(m 1)t |
m 1 |
|
|
a(m 1)(ax b) |
m 1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III. Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ap |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Ax |
B |
|
|
|
|
|
(2x p) |
B |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
2x p |
|
|
|
Ap |
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
2 |
px q |
|
|
|
x |
2 |
px q |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
2 |
px q |
|
|
|
x |
2 |
px q |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Ap |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
2 |
|
|
|
|
2B Ap |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
x |
|
|
px q |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x |
|
px q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4q |
p |
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
arctg |
|
|
2x p |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4q p 2
Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.
Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.
Пример.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
x 3 |
C. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 6x 25 |
(x 3)2 16 |
16 |
|
1 |
16 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
7x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84x 24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84x |
24 |
|
|
|
|
|
u 6x 5; |
du 6dx; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
u 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36x 2 60x 48 |
|
(6x 5)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x 2 5x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
14u 70 24 |
|
|
|
7 |
|
|
udu |
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
du |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(u 2 |
23) |
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
C |
||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
u 2 |
23 |
3 |
u 2 23 |
3 |
|
u 2 |
23 |
6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
23 |
23 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
7 |
ln |
|
36x 2 |
60x 48 |
|
|
|
|
23 |
arctg |
6x |
5 |
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.
Пример.
|
5x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
5x 3 |
|
|
u x 3; |
du dx; |
|
|
|
|
|
5u 15 3 |
|
|
|
|
udu |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du 5 |
|
|
|
||||||
x2 6x 40 |
(x 3)2 49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 2 49 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x u 3; |
|
|
|
|
|
u 2 49 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
18 |
|
du |
|
|
5 |
|
49 |
|
|
18 |
|
u 7 |
|
|
C |
5 |
ln |
|
x2 6x 40 |
|
|
9 |
ln |
|
|
x 4 |
|
C. |
|
||||||||||||||
|
|
ln |
|
u 2 |
|
ln |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
u 7 |
|
|
x 10 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
u |
49 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа. Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.
Тогда интеграл вида |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
можно путем выделения в знаменателе полного |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(ax2 |
bx c)n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
квадрата представить в виде |
|
|
du |
|
|
. Сделаем следующее преобразование: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
(u |
2 |
s) |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
du |
|
|
|
1 |
|
s u 2 u |
2 |
du |
1 |
|
|
|
du |
|
|
1 |
|
u 2 du |
|
. |
||||||||||||
(u |
2 |
s) |
n |
s |
(u |
2 |
s) |
n |
|
s |
(u |
2 |
s) |
n 1 |
s |
(u |
2 |
s) |
n |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.
8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
udu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
u1 u; |
|
|
|
du1 du; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u |
|
2 |
|
|
s) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Обозначим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
udu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
|
|
(u |
2 |
|
|
s) |
n |
|
|
2(n |
|
1)(u |
2 |
|
s) |
n 1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 2 du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u |
2 |
|
s) |
n |
|
(2n 2)(u |
2 |
s) |
n 1 |
|
|
2n 2 |
|
|
(u |
2 |
|
s) |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для исходного интеграла получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
(u |
2 |
|
s) |
n |
|
|
|
s |
|
(u |
2 |
|
|
|
|
|
n 1 |
s(2n |
2)(u |
2 |
|
s) |
n 1 |
|
s(2n 2) |
|
(u |
2 |
s) |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 3 |
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u |
2 |
|
|
|
n |
|
|
s(2n 2)(u |
2 |
s) |
n 1 |
|
s(2n 2) |
(u |
2 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Полученная |
формула |
|
|
называется |
рекуррентной. Если |
|
|
применить |
ее |
n-1 |
раз, |
то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получится табличный интеграл |
|
|
|
|
du |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u 2 s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Mx N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mx N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 2ax b; |
|
du 2adx; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx (4a) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n dx |
|
|
|
|
|
u b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(ax |
|
bx c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2ax b)2 (4ac b2 ) |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
; s |
4ac b |
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M (u b) |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
(4a)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4a)n |
M |
|
|
|
|
|
udu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2aN Mb |
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2a |
|
|
(u |
2 |
|
|
s) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
(u |
2 |
|
s) |
n |
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
(u |
2 |
s) |
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В |
|
полученном |
|
|
|
|
равенстве |
|
первый |
интеграл |
|
|
с |
помощью |
подстановки |
t = |
u2 |
+ |
s |
приводится к табличному tdtn , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше
рекуррентная формула.
Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3u 6 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
3x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2; |
du dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(x2 |
4x 7)2 |
|
((x |
2)2 3)2 |
u 2; |
|
|
|
|
(u 2 |
3)2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
udu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
u |
2 |
3; |
|
|
3 |
|
dt |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
(u |
2 |
3) |
2 |
(u |
2 |
|
3) |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
t |
2 |
|
3 2(u |
2 |
|
3) |
3 2 |
|
u |
2 |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt 2udu; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
11u |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
arctg |
u |
C |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
11(x 2) |
|
|
|
11 |
|
|
arctg |
x |
2 |
C. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2t |
|
6(u 2 |
3) |
|
6 3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2(x2 4x 7) |
|
6(x2 4x 7) |
6 3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование рациональных дробей.
Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.
Q(x)
Теорема: Если R(x) - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x)
P(x)
которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком
9
виде: |
1 |
k |
x |
2 |
1 |
x |
2 |
r |
, то эта дробь может |
P x x a1 |
x ak |
|
p1x q1 |
|
pr x qr |
быть разложена на элементарные по следующей схеме:
|
Q(x) |
|
|
A |
|
|
|
|
|
A |
|
|
... |
|
|
A1 |
1 |
|
|
... |
|
A |
|
|
|
|
|
A |
|
|
... |
Ak |
k |
|
|
|||||||
|
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
|
|
k 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
P(x) |
x a |
|
|
(x a )2 |
(x a ) 1 |
(x a |
k |
) |
(x a |
k |
)2 |
(x a |
k |
) k |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
M |
11 |
x N |
|
|
|
|
|
|
M |
12 |
x N |
|
... |
|
|
M1 x N1 |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x2 p x q |
1 |
|
(x2 p x q )2 |
(x2 p x q ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
M r1 x Nr1 |
|
|
|
|
M r 2 x Nr 2 |
|
|
... |
|
M r r |
x Sr r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x2 p |
x q |
r |
|
(x2 p |
x q |
)2 |
(x2 p |
x q |
r |
) r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где Ai i , Mi i , Ni i |
– некоторые постоянные величины. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на элементарные. Для нахождения величин Ai i , Mi i , Ni i |
|
|
применяют так называемый метод |
неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.
Пример.
|
|
9x3 30x2 28x 88 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(x2 |
|
6x 8)(x2 |
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Т.к. |
( x2 6x 8)(x2 4) (x 2)(x 4)(x2 |
4) , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9x3 30x2 28x 88 |
|
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
|
Cx D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
(x 2)(x |
4)(x2 4) |
x |
2 |
|
x |
4 |
|
|
x2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
A(x 4)(x2 |
4) B(x 2)(x2 4) (Cx D)(x2 6x 8) 9x3 |
30x2 28x 88 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( A B C)x3 ( 4A 2B 6C D)x2 (4A 4B 8C 6D)x ( 16A 8B 8D) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9x3 |
|
30x2 28x 88. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
A B C 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C 9 A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6C D 30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4A 2B |
|
|
|
|
|
|
|
|
D 30 4 A 2B 54 6 A 6B |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4B 8C 6D 28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2B 4C 3D 14 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 A |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B D |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
16 A 8B 8D 88 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
C 9 A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C 9 A B |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
24 2 A 4B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 A 4B |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D 24 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2B 36 4A 4B 72 |
6 A 12B 14 |
|
10B 50 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2A |
4 A |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
B 24 2 A 4B 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5B 35 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 A |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
C 9 A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C 9 A B |
|
|
|
A 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
24 2 A 4B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 2 A 4B |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 A |
10B 50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 A 10B 50 |
|
|
|
C |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
50 10B 5B 35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Итого: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
dx |
|
|
3 |
|
|
dx |
x 2 |
dx 5ln |
|
x 2 |
|
|
3ln |
|
x 4 |
|
|
|
|
x |
dx |
|
|
2 |
dx |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
x |
4 |
x |
4 |
|
|
|
|
x |
4 |
x |
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5ln |
|
x 2 |
|
|
3ln |
|
x 4 |
|
|
|
|
1 |
ln(x2 |
4) arctg |
x |
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример.
10