2468
.pdf6.8.z = xe y / x ;
6.9.z = sin(x + ay);
6.10.z = cos y + (y − x)sin y ;
6.11. u = 1 e− x2 / 4ta2 ;
t
6.12. z = exy ;
6.13. z = ln( x + y );
6.14. z = x sin( y / x) ;
6.15. z = ex / y ln y ;
6.16. u = arctg(2x − t);
6.17. z = ex / y ;
6.18. u = (x − y)( y − z)(z − x) ;
6.19. z = ln(x2 + xy + y2 ) ;
6.20. z = cos( y / x) ;
6.21. |
u = 1/ x2 + y2 + z2 ; |
6.22. |
z = cos(x2 + y2 ) ; |
6.23. z = ex2 + y2 ;
6.24. u = ex (x cos y − y sin y) ;
6.25. u = cos(x − at)+ sin(x + at) ; 6.26. u = x cos(x − y)+ y sin(x + y) ;
6.27. u = xey + yex ;
6.28. z = y ln(x2 − y2 );
6.29. |
z = |
x2 |
+ |
x |
+ |
1 |
− |
1 |
; |
|
2 y |
2 |
x |
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
6.30. z = yex2 − y2 |
; |
|
|
|
|
x2 z′′ |
+ 2xyz′′ |
+ y2 z′′ |
xx |
xy |
yy |
z′′ |
|
− a2 z |
′′ |
|
|
= 0 . |
|
|
|||||||||
yy |
|
|
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x − y)z′′ |
|
= z′ . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||
u′ |
− a2u′′ |
|
= 0 . |
|
|
|
|||||||||||
t |
|
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 z′′ |
− 2xyz′′ |
|
+ y2 z′′ |
||||||||||||||
|
|
|
xx |
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
yy |
|||
xz |
′ |
+ yz |
′ |
|
= 0,5 . |
|
|
||||||||||
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xz |
′ |
+ yz |
′ |
|
= z / 2 . |
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xz |
′ |
+ yz |
′ |
|
= z / ln y . |
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u′′ |
|
+ 2u′′ |
|
= 0 . |
|
|
|||||||||||
xx |
|
|
xt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
yz |
′′ |
|
− z′ |
|
|
+ z |
′ |
|
|
= 0 . |
|||||||
|
|
xy |
|
y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
u′ |
|
+ u′ |
+ u |
′ |
= 0 . |
||||||||||||
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
xz |
′ |
+ yz′ |
= 2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xz |
′ |
+ yz′ |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u′′ |
|
+ u |
′′ |
|
+ u′′ |
= 0 . |
|||||||||||
xx |
|
|
yy |
|
|
|
|
zz |
|
|
|
|
|
||||
yz |
′ |
− xz′ |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yz |
′ |
− xz′ |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u′′ |
|
+ u |
′′ |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
xx |
|
|
yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a2u′′ |
− u |
′′ |
|
= 0 . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
xx |
|
|
tt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u′′ |
|
− 2u′′ |
|
+ u′′ |
|
|
= 0 . |
||||||||||
xx |
|
|
xy |
|
|
|
yy |
|
|
|
|||||||
u′′ |
|
+ u |
′′ |
|
= xu . |
|
|
|
|||||||||
xx |
|
|
yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
z |
′ |
+ |
1 |
|
z |
′ |
|
= |
|
|
|
z |
. |
|||
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
y2 |
|||||||
x2 z′ |
+ y2 z |
′ |
= |
x3 |
. |
||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
z |
′ |
+ |
1 |
|
z |
′ |
|
= |
|
|
|
z |
. |
|||
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
y2 |
=0 .
+2xyz = 0 .
21
З А Д А Н И Е № 7
Даны функция z = f (x, y) и точка М(х, у). С помощью полного дифференциала вычислить приближенное значение функции z = f (x, y) в данной точке. Вычислить точное значение функции в точке М0(х0, у0) и оценить относительную погрешность вычислений.
7.1. |
z = 2x2 − 3y2 + 2x −1 ; |
М(1,02; 0,95); |
М0(1; 1). |
7.2. |
z = 4x2 − 3y2 + 7xy − 2 ; |
М(0,09; 0,99); |
М0(0; 1). |
7.3. |
z = 3x2 + y2 − 4x ; |
М(1,02; 0,95); |
М0(1; 1). |
7.4. |
z = 5x2 − y2 + 2 y − 2 ; |
М(1,02; 4,05); |
М0(1; 4). |
7.5. |
z = 3x2 + 2 y2 − 5x + 6 ; |
М(3,01; 2,03); |
М0(3; 2). |
7.6. |
z = x2 − y2 + 3xy −1 ; |
М(2,01; 2,95); |
М0(2; 3). |
7.7. |
z = x2 + xy + y2 ; |
М(1,02; 1,96); |
М0(1; 2). |
7.8. |
z = 3x2 − xy + x + y ; |
М(1,06; 2,92); |
М0(1; 3). |
7.9. |
z = x2 + 3xy − 6 y ; |
М(3,96; 1,03); |
М0(4; 1). |
7.10. |
z = x2 − y2 + 6x + 3y ; |
М(2,02; 2,97); |
М0(2; 3). |
7.11. |
z = x2 + 2xy + 3y2 ; |
М(1,96; 1,04); |
М0(2; 1). |
7.12. |
z = x2 + y2 + 2x + y −1 ; |
М(1,98; 3,91); |
М0(2; 4). |
7.13. |
z = 3x2 + 2 y2 − xy ; |
М(–0,98; 2,97); |
М0(–1;3). |
7.14. |
z = x2 − y2 + 5x + 4 y ; |
М(3,02; 2,98); |
М0(3; 3). |
7.15. |
z = 2xy + 3y2 − 5x ; |
М(3,04; 3,95); |
М0(3; 4). |
7.16. |
z = xy + 2 y2 − 2x ; |
М(0,97; 2,05); |
М0(1; 2). |
7.17. |
z = x2 − 3xy − 4 y ; |
М(3,01; 3,98); |
М0(3; 4). |
7.18. |
z = 5x2 − 3y2 + 2 ; |
М(0,85; 3,98); |
М0(1; 4). |
7.19. |
z = 2x2 − y2 − 6x ; |
М(2,01; 0,97); |
М0(2; 1). |
7.20. |
z = y2 − 4x2 + 2 ; |
М(1,98; 3,03); |
М0(2; 3). |
7.21. |
z = 5y2 + 3x2 −1; |
М(1,03; 0,98); |
М0(1; 1). |
7.22. |
z = x2 + y2 − 2x + 2 y ; |
М(1,08; 1,94); |
М0(1; 2). |
7.23. |
z = x2 + y2 − 4x + 2 y ; |
М(2,98; 2,05); |
М0(3; 2). |
7.24. |
z = 2 y2 + 9x + y ; |
М(1,96; 1,04); |
М0(2; 1). |
7.25. |
z = 2x2 + 3xy + y2 ; |
М(0,96; 1,95); |
М0(1; 2). |
|
|
22 |
|
7.26. |
z = x2 + y2 + 3x + 2 y − 1; |
М(2,98; 3,91); |
М0(3; 4). |
|
7.27. |
z = x2 |
+ 2xy − 3y2 ; |
М(2,97; 0,99); |
М0(3; 1). |
7.28. |
z = x2 |
+ 2xy − 5y ; |
М(4,98; –2,01); |
М0(5; –2). |
7.29. |
z = x2 |
− y2 + 6x + 3y ; |
М(1,97; 2,98); |
М0(2; 3). |
7.30. |
z = 3x2 + 2 y2 − x ; |
М(–1,02; 3,03); |
М0(–1; 3). |
З А Д А Н И Е № 8
Дана функция z = f (x, y), точка А(х0; у0) и вектор а . Найти а) grad z в точке А и его численное значение; б) производную функции в точке А по направлению
вектора а . |
|
|
|
8.1. |
z = 2x2 + xy ; |
А(–1; 1); |
а = 3i + 4 j . |
8.2. |
z = 5x2 y + 3xy2 ; |
А(1; –1); |
а = 6i − 8 j . |
8.3. |
z = 3x2 y − xy3 ; |
А(–1; 1); |
а = i − j . |
8.4. |
z = 5x2 y − 4xy ; |
А(3; 4); |
а = 3i − 5 j . |
8.5. |
z = 6xy2 − 7x + 2 ; |
А(2; 3); |
а = 4i − 3 j . |
8.6. |
z = 4x2 y − 3x + 2 y ; |
А(2; 2); |
а = 2i − 3 j . |
8.7. |
z = x3 y + xy2 ; |
А(1; 3); |
а = −5i + 12 j . |
8.8. |
z = 5x2 − 2xy + y2 ; |
А(1; 1); |
а = 2i − j . |
8.9. |
z = 6x3 y − 5y + 7x2 ; |
А(1; 2); |
а = 3i − 4 j . |
8.10. |
z = 6x2 − 3xy + y3 ; |
А(1; –2); |
а = i + 2 j . |
8.11. |
z = x3 + 2xy + y2 ; |
А(–1; 2); |
а = 3i − 4 j . |
8.12. |
z = x2 + xy + y2 ; |
А(1; 1); |
а = 2i − j . |
8.13. |
z = 2x2 + 3xy + y2 ; |
А(2; 1); |
а = 3i − 4 j . |
8.14. |
z = 3x2 − 5y2 + x ; |
А(–1; 1); |
а = 3i + 2 j . |
8.15. |
z = 3x2 − 6x2 y ; |
А(1; 1); |
а = 2i − 4 j . |
8.16. |
z = 5x2 + 4xy ; |
А(2; 1); |
а = i + 2 j . |
8.17. |
z = x2 + y2 − 7 y ; |
А(2; 3); |
а = 4i − 3 j . |
8.18. |
z = 3x2 − 2xy ; |
А(1; 2); |
а = −5i + 2 j . |
8.19. |
z = 5y2 + 4x − 2 y ; |
А(1; 3); |
а = 2i − j . |
8.20. |
z = 3x4 + 2x2 y2 ; |
А(–1; 2); |
а = 4i − 3 j . |
|
|
23 |
|
8.21. |
z = 3x2 y3 + 5xy2 ; |
А(1; 1); |
|
|
а = 2i + j . |
||||
8.22. |
z = x2 + xy + y2 + 2x + 2 y ; |
А(1; 1); |
|
|
а = 3i + 4 j . |
||||
8.23. |
z = x3 y − 5xy2 + 8 ; |
А(1; –1); |
|
а = i + j . |
|||||
8.24. |
z = 6x2 − 3xy + 4 y ; |
А(1; 2); |
|
|
а = 6i + 8 j . |
||||
8.25. |
z = 2x2 + 2x − y ; |
А(0; 3); |
|
|
а = i − j . |
||||
8.26. |
z = x2 |
− xy + y2 ; |
А(1; –1); |
|
а = −6i + 8 j . |
||||
8.27. |
z = 3x2 − 2x + y ; |
А(1; 1); |
|
|
а = −3i + 4 j . |
||||
8.28. |
z = x + 4 y2 − 2xy ; |
А(3; 4); |
|
|
а = i − j . |
||||
|
|
2 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
8.29. |
z = x |
|
− xy + 3y ; |
A − |
|
; |
|
; |
а = 6i + 8 j . |
|
3 |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8.30. |
z = x2 |
− 2xy + 3y − 1; |
А(1; 2); |
|
|
а = 3i − 4 j . |
З А Д А Н И Е № 9
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в ограниченной замкнутой области D. Область D изобразить на чертеже.
10.1.z = x3 + y3 – 3xy;
10.2.z = x2 – y2;
10.3.z = x2 – xy + y2 – 4x;
10.4.z = x2 + 3y2 + x – y;
10.5.z = 0,5x2 – xy;
10.6.z = x2 – xy + y2 + x + y;
10.7.z = 2x2 – 6xy + 3y2 – y;
10.8.z = x2 – xy – 2;
10.9.z = 10 – x2 + 2xy;
10.10.z = x2 + 2xy – y2 + 4x;
10.11.z = x2 – y2 + 3xy + 7;
10.12.z = x2 + 2y2 – 1;
10.13.z = 3 – x2 – xy – y2;
10.14.z = x2 + y2 + x – y;
10.15.z = x2 +2xy + 2y2;
10.16.z = 3x2 – 3xy +y2 + 1;
10.17.z = 5 + 2xy – x2;
10.18.z = x2 – 2xy – y2 + x;
10.19.z = x2 – xy – 2;
10.20.z = x2 + xy + 3y2;
10.21.z = xy (1 – x – у);
D: 0 ≤ x ≤ 2, –1 ≤ y ≤ 2.
D: x2 + y2 ≤ 1. |
|
D: x ≥ 0, |
y ≥ 0; 2x + 3y – 12 ≤ 0. |
D: x ≤ 1, |
y ≤ 1, x + y ≤ 1. |
D: y ≥ x2 / 3; |
y ≤ 3. |
|
D: x ≤ 0, |
y ≤ 0; |
x + y ≥ –3. |
D: x ≥ 0, |
y ≤ 2; y ≥ x2 / 2. |
D: 4x2 – 4 ≤ y ≤ 0; –1≤ y ≤ 2. D: 0 ≤ y ≤ 4 – x2; –1≤ y ≤ 2.
D: x ≤ 0, y ≤ 0; x + y ≥ –3. D: –2 ≤ x ≤ 2, –2 ≤ y ≤ 2. D: x ≥ –2, y ≥ –2, x + y ≤ 4. D: x ≤ 1, y ≥ –1, x +1 ≥ y. D: x ≥ 1, y ≥ –1, x + y ≤ 2. D: –1 ≤ x ≤ 1, –1 ≤ y ≤ 3.
D: x ≥ –1, y ≥ –1, x + y ≤ 1. D: –1 ≤ y ≤ 4 – x2.
D: x ≤ 0, y ≤ 1, x + y + 2 ≥ 0. D: 4x2 – 4 ≤ y ≤ 1.
D: –1 ≤ x ≤ 1, –1 ≤ y ≤ 1. D: х ≥ 0, у ≥ 0, х + у ≤ 2.
24
10.22. z = 3х2 + 3у2 – 2х – 2у + 2; |
D: х ≥ 0, |
у ≥ 0, |
х + у ≤ 1. |
||
10.23. z = х3 |
+ у3 – 3ху; |
D: х ≥ 0, |
у ≥ 0, |
х + у ≤ 3. |
|
10.24. z = х2у (2 – х – у); |
D: х ≥ 0, |
у ≥ 0, |
х + у ≤ 6. |
||
10.25. z = z = х2у; |
|
D: х2 + у2 ≤ 1. |
|
||
10.26. z = х2 |
+ 2ху – у2 |
– 4х; |
D: х ≤ 3, |
у ≥ 0, |
у ≤ 2х. |
10.27. z = х2 |
+ 2ху – у2 |
– 2х + 2у; |
D: 0 ≤ х ≤ 2, у ≥ 0, у – х ≤ 2. |
||
10.28. z = х2у (4 – х – у); |
D: х ≥ 0, у ≥ 0, |
х + у ≤ 6. |
|||
10.29. z = 2х3 + 4х2 + у2 – 2ху; |
D: у ≥ х2, |
у ≤ 4. |
|||
10.30. z = 3ху; |
|
D: х2 + у2 ≤ 2. |
|
З А Д А Н И Е № 1 0
Экспериментально получены пять значений искомой функции y = f (x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию y = f (x) вида y = ax + b.
10.1. |
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
10.2. |
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
yi |
3,2 |
4,2 |
2,7 |
0,7 |
1,2 |
|
yi |
3,4 |
4,4 |
2,9 |
0,9 |
1,4 |
10.3. |
|
|
|
|
|
|
10.4. |
|
|
|
|
|
|
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
yi |
3,6 |
4,6 |
3,1 |
1,1 |
1,6 |
|
yi |
3,8 |
4,8 |
3,3 |
1,3 |
1,8 |
10.5. |
|
|
|
|
|
|
10.6. |
|
|
|
|
|
|
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
yi |
4 |
5 |
3,5 |
1,5 |
2 |
|
yi |
2,8 |
3,8 |
2,3 |
0,3 |
0,8 |
10.7. |
|
|
|
|
|
|
10.8. |
|
|
|
|
|
|
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
yi |
4,1 |
5,1 |
3,6 |
1,6 |
2,1 |
|
yi |
4,4 |
5,4 |
3,9 |
1,9 |
2,4 |
10.9. |
|
|
|
|
|
|
10.10. |
|
|
|
|
|
|
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
yi |
4,6 |
5,6 |
4,1 |
2,1 |
2,6 |
|
yi |
4,8 |
5,8 |
4,3 |
2,3 |
2,8 |
10.11. |
|
|
|
|
|
|
10.12. |
|
|
|
|
|
|
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
yi |
4,3 |
5,3 |
3,8 |
1,8 |
2,3 |
|
yi |
4,5 |
5,5 |
4,0 |
2,3 |
2,5 |
10.13. |
|
|
|
|
|
|
10.14. |
|
|
|
|
|
|
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
10.15. |
yi |
4,7 |
5,7 |
4,2 |
2,2 |
2,0 |
10.16. |
yi |
4,9 |
5,9 |
4,4 |
2,4 |
2,9 |
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
yi |
5,0 |
6,1 |
4,6 |
2,6 |
3,1 |
|
yi |
3,9 |
4,9 |
3,4 |
1,4 |
1,9 |
10.17. |
|
|
|
|
|
|
10.18. |
|
|
|
|
|
|
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
yi |
5,2 |
6,2 |
4,7 |
2,7 |
3,2 |
|
yi |
5,5 |
6,5 |
5,0 |
3,0 |
3,5 |
10.19. |
|
|
|
|
|
|
10.20. |
|
|
|
|
|
|
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
yi |
5,7 |
6,7 |
5,2 |
3,2 |
3,7 |
|
yi |
5,9 |
6,9 |
5,4 |
3,4 |
3,8 |
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
10.21. |
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
10.22. |
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
yi |
4,3 |
5,3 |
3,8 |
1,8 |
2,8 |
|
yi |
4,5 |
5,5 |
4,0 |
2,3 |
2,7 |
10.23. |
|
|
|
|
|
|
10.24. |
|
|
|
|
|
|
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
yi |
4,7 |
5,7 |
4,2 |
2,2 |
2,7 |
|
yi |
4,9 |
5,9 |
4,4 |
2,5 |
2,3 |
10.25. |
|
|
|
|
|
|
10.26. |
|
|
|
|
|
|
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
yi |
5,1 |
6,1 |
4,6 |
2,6 |
3,1 |
|
yi |
3,9 |
4,9 |
3,4 |
1,6 |
1,2 |
10.27. |
|
|
|
|
|
|
10.28. |
|
|
|
|
|
|
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
yi |
5,2 |
6,2 |
4,7 |
2,8 |
3,1 |
|
yi |
5,5 |
6,5 |
5,4 |
3,1 |
3,5 |
10.29. |
|
|
|
|
|
|
10.30. |
|
|
|
|
|
|
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
yi |
5,7 |
6,7 |
5,2 |
3,4 |
3,0 |
|
yi |
5,9 |
6,9 |
5,4 |
3,4 |
3,9 |
З А Д А Н И Е № 1 1
Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности S в точке М0(х0, у0, z0). Записать нормальный вектор к поверхности S в точке
М0(х0, у0, z0).
11.1. |
S: x2 + y2 + z2 + 6z – 4x + 8 = 0, |
M0(2, 1, –1). |
11.2. |
S: x2 + z2 – 4y2 = –2xy, |
M0(–2, 1, 2). |
11.3. |
S: x2 + y2 + z2 + 3z – xy = 7, |
M0(1, 2, 1). |
11.4. |
S: x2 + y2 + z2 + 6y + 4x = 8, |
M0(–1, 1, 2). |
11.5. |
S: 2x2 – y2 + z2 – 4z + y = 13, |
M0(2, 1, –1). |
11.6. |
S: x2 + y2 + z2 – 6y + 4z + 4 = 0, |
M0(2, 1, –1). |
11.7. |
S: x2 + z2 – 5yz + 3y = 46, |
M0(1, 2, –3). |
11.8. |
S: x2 + y2 – xz – yz = 0, |
M0(0, 2, 2). |
11.9. |
S: x2 + y2 + 2yz – z2 – y – 2z = 2, |
M0(1, 1, 1). |
11.10. |
S: x2 + y2 – z2 – 2xz + 2x – z = 0, |
M0(1, 1, 1). |
11.11. |
S: z = x2 + y2 – 2xy + 2x – y, |
M0(–1, –1, –1). |
11.12. |
S: z = –x2 + y2 + 2xy – 3y, |
M0(1, –1, 1). |
11.13. |
S: z = x2 – y2 – 2xy – x – 2y, |
M0(–1, 1, 1). |
11.14. |
S: x2 – 2y2 + z2 + xz – 4y – 13 = 0, |
M0(3, 1, 2). |
11.15. |
S: 4y2 – z2 + 4xy – xz + 3z = 9, |
M0(1, –2, 1). |
11.16. |
S: z = x2 + y2 – 3xy – x + y + 2, |
M0(2, 1, 0). |
11.17. |
S: 2x2 – y2 + 2z2 + xy + xz = 3, |
M0(1, 2, 1). |
11.18. |
S: x2 – y2 + z2 – 4х + 2y = 14, |
M0(3, 1, 4). |
11.19. |
S: x2 + y2 – z2 + xz + 4у = 4, |
M0(1, 1, 2). |
11.20. |
S: x2 – y2 – z2 + xz + 4x = –5, |
M0(–2, 1, 0). |
11.21. |
S: x2 + y2 – xz + yz – 3x = 11, |
M0(1, 4, –1). |
11.22. |
S: x2 + 2y2 + z2 – 4xz = 8, |
M0(0, 2, 0). |
11.23. |
S: x2 – y2 – 2z2 – 2y = 0, |
M0(–1, –1, 1). |
11.24. |
S: x2 + y2 – 3z2 + xy = –2z, |
M0(1, 0, 1). |
|
26 |
|
11.25. |
S: 2x2 – y2 + z2 – 6x + 2y = –6, |
M0(1, –1, 1). |
||
11.26. |
S: x2 + y2 – z2 + 6xy – z = 8, |
M0(1, 1, 0). |
||
11.27. |
S: z = 2x2 – 3y2 + 4x – 2y + 10, |
M0(–1, 1, 3). |
||
11.28. |
S: z = x2 |
+ y2 – 4xy + 3x – 15, |
M0(–1, 3, 4). |
|
11.29. |
S: z = x2 |
+ 2y2 + 4xy – |
5y – 10, |
M0(–7, 1, 8). |
11.30. |
S: z = 2x2 – 3y2 + xy + |
3x + 1, |
M0(1, –2, 2). |
Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Т И П О В О Г О В А Р И А Н Т А К О Н Т Р О Л Ь Н О Й Р А Б О Т Ы № 4
|
2 З а д а н и е |
№ |
6 . |
|
Дана функция z = e− cos(x + 3y) . Показать, что F=0, |
||||||||||||||||||||
где F = 9 |
∂ 2 z |
− |
∂ 2 z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂x2 |
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Р е ш е н и е . |
|
Вычислим |
|
∂z |
; |
|
∂z |
; |
∂ 2 z |
; |
∂ 2 z |
: |
||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
∂y |
∂x2 |
∂y |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
∂z |
= e−cos(x+3 y) sin(x + |
3y); |
|
∂z |
|
= e−cos(x+3 y) sin(x + 3y) 3 ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂ 2 z = (e−cos( x+3 y) sin(x + 3y))′ = e−cos( x+3 y) |
sin 2 (x + 3y) + e− cos( x+3 y) cos(x + 3y) ; |
|||||||||||||||||||||||
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∂ 2 z |
= (3e−cos(x+3 y) sin(x + 3y))′ |
|
= 9e−cos( x+3 y) |
sin 2 (x + 3y) + 9e− cos( x+3 y) cos( x + 3y) . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
= 9 |
∂ 2 z − |
∂ 2 z |
= 9(e−cos( x+3 y) sin 2 (x + 3y) + e−cos( x+3 y) cos(x + 3y)) − |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x2 |
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
− 9e− cos(x+3 y) sin 2 (x + 3y) − 9e− cos(x+3 y) cos(x + 3y) = 0 . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
F ≡ 0 , что и требовалось доказать. v |
||||||
|
2 З а д а н и е |
№ |
7 . |
Даны функция |
z = x2 + 2xy − 3y2 и точка M(1,97; |
0,99). С помощью полного дифференциала вычислить приближенное значение функции z = f (x, y) в данной точке. Вычислить точное значение функции в точке M0(2; 1) и оценить относительную погрешность вычислений.
Р е ш е н и е . Найдем частные производные и полный дифференциал данной функции в любой точке (х, у)
|
∂z |
= 2x + 2 y , |
|
∂z |
= 2x − 6 y . |
|
∂x |
|
∂y |
||
Тогда полный дифференциал dz = (2x + 2 y)dx + (2x − 6 y)dy . |
|||||
Вычислим dz в точке М0(2, 1) при приращениях |
|||||
dx = x = х – х0 = 1,97 − 2 = −0,03, |
dy ≈ y = у – у0 = 0,99 − 1 = −0,01, |
||||
|
|
|
27 |
|
|
dz = (2 2 + 2 1)(−0,03) + (2 2 − 6 1)(0,01) = −0,18 + 0,02 = −0,16. Найдем z(M0) = 22 + 2 2 1 − 3 12 = 5.
Тогда z = z(M ) ≈ z(M 0 ) + dz = 5 − 0,16 = 4,84 – приближенное значение функ-
ции в точке М.
Вычислим точное значение функции z в точке М
z = 1,972 + 2 1,97 0,99 − 3 0,992 = 3,8809 + 3,9006 − 2,9403 = 4,8412.
Найдем относительную погрешность
δ = |
|
z − z |
|
100 % = |
4,8412 − 4,84 |
100 % ≈ 0,025 % |
|
|
|
||||||
z |
4,84 |
||||||
|
|
|
|
|
Ответ: Приближенное значение z = 4,84 , относительная погрешность δ ≈ 0,025 % . v
2З а д а н и е 8 . Дана функция z = 3x2 − 5xy + 7y; точка А(2, 1) и вектор
а= (4, 3) . Найти а) grad z в точке А и его численное значение; б) производную
вточке А по направлению вектора а .
Р е ш е н и е . а) По определению градиента grad z = |
∂z |
i |
+ |
∂z |
j . |
||||||||||||||||||||||||||||||
∂x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
||
Значение градиента в точке А определяется по формуле |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
grad z |
|
A |
= |
|
∂z |
|
i |
+ |
∂z |
|
|
j . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найдем частные производные в точке А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∂z |
|
|
= 6 2 − 5 1 = 7 ; |
|
∂z |
|
|
|
|
|
= −5 2 − 7 = −3 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
= 6x − 5y |
|
|
|
|
= −5x − 7 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
A |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
A |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, grad z |
|
A |
= 7i − 3 j , |
grad z |
A |
= |
|
|
|
72 + (−3)2 = |
58 – численное |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
значение grad z( А) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) Производную от функции z по направлению вектора a |
в точке А опреде- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
лим из соотношения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
∂z |
|
|
|
cos α + |
|
∂z |
|
|
cosβ , |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂а |
∂x |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где cos α и cos β – направляющие косинусы данного вектора a = (аx , ay ) , кото-
рые вычисляются по формулам |
|
cos α = |
a |
x |
|
; cosβ = |
ay |
; a |
= ax2 + a2y . Тогда |
||||
|
|
a |
|
|
|
a |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a = 42 + 32 = 25 = 5 , cos α = |
4 |
; cosβ = |
3 |
, |
|
|
|
|
|
||||
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
|
∂z |
|
|
= 7 |
4 |
− 3 |
3 |
= |
28 |
− |
9 |
|
= 3 |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∂a |
|
A |
5 |
5 |
5 |
5 |
|
5 |
|
|
|
∂z |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ответ: grad z |
|
A |
= 7i − 3 j ; |
grad z |
|
= |
58 ; |
|
|
= 3,8 . v |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
A |
∂a |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 З а д а н и е 9 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z= х2 + 4ху – у2 – 6х – 2у
вобласти D: x ≥ 0, y ≥ 0; 2x + 3y – 6 ≤ 0. Выполнить чертеж области D.
Р е ш е н и е . |
1. |
Найдем критические точки функ- |
||||
ции z = х2 + 4ху – у2 – 6х – 2у: |
|
|
|
|||
z′ = 2х + 4у – 6; |
z′ |
= 4х – 2у – 2. |
||||
x |
|
|
y |
|
|
|
Решим систему уравнений |
|
|
|
|||
2x + 4 y − 6 = 0, |
|
x = 3 − 2 y, |
|
|
x = 1, |
|
|
|
2 y = 2 |
|
|||
4x − 2 y − 2 = 0 |
|
|
4(3 − 2 y) − |
|
у = 1, |
y
B
2
D A
0 |
3 |
x |
|
Р и с. 6 |
|
и получим одну стационарную точку (1; 1), которая лежит внутри заданной области (рис. 6).
2. Найдем наибольшее и наименьшее значения z = f (x, у) на границе области, которую составляют отрезок ОА оси Ох; отрезок OВ оси Оу; отрезок AB прямой.
На отрезке ОА: у = 0; 0 ≤ х ≤ 3
z = f (x, 0) = х2 – 6х
(непрерывная функция одной переменной). Из уравнения dxdz = 0, т. е.
2х – 6 = 0,
имеем х = 3 (критическая точка, не являющаяся внутренней).
На отрезке OB: х = 0, 0 ≤ y ≤ 2
z = f (0, у) = –у2 –2 у.
Из уравнения ddzу = 0, т. е.
–2у – 2 = 0,
имеем у = –1; эта точка лежит вне отрезка [0, 2] и поэтому нас не интересует.
На отрезке АВ имеем |
|
|
||
|
х = 3 – 1,5у; |
0 ≤ у ≤ 2, |
|
|
|
z = –9 + 10y – 19у2 /4, |
0 ≤ у ≤ 2. |
|
|
Из уравнения |
dz |
= 0, т. е. 10 – 19y / 2 = 0, найдем у = 20 |
/ 19, что дает z(20 / |
|
|
||||
|
dy |
|
|
19)= –71 / 19.
3.В точках стыка участков граница имеем следующие значения f (x, у):
f (О) = f (0, 0) = 0; |
f (В) = f (0, 2) = –8; |
f (А) = f (3, 0) = –9. |
|
29 |
|
4. Сравнивая между собой вычисленные значения f (x, у), т. е. числа –4, –71 / 19, 0, –8, –9, приходим к заключению, что свое набольшее значение в данном замкнутом треугольнике функция принимает в точке О(0; 0), наименьшее –
в точке А(3, 0), при этом z наиб = z(0; 0) = 0; z наим = z(3; 0) = –9.
Ответ: z наиб = z(0; 0) = 0; z наим = z(3; 0) = –9. v
2 З а д а н и е 1 0 . Экспериментально получены пять значений искомой функции y = f (x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию y = f (x) в виде y = ax + b.
|
|
|
|
xi |
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
yi |
|
0,5 |
1 |
1,5 |
|
2 |
3 |
|
|
Р е ш е н и е . |
Составим систему |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n |
n |
|
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
∑ yi xi − a∑xi2 − b∑xi = 0, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
i=1 |
i=1 |
|
i=1 |
|
|
(1) |
|||
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
∑ yi − a∑xi − bn = 0. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
i=1 |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
||
Для этого предварительно вычислим суммы |
|
|
|
||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
∑xi |
= 1+ 2 + 3 + 4 + 5 = 15 ; |
|
∑ yi = 0,5 + 1+ 1,5 + 2 + 3 = 8 ; |
||||||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
∑xi2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55 ; |
∑xi yi = 1 0,5 + 2 1+ 3 1,5 + 4 2 + 5 3 = 30 . |
||||||||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
Подставим полученные значения в систему (1) |
15b + 55a = 30, |
||||||||||||
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 8. |
|
|
|
у = 0,6x − 0,2 |
|
|
|
|
5b + 15a |
||||||
2,5 |
|
|
|
|
Умножим второе уравнение на (−3) |
||||||||
2,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
и сложим с первым, тогда |
||||||
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10а = 6 |
а = 0,6. |
||
1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим значение а = 0,6 во |
||||
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
второе уравнение и получим |
|||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 х |
|
|
5b + 9 = 8; |
b = −0,2. |
||||
|
Следовательно, наилучшее при- |
||||||||||||
|
|
|
Р и с. 7 |
|
|
|
ближение представляется формулой |
y = ax + b = 0,6x − 0,2.
Построим график этой зависимости и нанесем на него экспериментальные точки (рис. 7).
Ответ: y = 0,6x − 0,2. v
30