контр.раб. выс.мат / контрольная высш.мат. вариант 26
.docЗадача № 1.26
В первом ящике 24 детали, из которых 16 – стандартные, во втором ящике 18 деталей, 15 из них стандартные. Из каждого ящика наугад берут по две детали. Какова вероятность того, что: а) три детали будут стандартные; б) хотя бы две детали стандартные; в) ни одной стандартной детали?
Решение
а) Среди вынутых деталей три будут стандартными, если из первого ящика вынута одна стандартная и одна нестандартная деталь, а из второго ящика две стандартные детали, либо наоборот. Вероятность того, что из первого ящика вынут одну стандартную и одну нестандартную деталь:
Вероятность вынуть из первого ящика две стандартных детали:
Находим аналогичные вероятности для второго ящика:
Тогда искомая вероятность того, что среди вынутых деталей будут три стандартные:
б) Вероятность того, что ноль деталей будут стандартными:
Вероятность того, что только одна деталь стандартная (она может быть извлечена как из первого, так и из второго ящика):
Тогда искомая вероятность того, что будет извлечено хотя бы две стандартные детали:
в) Вероятность того, что не будет извлечено ни одной стандартной детали:
Ответ: а) 0,446; б) 0,959; в) 0,002.
Задача № 2.26
Вероятность производства бракованной детали равна p. Найти вероятность того, что из взятых на проверку n деталей m бракованных.
Решение
Так как вероятность р – мала, а число n – велико, то используем формулу Пуассона. Искомая вероятность: Вычисляем:
Ответ: 0,1586.
Задача № 3.26
Охотник, имеющий n патронов, стреляет в цель до первого попадания (или пока не израсходует все патроны). Вероятность попадания при каждом выстреле равна p. Составить закон распределения СВ X – числа израсходованных патронов. Вычислить M(Х), D(X ) и σ(X ).
n=4; p=0,6.
Решение
Возможные значения СВ Х: 1; 2; 3; 4.
Находим соответствующие вероятности:
Составляем закон распределения СВ Х.
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
pi |
0,6 |
0,24 |
0,096 |
0,064 |
Проверка:
Для определения числовых характеристик СВ Х составим расчётную таблицу.
xi |
pi |
xipi |
|
1 |
0,6 |
0,6 |
0,6 |
2 |
0,24 |
0,48 |
0,96 |
3 |
0,096 |
0,288 |
0,864 |
4 |
0,064 |
0,256 |
1,024 |
∑ |
1 |
1,624 |
3,448 |
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Среднеквадратическое отклонение:
Задача № 4.26
Решение
Среднеквадратическое отклонение:
Математическое ожидание:
Плотность вероятности:
Строим график функции f(x).
Интервал практически наиболее вероятных значений СВ Х (по правилу трёх сигм):
Находим вероятности:
Здесь Ф(х) – функция Лапласа (задаётся таблично).
Так как , то для СВ Х вероятнее попасть в интервал , чем в интервал .
Задача № 5.26
2 |
4 |
2 |
0 |
4 |
2 |
0 |
5 |
1 |
1 |
3 |
0 |
0 |
2 |
4 |
3 |
2 |
1 |
3 |
0 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
3 |
1 |
|
5 |
2 |
0 |
0 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
6 |
2 |
1 |
3 |
|
3 |
1 |
3 |
1 |
5 |
4 |
2 |
3 |
4 |
3 |
5 |
5 |
3 |
|
2 |
6 |
0 |
2 |
1 |
1 |
3 |
2 |
3 |
5 |
3 |
5 |
2 |
|
5 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
Обозначим через xi варианты признака X. По условию видим, что xi принимает значения 0;1;2;3;4;5;6. Поэтому Х – дискретная СВ. Объём выборки n=70. Составляем расчётную таблицу, где на основе исходных данных заполняем первые 4 её столбца.
i |
xi |
ni |
ni/n |
F*(xi) |
xini |
pi |
ni |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
0 |
0 |
8 |
0,1143 |
0,1143 |
0 |
0 |
0,0857 |
5,999 |
8 |
0,6674 |
1 |
1 |
14 |
0,2000 |
0,3143 |
14 |
14 |
0,2105 |
14,735 |
14 |
0,0367 |
2 |
2 |
16 |
0,2286 |
0,5429 |
32 |
64 |
0,2587 |
18,109 |
16 |
0,2457 |
3 |
3 |
15 |
0,2143 |
0,7572 |
45 |
135 |
0,2118 |
14,826 |
15 |
0,0020 |
4 |
4 |
6 |
0,0857 |
0,8429 |
24 |
96 |
0,1301 |
9,107 |
6 |
1,0600 |
5 |
5 |
9 |
0,1286 |
0,9715 |
45 |
225 |
0,0639 |
6,307 |
11 |
3,4921 |
6 |
6 |
2 |
0,0285 |
1 |
12 |
72 |
0,0262 |
|||
∑ |
- |
70 |
1 |
- |
172 |
606 |
0,9869 |
- |
- |
5,5039 |
На основании столбцов 2 и 3 таблицы строим полигон частот.
Эмпирическая функция распределения: , где nx – сумма частот вариант, меньших х. На основании столбца 4 таблицы получаем:
Строим график эмпирической функции распределения.
F*(x)
1
0 1 2 3 4 5 6 x
Заполняем пятый столбец таблицы. Также на основе имеющихся данных заполняем шестой и седьмой столбцы таблицы.
Находим числовые характеристики выборки:
По виду полигона, а также из того, что почти совпадают, что является признаком распределения Пуассона, выдвинем гипотезу о том, что рассматриваемый признак Х распределён по закону Пуассона , где - математическое ожидание и дисперсия распределения. Пусть - математическое ожидание, тогда: . На основании этой формулы вычисляем теоретические вероятности и сводим их в столбец 8 таблицы. Сумма pi отличается от единицы, так как она была бы равна единице, если бы .
Сравнивая графы 4 и 8, заключаем, что распределение близко к пуассоновскому.
На основании имеющихся данных заполняем столбцы 9, 10 и 11 таблицы. Причём в этих столбцах объединены два последних интервала, так как частота в каждом интервале должна быть не меньше пяти.
По таблице находим: .
Число групп в таблице с учётом объединения k=6, число параметров распределения r=1, тогда число степеней свободы . По таблице распределения Пирсона при находим критическое значение: . Так как , то принимаем гипотезу о пуассоновском распределении генеральной совокупности.
Задача № 6.26
672 |
668 |
671 |
671 |
668 |
672 |
669 |
673 |
673 |
666 |
672 |
673 |
673 |
663 |
677 |
669 |
674 |
670 |
674 |
672 |
676 |
671 |
666 |
662 |
669 |
674 |
674 |
669 |
675 |
670 |
676 |
674 |
669 |
664 |
675 |
672 |
676 |
668 |
668 |
678 |
671 |
671 |
668 |
667 |
674 |
671 |
668 |
672 |
671 |
671 |
671 |
669 |
661 |
674 |
665 |
670 |
672 |
665 |
674 |
675 |
667 |
673 |
678 |
673 |
671 |
675 |
673 |
671 |
672 |
668 |
667 |
669 |
669 |
677 |
663 |
671 |
674 |
667 |
668 |
664 |
674 |
669 |
667 |
674 |
666 |
674 |
668 |
681 |
674 |
672 |
671 |
666 |
666 |
670 |
669 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
Так как повторяющихся значений довольно немного, то этот признак следует отнести к непрерывным. Объём выборки: n=95. Строим вариационный ряд, то есть располагаем исходные данные в порядке возрастания (в таблице 1 варианты в порядке возрастания расположены по столбцам).
Таблица 1
661 |
667 |
669 |
671 |
672 |
674 |
677 |
662 |
667 |
669 |
671 |
672 |
674 |
677 |
663 |
667 |
669 |
671 |
672 |
674 |
678 |
663 |
668 |
669 |
671 |
673 |
674 |
678 |
664 |
668 |
669 |
671 |
673 |
674 |
681 |
664 |
668 |
669 |
671 |
673 |
674 |
|
665 |
668 |
669 |
671 |
673 |
674 |
|
665 |
668 |
670 |
671 |
673 |
674 |
|
666 |
668 |
670 |
671 |
673 |
675 |
|
666 |
668 |
670 |
672 |
673 |
675 |
|
666 |
668 |
670 |
672 |
674 |
675 |
|
666 |
668 |
671 |
672 |
674 |
675 |
|
666 |
669 |
671 |
672 |
674 |
676 |
|
667 |
669 |
671 |
672 |
674 |
676 |
|
667 |
669 |
671 |
672 |
674 |
676 |
|
По формуле Стерджесса находим длину интервала варьирования:
Начало первого интервала находим по формуле:
К а0 прибавляя последовательно h, находим начала остальных интервалов и конец последнего интервала. Далее на основании таблицы 1 подсчитываем количество вариант в каждом интервале. Результаты сводим в столбец 2 и 3, 4 таблицы 2. Здесь xi – середины интервалов.
Таблица 2