4Базис линейного пространства, размерность пр-ва, координаты вектора
.docБазис линейного пространства, размерность пространства, координаты векторов:
Определение: Базисом в пространстве L мы наз. упорядоченная конечную систему векторов, если: а)она линейно независима и б)каждый вектор из L есть линейная комбинация векторов этой системы. Упорядоченная – значит, что каждому вектору в базисе приписан определенный номер. Из одной и той же системы векторов можно получать разные базисы, по-разному нумеруя векторы. Коэффициенты линейной комбинации, о которой идет речь в определении, называются компонентами или координатами вектора по базису. Векторы базиса e1, ..., en запишем в строку: e=||e1...en||, а компоненты 1, ...,n вектора x по базису e в столбец: =||1, ...,n||, который наз. координатным столбцом вектора. Теперь разложение вектора по базису можно записать в любом из следующих видов:
,(где элементы строки e – векторы, а не числа, =>можно применять к этим строкам определения операций с матрицами). Предложения: (1) Если задан базис, то компоненты вектора определяются однозначно. В противном случае мы имели бы два равенства х=iei и x=i1ei, из которых вытекало бы S(i–i1) ei=0. Поскольку система векторов ei, ..., en линейно независима, все коэффициенты линейной комбинации равны 0, и, =>, i=i1 при всех i=1, ..., n. (2) Координатный столбец суммы векторов, = сумме их координатных столбцов. Координатный столбец произведения вектора на число = произведению координатного столбца данного вектора на это число. Для доказательства достаточно выписать следующие цепочки равенств: х+у=е+е= е(+) и х=e=e(), где и координатные столбцы векторов х и у. Из (2) =>, что координатный столбец линейной комбинации векторов есть линейная комбинация их координатных столбцов с теми же коэффициентами. Отсюда вытекает (3) Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда, линейно зависимы их координатные столбцы.
Доказательство очевидно: равенство нулю нетривиальной линейной комбинации векторов влечет за собой обращение в нуль линейной комбинации их координатных столбцов с теми же коэффициентами. Так же доказывается и обратное предложение.
Теорема 1. Если в линейном пространстве существует базис из n векторов, то любой другой базис в этом пространстве состоит из того же числа векторов. Определение: Линейное пространство, в котором существует базис из n векторов, наз. п-мерным, а чиcло n – размерностью пространства. В нулевом пространстве нет базиса, так как система, состоящая из одного нулевого вектора, является линейно зависимой. Размерность нулевого пространства по определению считаем равной 0. Может случиться, что, каково бы ни было натуральное число т, в пространстве L найдется т линейно независимых векторов. Такое пространство наз. бесконечно мерным. Базиса в нем не существует. В пространстве конечной размерности существует бесконечно много различных базисов. (4) В n-мерном пространстве каждая упорядоченная система из n линейно независимых векторов явл. базисом. В самом деле, если дана такая система векторов, то каждый вектор пространства раскладывается по этим векторам, так как иначе в пространстве нашлось бы n + 1 линейно независимых векторов. (5) В n-мерном пространстве каждую упорядоченную линейно независимую систему из k<n векторов можно дополнить до базиса. Это вытекает из того, что к любой такой системе можно присоединить еще один вектор, который через неё линейно не выражается. (Если бы это было не так, то система сама была бы базисом.) Теперь мы имеем k+1 линейно независимых векторов. Если k+1<n, то повторяем рассуждение. Мы действуем так до тех пор, пока не получим n линейно независимых векторов, в число которых входят данные k векторов. В частности, до базиса можно дополнить любой ненулевой вектор.