Кошкин Ю.Н. ОТУ / tau_3
.pdf
|
|
Критерий Найквиста в логарифмическом масштабе |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Чаще всего в практических расчетах используется критерий Найквиста в логарифмических |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
масштабах из-за значительной простоты и удобства расчетов. Рассмотрим его применение на примере |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(рис.79). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
W2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
g |
|
|
ε |
|
|
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1p+1 |
|
|
|
|
T2p+1 |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 79 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Разрываем контур обратной связи и определим ПФ разомкнутой системы Wp |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
W = WW W = |
|
|
|
k |
k |
|
k |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
kp |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
(1) |
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
(T p+ |
1)(T p+ 1)p |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
1 |
2 3 |
(T p+ 1)(T p+ 1)p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
где kp = k1k2k3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
– коэффициент усиления (всегда величина безразмерная) разомкнутой системы. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Как видно из (1) структура состоит из 4-х типовых звеньев: усилительного kp , интегрирующего |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
и двух апериодических |
|
|
|
1 |
и |
|
1 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
T p +1 |
T p + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ЛАХ: |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20lg Ap (ω) = 20lgkp |
+ 20lg |
|
1 |
+ 20lg |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
+ 20lg |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
(2) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jω |
|
|
|
|
+ jT1ω |
|
|
|
|
|
|
+ jT2ω |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ЛФХ: |
ϕp |
=ϕW |
+ϕW |
+ϕW |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20lgAp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20lgkp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
ек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ω =1/T |
|
ω2=1/T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lgω |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
б/ |
ср |
|
|
2 |
0 |
д |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к. |
|
|
|
|
|
|
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-45° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W2 |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
2 |
0l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
g |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
1+j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0l |
|
|
|
2ω |
|
|||
|
|
|
|
|
-90° |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕW3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+j |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
T |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20l |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-180° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
-220° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
-270° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
−ϕ° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω1 = |
1 |
|
– частота сопряжения для звена |
|
1 |
|
|
; |
|||||
T |
|
T p+ 1 |
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ω2 |
= |
1 |
|
– частота сопряжения для звена |
|
1 |
|
|
, |
||||
T |
|
T p +1 |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ϕ |
W |
= −arctgTω ; |
ϕ |
W |
= −arctgT ω ; |
ϕ |
W |
= − π . |
|||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пересечение результирующей ЛАХ разомкнутой системы с осью частот называется частотой среза
ωcp : при ω <ωcp , Ap >1; при ω >ωcp , Ap <1.
В критерии Найквиста критическими величинами являются ϕp = −180ο и Ap = M = 1 или в логарифмическом масштабе 20lg Ap = 20lg1= 0.
Смотрим, чему равна фаза ϕp при 20lg Ap = 0:
ϕp = −220ο
и амплитуда (модуль) при ϕp = −180ο:
20lg Ap ≈ 8 или Ap > 1.
Следовательно, рассматриваемая в примере система в замкнутом состоянии неустойчива.
Критерий Найквиста в логарифмическом масштабе: Для устойчивой системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы логарифмические характеристики разомкнутой системы
имели: |
1. |
при ϕp = −180ο, |
20lg Ap |
< 0; |
|
|
|
|
2. |
при 20lg Ap = 0, |
ϕp0 > −180ο. |
|
|
|
|
|
20lgAp |
|
Запасы устойчивости |
по |
|||
|
40 |
|
|
фазе и амплитуде опреде- |
|||
|
|
|
|
ляются |
для |
устойчивой |
|
|
|
|
|
системы |
как |
показано |
на |
|
|
|
|
рис.81. |
|
|
|
|
|
|
ωс |
lgω |
|
|
|
|
|
|
|
a - запас по модулю |
|
|
|
|
|
запас по фазе ∆ϕ |
|
|
|
|
|
|
-180° |
|
|
|
|
|
|
|
−ϕ° |
|
Рис.81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры:
Дать заключение об устойчивости и нарисовать графики частотных и переходных характеристик.
1. g |
k |
1 |
x |
2. g |
1 |
x |
|
Tp+1 |
p |
|
|
p2 |
|
при k > 0 и T > 0
46
3. |
g |
1 |
x |
|
|
0,1p+1 |
|
4. |
g |
1 |
x |
|
|
p3 |
|
5. |
g |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
p |
|
|
1x
p2 |
Рис.82
Д - разбиение
Это частотный метод, который позволяет для исследуемой системы определить значения параметров, соответствующих устойчивой работе системы.
Если изменяемый параметр один, то используется Д-разбиение в плоскости одного параметра.
Д-разбиение в плоскости одного параметра
Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:
где τ |
|
|
|
|
|
an pn + τan′−1 pn−1 + an−2 pn−2 |
+Κ + a0 = 0, |
|
(1) |
||||||||
– варьируемый параметр, который характеризует устойчивость системы. |
|
||||||||||||||||
Рассмотрим комплексную плоскость корней уравнения (1). |
|
|
|||||||||||||||
|
p1 |
|
|
Im |
|
|
|
|
|
|
При изменении параметра τ |
корни начинают перемещаться в |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Re |
комплексной плоскости (рис.83). Мнимая ось, являющаяся |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
границей устойчивости, при каком-то определенном τ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
оказывается пройденной. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В методе Д-разбиения мнимая ось отображается в |
||||||
|
|
|
|
Рис.83 |
|
|
комплексной плоскости параметра τ . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для этого решаем (1) относительно τ : |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
τ(p) = |
− an pn − an−2 pn−2 |
−Κ − a0 |
, |
|
(2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a′ |
pn−1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
Подставляя в (2) p= jω , получим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
τ( jω) = |
− an ( jω)n |
− an−2 ( jω)n−2 |
−Κ − a0 |
= P(ω) + jQ(ω) , |
(3) |
|||||||||
|
|
|
|
a′ |
−1 |
( jω)n−1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
P(ω) |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
– вещественная часть комплексного числа τ(jω); |
|
|
||||||||||||||
|
|
Q(ω) |
– мнимая часть комплексного числа τ(jω). |
|
|
|
Задаваясь частотой от −∞ до + ∞, строим кривую τ(jω), которая есть отображение мнимой оси на комплексной плоскости параметра τ(jω) – кривая Д-разбиения (рис.84).
|
Im |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
Т.к. |
частотные |
характеристики |
симметричны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
относительно вещественной оси, кривую Д-разбиения можно |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
0≤ω ≤ +∞, а затем |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
Re |
строить в |
пределах |
дополнить её |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зеркальным отображением относительно вещественной оси. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После этого надо наметить предполагаемую область |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
устойчивости. Для этого применяется правило штриховки, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
основанное |
на том, |
что границей в плоскости корней |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.84 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является мнимая ось комплексной плоскости корней |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
характеристического |
|
уравнения, и |
при |
движении по |
ней от ω = −∞ до ω = +∞, |
область корней |
устойчивой системы располагается слева. Аналогично на Д-кривой заштриховывается левая часть кривой по направлению от −∞ до + ∞ (рис.84).
Выделим область, претендующую на устойчивость, т.е. ту, которой соответствует наименьшее число правых корней. Если в последующем установим, что их число равно 0, то тем самым выделим область устойчивости.
47
Допустим, изменяя параметр τ мы двигаемся вдоль вещественной оси в положительном направлении из области 1 → 2 → 1 → 3. Тогда:
−полагаем, что в области 1 из n-корней имеется k-правых;
−переходя из области 1 в область 2 хотя бы один корень стал отрицательным и тогда имеем (k-1) - правых корней;
−из 2 → 1 снова k-правых корней;
−из 1 → 3 k+1 -правых корней.
Итак, наименьшее число правых корней имеет область 2, но будут ли все корни левыми? Для этого задаются простейшим (в смысле вычисления) параметром τ из области 2 и по любому другому критерию определяют устойчивость. В результате чего можем получить два ответа:
1.Система неустойчива, тогда изменением параметра τ нельзя добиться устойчивости системы и необходимо добиваться устойчивости изменением (если это возможно) другого параметра.
2.Система устойчива, тогда при любом τ из области 2 система будет устойчива. Это положение широко используется при наладке САУ.
Качество регулирования
Устойчивость САУ является необходимым, но далеко не достаточным условием технической пригодности систем. Помимо устойчивости к САУ предъявляются и качественные показатели переходных процессов. Все современные методы анализа качества переходного процесса регулирования можно разделить на две группы:
1.Прямые методы анализа – непосредственное решение дифференциальных уравнений системы и построение по нему графиков переходных процессов.
2.Косвенные методы:
2.1.нахождение корней характеристического уравнения системы;
2.2.интегральный метод;
2.3.частотный метод (наиболее распространён).
Рассмотрим качество регулирования с двух точек зрения:
1.Точность работы системы в установившемся режиме (статический режим).
2.Динамические показатели системы (методы определения качества переходных процессов).
Анализ статических режимов
В реальных САУ не удаётся поддерживать точные значения выходных величин в соответствии с заданным входным воздействием и имеет место ошибка, обусловленная как погрешностями самой системы, так и действием возмущений. Выведем выражение для определения ошибки в многомерной системе для следующей структуры (рис.85).
F
D
x(0)
V |
E k U B |
x |
⌠ |
x |
C |
y |
|
|
|||||
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
рис.85
При t = 0, x(0) = 0;
48
E = V − y,
U = kE,
x&= Ax+ BU − DF,y = Cx,
где x Rn,U Rm,V Rm,y Rm,F Rl ,
dimA = n×n,dimB = n×m,dimC = m×n,dimD = n×l, dimk = m× m – матрица коэффициентов усиления регулятора.
Решим данную систему для определения ошибки в установившемся режиме, для чего полагаем x&= 0, V = const , F = const , x(0) = 0.
0 = Ax0 + BkE0 − DF x0 = −A−1BkE0 + A−1DF C−1y0 = −A−1BkE0 + A−1DFy0 = −CA−1BkE0 +CA−1DF V − E0 = −CA−1BkE0 +CA−1DF
(−CA−1Bk + I)E0 = V −CA−1DF E0 = (I −CA−1Bk)−1V0 −(I −CA−1Bk)−1CA−1DF.
В полученном выражении первое слагаемое отражает влияние задающих воздействий на статику многомерной системы, а второе – влияние возмущений.
Анализ статических режимов скалярных систем
Имеем САУ со структурной схемой (рис.86).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2(p) |
|
F(p) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
V(p) |
|
E(p) |
|
|
|
x (p) |
|
|
|
|
|
x (p) |
|
|
y(p) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
W1(p) |
1 |
|
|
W2(p) |
3 |
|
W3(p) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 86 |
|
|
|
|
|||||||
Запишем систему уравнений из структуры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
E(p) = V(p)− y(p), |
|
|
|
|
Решаем систему (1) совместно относительно ошибки E, сигнала |
|||||||||||||||||||
x |
(p) = E(p)W (p), |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
управления V и возмущения F, получим |
|
|
|
|||||||||||||||
x2(p) = x1(p)W2(p), |
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
(p) = x (p)− F(p), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(p) = x3(p)W3(p). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
E(p) = |
1 |
|
V(p) + |
|
W3 |
F(p), |
|
(2) |
||||||||||||
|
|
|
|
1+Wp |
|
|
1+Wp |
|
|
где Wp = WW1 2W3 – передаточная функция разомкнутой системы.
Обозначим: |
Ey (p) = |
|
|
1 |
V(p) – ошибка от закона регулирования или ошибка от |
1 |
|
||||
|
|
+Wp |
управляющего сигнала.
EF (p) = |
|
|
W3 |
|
F(p) |
– ошибка от возмущающего воздействия. |
|||||||||||||
1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
+Wp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Ошибка от закона регулирования. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Ey (p) = |
|
|
V(p) . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+Wp |
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим случаи, когда Wp (p) имеет различный вид: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
1.1. |
|
|
|
|
|
bm p |
m |
+ bm−1 p |
m−1 |
+Κ + b0 |
|
B(p) |
|
||||||
W |
p |
(p) = |
|
|
= |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
an pn + an−1 pn−1 +Κ + a0 |
A(p) |
|||||||||||||
В установившемся режиме при |
t → ∞ , оператор p= |
d |
= 0, тогда |
||||||||||||||||
dt |
(1)
(2)
49
Wp (0) = b0 = kp – статический коэффициент усиления разомкнутой системы. a0
Следовательно, ошибка от закона регулирования в установившемся (статическом) режиме имеет
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εy.c.(t → ∞) = |
|
V(t → ∞), |
|
|
|
|
|
(3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ kp |
|
|
|
|
|
|
|||
если |
V(t) = 1 (единичный ступенчатый сигнал), то |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εy.c. = |
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
(4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ kp |
|
|
|
|
|
||||||
Выводы: |
1. При виде передаточной функции разомкнутой системы Wp |
(2) (со свободным членом в |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
знаменателе) ошибку в установившемся режиме принципиально не возможно сделать |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
равной нулю – такие системы называются статическими. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Im |
|
|
2. |
|
С ростом коэффициента усиления ошибка от закона |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
регулирования уменьшается, однако её устойчивость |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
kкp |
|
|
|
|
|
также ”уменьшается”, а может и оказаться неустойчивой |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
при k > kкp (рис.87), |
где |
kкp |
– коэффициент усиления |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
-1,j0 |
|
|
|
ω=+∞ |
ω=0 |
|
|
Re |
|
разомкнутой системы, при котором замкнутая система |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
находится на границе устойчивости. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
При проектировании обычно задается величина ошибки |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
системы в установившемся режиме, по ней из уравнения |
||||||||
|
|
|
|
|
Рис.87 |
|
|
|
|
|
|
|
(4) определяется необходимый kp |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kp = |
|
1 |
|
−1. |
(5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y.c. |
|
|
||
|
|
4. Ошибка от закона регулирования равна 0 только при kp |
= ∞. Такие системы называются |
астатическими.
1.2. Пусть
Wp (p) = |
B(p) |
. |
(6) |
|
|||
|
pA(p) |
|
Такую функцию можно получить последовательным подключением к статической системе с ПФ (2)
идеального интегрирующего звена |
1 |
|
. Подставляя (6) в (1) получим |
||||||
p |
|
||||||||
Ey (p) = |
|
1 |
|
|
V(p) = |
pA(p) |
V(p) . |
||
|
B(p) |
|
pA(p)+ B(p) |
||||||
1+ |
|
|
|
|
|||||
pA(p) |
|
|
|
|
Вустановившемся режиме при t → ∞ ; p = 0, тогда из (7)
εy.аст. = 0.
(7)
(8)
Выводы: 1. Системы с передаточной функцией вида (6) имеют εy.а. = 0 и называются астатическими
или следящими.
2. Для расчета необходимого коэффициента усиления в разомкнутом состоянии для следящих систем вводят режим постоянной заводки, т.е. когда входной сигнал изменяется с постоянной скоростью (рис.88).
50
V(t) x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
Ω = |
dV(t) |
|
= const |
– скорость изменения |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
dt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
входного |
сигнала |
(скорость |
постоянной |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
заводки). |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом возникает скоростная ошибка εск |
||||||||
|
|
|
εск |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в установившемся режиме. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.88 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В изображении по Лапласу |
|
|
Ω(p) = pV(p). |
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Подставляя (9) в (7), получим |
pA(p) |
|
|
|
|
|
Ω(p) |
|
|
|
A(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ey.ск (p) = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
Ω(p). |
|
|
(10) |
|||||||||||
|
pA(p) + B(p) |
|
|
|
p |
|
|
|
pA(p) + B(p) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В установившемся режиме постоянной заводки при t → ∞ ; |
p = 0, получим |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
ε |
= a0 |
Ω = |
Ω . |
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
|||||||||||
|
|
|
ск |
|
|
|
|
b |
|
|
|
k |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для определения kp при заданной εск |
|
выбирают максимально допустимую для данной системы |
||||||||||||||||||||||
скорость заводки Ω (по техническим условиям). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1.3. Встает вопрос: Можно ли в САУ сделать εск = 0? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Если в структуру последовательно добавить ещё одно интегрирующее звено, то ПФ разомкнутой |
||||||||||||||||||||||||
системы получит вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
|||||
|
|
Wp (p) = p2 A(p) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Проделав аналогичные предыдущему случаю преобразования, получим εск |
= 0, однако в ней будет |
|||||||||||||||||||||||
присутствовать ошибка по ускорению. Такие системы называются астатическими с астатизмом второго |
||||||||||||||||||||||||
порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В принципе, можно избавиться и от ошибки по ускорению, включив третье интегрирующее звено – |
||||||||||||||||||||||||
астатическая система с астатизмом 3-го порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
Однако, |
отметим, |
что |
||||||||||||||
|
Im |
ω=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
построение |
замкнутых |
систем |
с |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
астатизмом выше 2-го порядка |
||||||||
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
достаточно затруднительно, т.к. при |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 2 (порядок астатизма) САУ уже |
|||||||
|
|
|
|
kp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
структурно неустойчива и не может |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
быть |
реализована |
без |
включения |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дополнительных |
корректирующих |
||||||
ω=0 p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re |
устройств (рис.89) |
|
|
|
||||
-1,j0 |
|
ω=∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ич |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ст |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω=0 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.89
51
2. Ошибка по возмущающему воздействию.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EF (p) = |
|
|
W3 |
|
F(p), |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+Wp |
||||
f (t) – возмущающая единичная ступенчатая функция f (t) = 1. |
||||||||||||||||||||||
2.1. Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
B(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wp = |
– статическая система, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(p) |
|
|||||||||
|
|
W = |
d |
s |
ps + d |
s−1 |
ps−1 + Κ + d |
0 |
|
= |
Д(p) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– передаточная функция объекта. |
||||||||||
|
|
ck pk + ck−1 pk−1 + Κ + c0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
з |
|
|
|
C(p) |
|||||||||||||||
В установившемся режиме при t → ∞, |
|
p = 0, получим |
||||||||||||||||||||
W |
p |
= |
b0 |
= k |
p |
= k |
k |
|
k |
|
– коэффициент усиления разомкнутой системы, |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
a0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1)
(2)
(3)
Wз = d0 = kз – коэффициент усиления (передачи) объекта. c0
Тогда ошибка от возмущения единичного ступенчатого скачка определится выражением
ε |
F |
= |
|
|
kз |
. |
(4) |
|
|
|
|||||
|
|
1+ kp |
|
||||
Таким образом, ошибка от возмущения при |
f (t) = 1 зависит от общего коэффициента усиления |
||||||
разомкнутой системы и коэффициента |
|
усиления (передачи) объекта. Уменьшить εF |
можно |
||||
увеличением общего kp , но не за счет kз , а увеличения k1 или k2 . |
|
При f (t) = f0 = const
Рассмотрим три случая.
2.2. Регулятор и объект регулирования статические.
|
|
W |
(p) = WW = k |
рег. |
W′ |
|
(p), |
|
|
(5) |
|||||||||||
|
|
рег. |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
рег. |
|
|
|
|
|
|||
где коэффициент усиления (передачи) Wр′ег. (p) в установившемся режиме равен 1. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Wз (p) = kз |
Wз′(p), |
|
|
|
|
|
(6) |
||||||||||
где коэффициент усиления (передачи) Wз′(p) в установившемся режиме также равен 1. |
|
||||||||||||||||||||
Подставим (5) и (6) в выражение ошибки (1), получим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
EF (p) = |
|
|
kзWз′ |
|
|
|
|
|
|
F(p). |
|
|
(7) |
||||||
|
|
1+ kрег.kзWр′ег.Wз′ |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
По теореме о начальном и конечном значении изображения по Лапласу имеем: |
|
||||||||||||||||||||
1. |
limε(t) = limpE(p) |
– теорема о конечном значении по Лапласу. |
|
||||||||||||||||||
|
t→∞ |
p→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
limε(t) = lim pE(p) |
– теорема о начальном значении по Лапласу. |
|
||||||||||||||||||
|
t→0 |
p→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как f (t) = f0 |
= const, то изображение по Лапласу от |
f0 будет |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
||
|
|
|
|
|
F(p) = p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Подставляя (8) в (7) и воспользовавшись 2.1, получим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
kзWз′ |
|
|
f0 |
|
= |
kз |
|
f0 , |
(9) |
||||||||
|
|
εF (∞) = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
+ k k W′ W′ |
1+ k |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
рег з |
|
рег |
з |
|
p=0 |
|
|
|
p |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
kp |
= kрегkз = k1k2k3 – коэффициент усиления разомкнутой системы, |
|
|
kз |
f0 |
– установившаяся ошибка разомкнутой системы при действии возмущения f0 , |
|
εF (∞) |
– установившаяся ошибка замкнутой системы от возмущения f0 . |
|
Вывод: |
В замкнутой системе, как это следует из (9) установившаяся ошибка по возмущению εF в |
||
|
1+ kp раз меньше, чем в разомкнутой системе. Т.е. за счет контура обратной связи происходит |
поддержание выходного параметра на заданном уровне тем точнее, чем больше kp .
2.3. Регулятор статический, объект астатический с астатизмом 1-го порядка. Регулятор как и прежде имеет ПФ (5), а объект
|
|
|
|
Wз (p) = |
kзWз′(p) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляем (5) и (10) в выражение ошибки (1), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
kзWз′(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kзWз′(p) |
|
|
|
|||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
|||||||
EF (p) = |
|
kрегkзWр′ег (p)Wз′(p) |
|
F(p) = p + k |
рег |
k |
W′ (p)W′(p) F(p) . |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
рег |
|
|
з |
|
||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя (8) в (11) и воспользовавшись 2.1, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
k W′(p) |
|
|
|
|
|
f |
0 |
|
|
(12) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
з |
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
εF (∞) = |
|
f0 |
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
p + k k W′ W′ |
|
|
k |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
рег з рег з |
|
p=0 |
|
|
рег |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вывод: Если регулятор статический, а объект регулирования астатический с астатизмом 1-го порядка, то установившаяся ошибка замкнутой системы обратно пропорциональна коэффициенту усиления (передачи) регулятора kрег = k1k2 .
2.4. Регулятор астатический с астатизмом 1-го порядка, объект – статический. Передаточная функция регулятора
|
|
|
Wрег (p) = |
kрегWр′ег (p) |
. |
|
|
|
(13) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
||
ПФ объекта имеет, как и ранее, вид (6). Подставляем (13) и (6) в (1) |
|
|||||||||||||
EF (p) = |
|
|
kзWз′(p) |
F(p) = |
|
|
|
pkзWз′(p) |
F(p) . |
|||||
1+ |
kрег kзWр′ег (p)Wз′(p) |
p + k k W′ |
(p)W′(p) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
рег з |
рег |
з |
(14) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (8) в (14) и учитывая (2.1), получим |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
pk W′(p) |
|
|
|
|
(15) |
|||||
|
|
|
|
|
|
з |
з |
|
|
|
|
|||
|
|
|
εF (0) = |
|
f0 |
|
= 0. |
|
||||||
|
|
|
p+ k k W′ W′ |
|
||||||||||
|
|
|
|
рег |
з рег з |
|
p=0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вывод: Если регулятор астатический с астатизмом 1-го порядка, то установившаяся ошибка по возмущению f0 = const отсутствует εF = 0.
53
Коэффициенты ошибок
Рассматриваемый метод может применяться как для управляющего g(t), так и для возмущающего f (t) воздействий.
Не снижая общности рассуждений, рассмотрим случай, когда имеется только управляющее
воздействие g(t), т.е. f (t) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ошибка по управлению: |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
Ey (p) = |
|
G(p) |
=Wy (p)G(p). |
(1) |
||||||
1 |
+Wp (p) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если входное воздействие g(t) |
имеет |
произвольную |
форму, |
но имеет конечное число m |
||||||
производных |
|
|
|
|
|
dmg(t) |
|
|
||
|
dg(t) d2g(t) |
, Κ , |
|
|
(2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dt |
|
, dt2 |
|
dtm |
, |
||||
|
|
|
|
то передаточную функцию (1) можно разложить в ряд Тейлора по степеням комплексной величины p:
|
|
C |
|
C |
3 |
|
|
|
C |
|
|
|
|
Ey (p) = C0 |
+ C1p + |
2 |
p2 + |
|
p3 + |
Κ |
+ |
m |
pm |
G(p) . |
(3) |
||
2! |
3! |
m! |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходя в выражении (3) к оригиналу, получаем формулу для определения установившейся
ошибки по управлению. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ε(t) = C0 g(t) + C1 |
dg(t) |
|
|
C |
2 |
|
|
d2 g(t) |
|
|
C |
3 |
|
d3g(t) |
|
|
C |
m |
|
dm g(t) |
|
(4) |
|||||||
dt + |
2! dt2 |
+ |
3! dt3 |
+ |
Κ + m! dtm . |
||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Коэффициенты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
C0 = [Wy (p)] |
, C1 |
dWy (p) |
|
|
, C2 |
d2Wy (p) |
|
... , Cm |
|
|
dmWy (p) |
||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
, |
= |
|
|
|
|||||||||||
|
dp |
|
|
|
|
dp |
2 |
dp |
m |
||||||||||||||||||||
|
p=0 |
|
|
|
p=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p=0 |
|
|
|
|
|
|
|
p=0 |
называются коэффициентами ошибок и определяются по общему разложению функции Wy (p) в ряд Тейлора по степеням p:
−коэффициент C0 ≠ 0 только в статических системах
−в астатических системах с астатизмом 1-го порядка C0 = 0
−в астатических системах с астатизмом 2-го порядка C0 = C1 = 0 и т.д.
Пример:
Определить коэффициенты ошибок по управляющему воздействию, если ПФ разомкнутой системы имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wp (p) = |
|
|
|
kp |
|
|
. |
|
|
|
|
|
(1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(1+ T1 p)(1+ T2 p) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Передаточная функция по ошибке: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
TT p3 + (T +T )p2 + p |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wy (p) = 1+W |
p |
= |
TT p3 |
+ (T +T )p2 |
+ p + k |
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
1 |
2 |
|
|
p |
|
|
|
||||
|
|
Определим коэффициенты ряда Тейлора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
C0 = [Wy (p)]p=0 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
dWy |
(p) |
|
[3T1T2 p2 |
|
+ 2(T1 +T2 )p] [знаменатель]−[3T1T2 p2 |
+ 2(T1 +T2 )p+1][числитель] |
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||
C1 = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
, |
|||
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[знаменатель]2 |
|
|
|
kp |
||||||||||||||
|
|
|
|
p=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p=0 |
|
|
|
|||
|
|
|
d2Wy (p) |
|
|
|
T |
+ |
T |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
C |
|
= |
|
|
|
|
|
= |
2 |
|
1 |
|
|
2 |
− |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dp2 |
|
|
k |
|
|
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
p=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|