Кругляк_Физика и моделирование нанотранзисторов_2018_314 стр_обложки
.pdf40
Глава 2. Теория MOSFET в традиционном изложении, начала модели виртуального истока и приближение истощения
2.1. Введение
Теория MOSFET была разработана еще в 60-х годах прошлого века [1 – 5] и хотя она получила существенное развитие, но и ныне основные черты моделирования транзисторов остались такими же, как и 50 лет назад. Эта глава посвящена традиционному изложению теории MOSFET [6, 7]. Мы обсудим лишь наиболее существенные идеи привычного подхода, получившего также название «сверху – вниз». В частности, мы ограничимся моделированием линейной области и области насыщения вольт-амперных характеристик. Более детальное и полное представление о классической теории MOSFET можно найти в учебниках [8, 9]. Позже мы рассмотрим существенно другой подход к теории MOSFET, более адекватный физике нанотранзисторов, и вместе с тем покажем его связь с традиционным подходом.
2.2. Ток, заряд и скорость
Ток в n-MOSFET (рис. 1) дается общим выражением
IDS W |Q(x) | v , |
(1) |
Рис. 1. Упрощенное изображение n-Si MOSFET в режиме обогащения. Ось y направлена вглубь подложки, а ось z – вдоль ширины канала проводимости с инверсионным зарядом, поскольку VGS VT . Показано равномерное (VS VD 0) распределение электронного заряда в пределах канала
проводимости, соединяющего n-допированные терминалы S и D, от начала канала в точке x 0 до
41
в котором Q есть подвижный поверхностный электронный заряд (К/м2) инверсионного слоя в плоскости x y вглубь подложки р-Si, v – средняя скорость электронов в инверсионном слое, W – ширина слоя. Предполагается, что транзистор однороден вдоль оси z , направленной за рисунок, а электроны движутся вдоль оси x от истока к стоку (направление тока IDS противоположное).
Заряд Q называют зарядом инверсионного слоя, поскольку речь идет об электронном заряде в полупроводнике р-типа. Заряд и скорость изменяются при движении вдоль канала, а ток постоянен, если только предполагать, что процессы рекомбинации-генерации электронов в канале не происходят. Поэтому величину тока можно вычислять в любой точке канала, где это удобно.
Пусть VS VD 0 , а VGS 0 . Транзистор находится в равновесном состоянии, тока нет. В этом случае заряд Q распределен равномерно вдоль канала и он
небольшой, если VGS VT . При VGS |
VT отрицательный заряд пропорционален их |
||
разности, а именно: |
|
|
|
|
Q(VGS ) Cox (VGS VT ) , |
(2) |
|
|
Cox ox 0/tox , |
(3) |
|
где C |
есть поверхностная емкость диэлектрической прокладки (Ф /м2 ), обратно |
||
ox |
|
|
|
пропорциональная её толщине |
tox . При VGS VT |
заряд предполагается |
|
пренебрежимо малым. |
|
|
Когда VD VS зарядовая плотность в инверсионном слое изменяется по ходу вдоль канала проводимости, как и скорость электронов. Как мы увидим позже при более детальном обсуждении электростатики MOS, в «хорошем» транзисторе зарядовая плотность Q в самом начале канала (х = 0) дается именно выражением (2). С целью вычислить IDS x 0 , где мы уже знаем заряд Q
согласно (2), потребуется вычислить среднюю скорость
Линейная область
v x 0 в начале канала.
При небольших напряжениях на стоке VDS |
наблюдается линейный участок |
|
на выходной характеристике. Выше порога VT |
электрическое поле E в канале |
|
постоянное, и для средней скорости электронов можно написать |
|
|
v E = VDS /L , |
(4) |
|
42 |
|
|
где – подвижность электронов, L – длина канала проводимости, что с учетом (1) и (2) дает классическое выражение для тока стока MOSFET при небольших напряжениях на стоке, а именно:
I |
DS |
W C |
(V |
V )V . |
(5) |
||
|
L |
ox |
GS |
T |
DS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В традиционной теории MOSFET под подвижностью подразумевается некая эффективная подвижность eff , трактуемая как подвижность, усредненная
по глубине инверсионного слоя. Она меньше чем подвижность электронов в массивном образце, что связывают с рассеянием электронов на шероховатостях граничной поверхности раздела SiO2/Si.
Уравнение (5) может быть непосредственно использовано для оценки порогового напряжения VT . Для напряжений на затворе VGS , достаточно превышающих значение VT , ток стока IDS растет линейно с VGS . Экстраполяция этой линейной зависимости на IDS 0 позволяет определить так называемое экстраполяционное значение порогового напряжения VT . Различные методы определения VT можно найти в [8].
Область насыщения: скорость насыщения
При больших VDS , в области насыщения выходных характеристик MOSFET ведет себя как источник тока, контролируемый напряжением (рис. 7/гл. 1). Для
относительно небольшого напряжения VDS 1В |
электрическое поле в канале |
|
проводимости |
нанотранзистора ( L 20нм ) |
велико – значительно выше |
10 кВ/см , необходимого для насыщения скорости в массивном Si. Если электрическое поле велико вдоль всего канала при VDS VDSAT , тогда скорость электронов постоянна, равна vsat , и среднюю скорость можно записать в виде
v(x) v |
107 см/c . |
(6) |
sat |
|
|
Подставляя (6) и (2) в (1), получаем классическое выражение для тока стока MOSFET насыщенного по скорости, а именно:
IDS W Coxvsat (VGS VT ) . |
(7) |
В реальных транзисторах ток не насыщается полностью, а медленно увеличивается с ростом напряжения на стоке.
43
Наконец, нужно обратить внимание на то, что в нанотранзисторах максимальная скорость в канале проводимости не насыщается даже при очень высоком электрическом поле. В учебниках, излагающих традиционный подход к теории MOSFET, тем не менее предполагается, что скорость электронов насыщается при высоком электрическом поле в канале проводимости.
Область насыщения: классическая область отсечки
Рассмотрим MOSFET с достаточно протяженным каналом при высоком напряжении на стоке. В этом случае электрическое поле умеренное и насыщение по скорости не ожидается. Тем не менее, ток стока насыщается, и должна быть какая-то другая причина этого. Явление это наблюдалось еще на заре науки о полевых транзисторах, когда длина канала составляла около 10 µм (=10000 нм) и объяснением насыщения тока стока считалась отсечка вблизи стока.
При высоком напряжении на стоке потенциал в канале существенно меняется от значения VS на истоке до значения VD на стоке, к более подробному рассмотрению хода которого мы вскоре вернемся. Перепишем (2) в виде
Q(VGS , x) Cox[VGS VT V (x)], |
(8) |
где V (x) есть потенциал, изменяющийся вдоль канала проводимости длины L . Согласно (8), если VD VGS VT на стоке ( x L ), заряд на стоке Q(VGS , L) 0 : говорят об отсечке канала на стоке. Согласно (1), если заряд Q 0 , то ток стока должен зануляться, на самом же деле наблюдается значительный ток стока. Это связано с тем, что в области отсечки канала электроны в сильном электрическом поле движутся очень быстро, так что плотность заряда конечна, хотя и очень небольшая. Ток насыщается при напряжении на стоке выше VGS VT , поскольку в этой области добавляется еще потенциал отсечки. Рассмотрим ситуацию более подробно.
Итак, мы имеем достаточно протяженный канал MOSFET (рис. 2) при высоком напряжении на затворе и при напряжении на стоке, большем VGS VT . Практически вдоль всего канала имеется инверсионный слой, и v(x) E(x) . Когда электроны заходят в область отсечки, сильное электрическое поле быстро переносит их к стоку (рис. 21/гл. 1).
44
Рис. 2. Длинноканальный MOSFET с указанием на область отсечки. Переменная глубина канала на рисунке иллюстрирует изменение зарядовой плотности вдоль канала – плотность заряда больше в начале истока и уменьшается по мере приближения к стоку. Физическая глубина канала ведет себя противоположным образом: глубина канала растет от истока, где потенциал поля затвора наибольший, к стоку, где потенциал поля затвора наименьший. Длина канала, на протяжении которой плотность заряда существенна, есть L L .
Для той части инверсионного канала, для которой плотность заряда велика, среднюю скорость можно записать в виде
v(x) E(x) . |
(9) |
Напряжение в начале канала V (0) VS 0 , а напряжение в конце канала в области отсечки есть VGS VT . Электрическое поле в начале канала, как будет показано ниже,
E(0) = |
VGS VT |
, |
(10) |
|
|||
|
2L |
|
|
где множитель двойка требуется для корректного учета |
нелинейности |
электрического поля в канале, в чем мы убедимся позже, а L есть длина канала проводимости, не затронутого отсечкой. Подстановка (10) в (9) для начала канала дает
v(0) E(0)= |
VGS VT |
. |
(11) |
|
|||
|
2L |
|
|
45 |
|
|
|
Подставляя, наконец, (2) и (11) в (1), получаем так называемый квадратичный закон для выходной характеристики достаточно длинного канала MOSFET:
I |
|
W |
|
C (V |
V )2 . |
(12) |
|
2L |
|||||||
DS |
|
ox GS |
T |
|
|||
|
|
|
|
В реальных условиях ток не насыщается полностью, а медленно растет с увеличением напряжения на стоке, в то время как область отсечки медленно сдвигается по направлению к истоку, что эффективно уменьшает длину L проводящей части канала проводимости.
Вычисление цельной ВАХ: от линейной части до квадратичной области насыщения
Уравнения (5) и (12) описывают линейную часть и область насыщения в рамках традиционной теории MOSFET. Покажем как написать уравнение цельной выходной характеристики с позиций этого же подхода. Начнем с общего уравнения (1) с подстановкой в него уравнения (4) через потенциал электрического поля:
I W |Q (x) | v(x) W |Q (x) | dV . |
(13) |
DS |
dx |
|
После подстановки выражения (8) для заряда получаем
I |
DS |
W C [V |
V |
V (x)] dV , |
(14) |
|
ox GS |
T |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
разделяем переменные и интегрируем вдоль канала проводимости
|
V |
|
D |
|
|
L |
|
|
IDS dx W Cox (VGS VT V ) dV |
(15) |
|
0 |
VS |
|
в предположении постоянства вдоль канала как подвижности, так и тока стока. После интегрирования окончательно получаем искомое уравнение:
I |
W |
C [(V |
V )V |
|
V 2 |
|
|
|
|
DS |
]. |
(16) |
|||||
L |
2 |
|||||||
DS |
ox GS |
T DS |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
Это уравнение дает ток стока для VGS VT |
и VDS (VGS VT ) . Заряд в (8) зануляется |
при VDS VGS VT , обозначая начало области отсечки. Ток за отсечкой находим из
46
уравнения (16) при VDS VGS VT , а именно:
I |
|
W |
|
C (V |
V )2 , |
(17) |
|
2L |
|||||||
DS |
|
ox GS |
T |
|
|||
|
|
|
|
и изменяется этот ток только с ростом VDS , поскольку эффективная длина канала уменьшается в результате отсечки ( L L ).
Уравнения (16) и (17) исчерпывают суть квадратичного закона выходных характеристик MOSFET, не только в линейной области и в области насыщения, а при любых напряжениях.
2.3. Изменение электрического поля вдоль канала
Излагая традиционную модель MOSFET, обычно предполагают, что электрическое поле в достаточно длинном канале при низком напряжении на стоке есть VDS /L , а при высоком напряжении есть (VGS VT ) / 2L . Вычислим ход электрического поля в канале и покажем, что эти предположения действительно справедливы.
Из (14) и (16) имеем
1 |
|
|
|
V )V |
|
|
|
|
V 2 |
|
|
] [V |
|
V |
V (x)] |
dV |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
[(V |
|
|
|
|
|
DS |
|
|
|
|
, |
|
|
(18) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
L |
|
GS |
T |
DS |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
GS |
|
T |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
разделяем переменные и после интегрирования от истока при |
x 0,VS 0 до |
||||||||||||||||||||||||||||||
произвольной точки в канале x |
|
с V V (x) |
получаем квадратное уравнение для |
||||||||||||||||||||||||||||
потенциала V (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
[(V V )V |
|
V 2 |
|
|
|
x |
|
|
(V |
|
V )V (x) |
V 2 |
(x) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
DS |
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
(19) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
GS |
T |
DS |
|
|
2 |
|
|
|
L |
GS |
|
|
T |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
решая которое, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(V V )V |
|
V 2 |
|
/2 |
|
|
x |
|
||||||||||
V (x) (V |
V ) 1 |
|
1 |
|
|
GS |
|
T |
DS |
DS |
|
|
|
|
|
|
. |
(20) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
GS |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(V |
|
V )2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GS |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференцируя это уравнение, находим электрическое два случая. Для небольших значений напряжения на стоке участке входной характеристики имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2V |
|
|
x |
||||
V (x) (VGS VT ) 1 |
(V V ) |
L . |
|||||||
|
|
|
|
DS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GS |
T |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47
поле. Рассмотрим VDS , на линейном
(21)
Поскольку для малых аргументов 1 x 1 x/2 , уравнение (21) упрощается до
V (x) VDS Lx ,
имея в виду, что при небольших значениях напряжения на стоке Дифференцируя (22), получаем ожидаемый результат при малых напряжениях на стоке VDS :
dV (x) E VDS . |
|
dx |
L |
Оценим электрическое поле в условиях отсечки канала, (20) имеем:
V (x) (VGS VT )(1 1 x/L)
и электрическое поле
(23)
VDS VGS VT . Из
(24)
E(x) |
(V V ) |
1 |
|
|
|
|||
GS |
T |
|
|
|
|
. |
(25) |
|
2L |
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 x / L |
|
||||
При x 0 из (25) следует принятый ранее без доказательства результат |
||||||||
(10), а при x L наступает отсечка и |
E(L ) . Это ожидаемый результат, |
поскольку в этой модели заряд обнуляется в области отсечки, так что для поддержки конечного тока требуется бесконечно большое поле.
2.4. Насыщение скорости и насыщение тока стока
Мы рассматриваем сейчас традиционный подход к теории MOSFET. Уравнения (5), (7) и (12) описывают ход выходной характеристики в линейной области и в области насыщения. Были изложены два различных подхода к описанию тока в области насыщения. В одном случае насыщение тока происходило за счет насыщения скорости электронов в той части канала, где электрическое поле велико. В другом случае причина насыщения была связана с развитием области отсечки канала вблизи стока. Когда среднее электрическое поле в канале намного больше критического поля для насыщения скорости ( 10 кВ/см ), тогда лучше работает первая модель:
VGS |
VT |
Ecr 10 кВ/см . |
(26) |
|
2L |
||||
|
|
48
Подставляя сюда типичные значения VGS VDD 1В и |
VT 0.2В , находим, что |
модель насыщения скорости приемлема при L |
/ 1 м . Действительно, |
подобные модели впервые начали широко применяться в 80-х годах прошлого века когда длины каналов достигли одного микрометра [10].
На рис. |
3 показаны выходные характеристики n-Si MOSFET, включенного |
|
по схеме с общим истоком, при L 60нм . Очевидно, |
что при больших VDS ток |
|
IDS VGS VT , |
так что такой транзистор хорошо |
описывается моделью |
насыщения скорости (7). |
|
Рис. 3. Выходные характеристики n-Si MOSFET, включенного по схеме с |
|
||||||
общим истоком, при L 60нм . Характеристики показаны с шагом 0.1 В, для |
|
||||||
верхней кривой VGS 1.2В . Обращает на себя внимание что при больших VDS |
ток |
||||||
растет линейно с ростом напряжения на затворе. Это признак того, что в |
|
||||||
|
канале имеет место насыщение скорости [11]. |
|
|
|
|||
Для транзистора на этом |
рисунке |
VT 0.4В . Для верхнего графика |
с |
||||
максимальным |
напряжением |
на |
затворе |
модель |
отсечки |
дает |
|
VDSAT VGS VT 1.2 0.4 0.8В , что слишком много и указывает на то, что ток |
|||||||
стока не насыщается за счет |
классической отсечки. Обсуждение VDSAT |
при |
|||||
насыщении скорости можно найти в [8, 9]. |
|
|
|
|
|||
Хотя и кажется, что модели насыщения скорости удовлетворительно |
|||||||
описывают короткоканальные MOSFET, но есть нечто настораживающее. |
|||||||
Тщательное |
компьютерное |
моделирование |
транспорта |
электронов |
в |
||
|
|
49 |
|
|
|
|
|