Лазарева Т. Я., Мартемьянов Ю. Ф. Основы теории автоматического управления (2004)
.pdfРасширенная амплитудно-фазовая характеристика П-регулятора записывается в виде: Wp(−mω + iω) = −S1 = S1e−iπ, тогда система уравнений (7.12) для системы автоматического регулирования с П- регулятором преобразуется к виду:
Mоб(m, ωр)S1 |
=1; |
(7.13) |
|
|
ϕоб(m, ωр ) =− π. |
||
|
|
M |
б) |
Mоб(ωр)
ϕ |
ωр |
ω а) |
|
ωр |
|
||
|
ω |
РИС. 7.15 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАСТРОЙКИ П-РЕГУЛЯТОРА, |
|
–π |
|
|
ОБЕСПЕЧИВАЮЩЕЙ |
|
|
ЗАДАННУЮ СТЕПЕНЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ: |
|
|
|
|
А − ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОЧЕЙ ЧАСТОТЫ ωP; Б − ОПРЕДЕ-
ЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ РАЧХ ОБЪЕКТА ПРИ РАБОЧЕЙ ЧАСТОТЕ ωP
Из второго уравнения системы определяется рабочая частота ωp. Последнюю можно определить и графически, для чего следует построить расширенную фазочастотную характеристику объекта и прямую, равную −π (рис.7.15, а), пересечение которых и дает ωp. Настройка П-регулятора определится по соотношению
S1 = |
1 |
, |
(7.14) |
M об(m, ωр) |
где значение расширенной АЧХ объекта можно определить как аналитически, так и графически (рис. 7.15, б).
7.2.5 СИСТЕМА С И-РЕГУЛЯТОРОМ
Расширенная амплитудно-фазовая характеристика И-регулятора имеет вид
W (−mω+ iω) = − S0 |
= |
S0 e |
|
|
1 |
||
|
|
m . |
|||||
p |
(−mω+ iω) |
|
ω m2 +1 |
−i 2 |
π − arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
С учетом этой характеристики система уравнений (7.12) для определения настройки S0 и рабочей частоты записывается в виде
|
|
S0 |
=1; |
|
|
|
||
M об(m, ωр) |
|
|
2 |
|
|
|
||
|
ω |
m |
+1 |
|
|
|
(7.15) |
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
ϕоб(m, ωр) = −2π + arctg |
m |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mоб |
|
б) |
|
|
|
|
Mоб(m, ωр) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ϕоб |
ωр |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
ωр |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
− 2π + arctg 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
РИС. 7.16 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАСТРОЙКИ И-РЕГУЛЯТОРА, ОБЕСПЕЧИВАЮЩЕЙ
ЗАДАННУЮ СТЕПЕНЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ:
А − ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОЧЕЙ ЧАСТОТЫ ωP; Б − ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ РАЧХ
ОБЪЕКТА ПРИ РАБОЧЕЙ ЧАСТОТЕ ωP
Решение системы уравнений (7.15) может быть проведено как аналитически, так и графически. Графическое решение второгоуравненияс цельюопределения рабочей частоты представлено на рис. 7.16, а.
На рис. 7.16, б представлено определение значения РАЧХ объекта при рабочей частоте. Настройка S0 И-регулятора, обеспечивающая заданную степень колебательности, определяется соотношением
S0 = |
ω m2 +1 |
. |
(7.16) |
|
M об(m, ωр) |
|
|
7.5.3 СИСТЕМА С ПИ-РЕГУЛЯТОРОМ
Расширенная амплитудно-фазовая характеристика ПИ-регулятора:
|
|
S |
0 |
|
, |
Wp (−mω+iω) = − S1 |
+ |
|
|
||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− mω+iω |
|
откуда для регулятора
РАЧХ – M p (m, ω) = |
(S |
|
− S mω)2 + S |
2ω2 |
; |
||||
|
0 |
|
1 |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ω m2 +1 |
|
|
|||
РФЧХ – ϕp (m,ω) = |
π |
+ arctg |
|
S1ω |
− arctgm. |
||||
2 |
S0 |
− S1mω |
|||||||
|
|
|
|
|
|
ПИ-регулятор имеет два параметра настроек S0 и S1, которые вместе с ωp подлежат расчету. Система уравнений (7.12) записывается в виде:
|
|
(S |
0 |
− S mω |
|
)2 + S |
2 |
ω2 |
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
p |
|
1 |
p |
|
|||
M об(m,ωp ) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
=1; |
|
|
|
|
|
|
ωp |
m |
+1 |
|
|
(7.17) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
π |
|
|
|
|
S1ωp |
|
|
|
||||
|
+ arctg S |
|
|
− arctgm = −π. |
|||||||||
ϕоб(m,ωp ) = |
2 |
|
0 |
− S mω |
p |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Полученная система позволяет определить только два неизвестных, а надо три, поэтому она имеет бесконечноемножестворешений.
Для получения этих решений система разрешается относительно значений настроек:
|
|
|
S0 |
= ωp (m2 +1)M об* (m, ωp )ϕ*об(m, ωp ); |
(7.18) |
|||||
|
|
|
S = M * |
(m, ω |
)[m sin ϕ* |
(m, ω |
) − cosϕ* |
(m, ω |
||
|
|
|
)], |
|||||||
|
|
|
1 об |
p |
|
об |
p |
об |
p |
|
ГДЕ M об(m,ωр) = |
1 |
; ϕоб (M, ωР) = −ϕОБ(M, ωР). |
|
|
|
|
|
|
|
|
M об(m,ωр) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 < mзад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = mзад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 > mзад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
S1 |
|
|
|
|
i V(ω) |
i V(ω) |
U(ω) |
U(ω) |
Рис. 7.20 Годографы Михайлова с целью определения структурной устойчивости системы, состоящей из устойчивых инерционных, колебательных звеньев:
а − одного интегрирующего звена; б − двух интегрирующих звеньев
Пусть система состоит из одного интегрирующего и устойчивых инерционных и колебательных звеньев. В этом случае годограф Михайлова имеет вид, изображенный на рис. 7.20, а. Анализ этого годографа показывает, что при достаточно малых возмущениях весь годограф сдвигается немного вправо и система становится устойчивой, следовательно, система с одним интегрирующим звеном структурно-устойчива.
Система, состоящая из двух интегрирующих звеньев и любого числа устойчивых инерционных и колебательных звеньев, структурнонеустойчива. Годограф Михайлова этой системы изображен на рис. 7.20, б, из которого видно, что никакими возмущениями не удастся сдвинуть годографвправотакимобразом, чтобысистемасталаустойчивой.
7.8 Влияние малых параметров на устойчивость
При разработке математического описания системы нередко вносятся те или иные допущения, заключающиеся в пренебрежении малыми параметрами системы. Последнее ведет к понижению порядка дифференциальных уравнений и об устойчивости судят по приближенным "вырожденным" уравнениям чисто интуитивным путем. Однако для конкретных случаев можно оценить влияние малых параметров на устойчивость.
Пусть малый параметр µ входит линейно в характеристическое уравнение системы, т.е. это уравнение записывается следующим образом
D(s) = µD1(s) + D0(s) = 0, |
(7.20) |
ГДЕ µ − МАЛЫЙ ПАРАМЕТР; D0(S) − ПОЛИНОМ ПОРЯДКА N; D1(S) − ПОЛИНОМ ПОРЯДКА
N = M + N.
Здесь возможны три характерных случая:
1 Порядок числителя функции |
D1 (s) |
на единицу выше порядка знаменателя, m = 1. В этом случае |
|||||
D0 (s) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
один из корней характеристического уравнения s = |
a0 |
и при µ > 0, |
a0 |
> 0 уходит в бесконечность по |
|||
µb0 |
|
||||||
|
|
|
|
b0 |
отрицательной вещественной оси. При достаточно малых значениях µ система будет устойчивой, если корни вырожденного уравнения D0(s) = 0 − левые.
2 Порядок числителя функции D1 (s) на два порядка выше порядка знаменателя, m = 2. В этом слу-
D0 (s)
чае условием устойчивости системы является устойчивость решения вырожденного уравнения D0(s) = 0
и выполнение неравенства b1 − a1 > 0 . b0 a0
3 Разность порядков числителя и знаменателя m > 2. В этом случае отбрасывать малые параметры при исследовании устойчивости недопустимо.
Встречаются случаи, когда малый параметр входит в уравнение системы в виде полинома. Устойчивость такой системы определяется тем, как располагаются уходящие в бесконечность корни: справа или слева от мнимой оси. Расположение этих корней определяется, так называемым, вспомогательным уравнением. Для того, чтобы исходная система при достаточно малых µ была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вырожденное и вспомогательное уравнения, каждое порознь, удовлетворяли условиям устойчивости.
7.9 Корректирующие устройства
Как уже неоднократно говорилось, одним из приемов обеспечения устойчивости и запаса устойчивости системы является введение в нее дополнительного элемента, который исправляет, корректирует свойства исходной системы и называется корректирующим элементом.
Если этот элемент достаточно сложен, то он называется корректирующим устройством. Таким образом, корректирующее устройство − это функциональный элемент системы автоматического регулирования по отклонению, обеспечивающий необходимые динамические свойства этой системы. Включаютсяэтиэлементы всистему различным образом.
7.9.1 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ КОРРЕКЦИЯ
Корректирующееустройство включается впрямуюцепьсистемы обычно после датчика илиже предварительного усилителя. На рис. 7.21 изображена структурнаясхема системы автоматического регулирования споследовательным корректирующимустройством Wк (s).
ПРИМЕНЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ НАИБОЛЕЕ УДОБНО В СИСТЕМАХ, У КОТОРЫХ СИГНАЛ УПРАВЛЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ НАПРЯЖЕНИЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА.
Вкачестве корректирующих устройств могут быть выбраны следующие:
−идеальное дифференцирующее звено
Wк(s) = Тд s; |
(7.21) |
− идеальное дифференцирующее звено с совместным введением производной и отклонения
Wк(s) = kк(Тд s + 1); |
(7.22) |
− инерционные дифференцирующие звенья
Wк(s) = kк |
|
Tдs +1 |
; |
|
(7.23) |
|||
|
Ts +1 |
|||||||
− идеальное интегрирующее звено |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Wк(s) = |
1 |
|
; |
|
|
(7.24) |
||
T s |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
− инерционное интегрирующее звено |
|
|
|
|
|
|
|
|
Wк(s) = |
|
1 |
|
|
. |
(7.25) |
||
Tдs(Ts +1) |
Использование корректирующего элемента с передаточной функцией (7.21) ведет к потере информации о величине отклонения регулируемой величины. В этом случае необходимо учитывать как само отклонение, так и его производную, т.е. корректирующее устройство должно выбираться в виде (7.22). Однако передаточная функция корректирующего устройства должна выбираться в виде
(7.23).
x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t) |
||||
|
|
W3(s) |
|
|
Wк(s) |
|
|
W2(s) |
|
|
W1(s) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РИС. 7.21 СТРУКТУРНАЯ СХЕМА СИСТЕМЫ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ КОРРЕКЦИЕЙ Использование интегрирующих звеньев (7.24), (7.25) повышает порядок астатизма системы, что
ведет к ухудшению устойчивости, поэтому одновременно необходимо позаботиться о дополнительных средствах коррекции с целью повышения устойчивости. Введение производных является одним из способов такой коррекции.
7.9.2 ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ КОРРЕКЦИЯ
При параллельной коррекции корректирующее устройство подключается параллельно одному или нескольким основным звеньям (рис. 7.22), при этом возможна коррекция двух видов: упреждающая или прямая связь (рис. 7.22, а) и обратная связь (рис. 7.22, б). В замкнутой системе разница между этими видами параллельной коррекции становится условной и сводится лишь к тому, какие звенья считаются "охваченными" данной связью. Однако на практике чаще всего используют отрицательную обратную связь.
В зависимости от типа корректирующего устройства различают следующие типы обратных связей:
− жесткая обратная связь
Wк(s) = kк = соnst, |
(7.26) |
ГДЕ K – КОЭФФИЦИЕНТ ЖЕСТКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ;
− инерционная жесткая обратная связь
W |
(s) = |
kк |
|
; |
(7.27) |
|
|
||||
к |
|
Tосs |
+1 |
|
|
|
|
|
|
− идеальная гибкая обратная связь (дифференцирующая)
С Степень колебательности.
6 ПРИ РАСЧЕТЕ РЕГУЛЯТОРОВ НА ЗАДАННЫЙ ЗАПАС УСТОЙЧИВОСТИ ИХ НАСТРОЙКИ ВЫБИРАЮТСЯ…
А Вне кривой заданного запаса устойчивости. В На кривой заданного запаса устойчивости.
С Внутри области, ограниченной кривой заданного запаса устойчивости.
7 ДЛЯ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ С ПИ-РЕГУЛЯТОРОМ ГРАНИЦА ЗАДАННОГО ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ СТРОИТСЯ В КООРДИНАТАХ…
А S1 − S0.
В Re(m, ω) − Im(m, ω).
C Re(ω) − Im(ω).
8 КАКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ПРИ АНАЛИЗЕ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ НА ЗАПАС УСТОЙЧИВОСТИ ПО МОДУЛЮ И ФАЗЕ?
А АФХ объекта и АФХ регулятора. В АФХ разомкнутой системы.
С АФХ замкнутой системы.
9 ГРАНИЦА ЗАДАННОГО ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ПО УРАВНЕНИЮ…
А Wоб (−mωр, iωр) Wоб (−mωр, iωр, S0, S1) = – 1.
В Wоб (iωр) Wоб (iωр, S0, S1) = – 1.
С Wоб (−mωр, iωр) = Wоб (−mωр, iωр, S0, S1).
10 ПРИ СИНТЕЗЕ СИСТЕМ НА ЗАДАННЫЙ ЗАПАС УСТОЙЧИВОСТИ РАБОЧАЯ ЧАСТОТА − ЭТО…
А Частота, при которой система находится на границе устойчивости.
В Частота, при которой система находится на границе заданного запаса устойчивости. С Частота, при которой система находится в области неустойчивой работы.
8 ИССЛЕДОВАНИЕ КАЧЕСТВА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Одной из проблем, возникающих при построении систем автоматического регулирования, наряду с проблемой устойчивости, является качество регулирования, характеризующее точность и плавность протекания переходного процесса.
Система автоматического регулирования называется качественной, если она удовлетворяет определенным технологическим требованиям: например, как будет меняться реакция системы, если на ее вход действуют различного рода возмущения как по каналу управления, так и по каналу возмущения, т.е. обеспечивается ли принципиальная возможность прихода системы в некоторое установившееся состояние. Такое понятие качества автоматической системы охватывает ее статические и динамические свойства, выраженные в количественной форме и получившие название показателей качества управления.
8.1Показатели качества
8.1.1ПРЯМЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ