Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс
.pdfQ Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равен ство х3 + у3 - Зху = О. Из полученного соотношения
3х2 + 3 · у2 |
·у' - 3(1 ·у+ х ·у')= О |
• |
|
следует, что у2у' - ху' = у - |
х2 |
У - х2 |
|
, т. е. у' = :-:т--=. |
|||
|
|
у -х |
21.2. Функция, заданная параметрически
Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана па-
раметрически в виде двух уравнений
{х = x(t),
(21.1)
у= y(t),
где t - вспомогательная переменная, называемая параметром.
Найдем производную у~, считая, что функции (21.1) имеют произ водные и что функциях= x(t) имеет обратную t = <р(х). По правилу
дифференцирования обратной функции |
|
t~ = __!,.. |
(21.2) |
Xt |
|
Функцию у = f(x), определяемую параметрическими уравнения
ми (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у = y(t), где
t=<p(x).
По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у~ =
=у~. t~.
С учетом равенства (21.2) получаем
1 1 1 |
1 у~ |
Ух= Yt · -,, |
т. е. Ух=/· |
Xt |
Xt |
Полученная формула позволяет находить производную у~ от
функции заданной параметрически, не находя непосредственной зави
симости у от х.
|
Пример 21.2. Пусть {х= t:, |
|
Найти у~. |
|
|
||||
|
|
у= t. |
|
|
|
|
|
||
Q |
Решение: Имеем х~ |
3t2 , |
у~ |
2t. |
Следовательно, у~ |
|
2t |
||
|
W' т. е. |
||||||||
у/ |
= -2.. |
|
|
|
|
|
|
|
• |
х |
Зt" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом .можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у |
||||||||
от х. |
= v х. |
|
огда у - |
v х~. |
тсюда Ух - |
3 |
Vx, т. е. |
||
|
ействительно, t |
|
|||||||
|
д |
з;;; |
т |
|
_ згz 0 |
, _ |
|
2 |
|
у - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
зt· |
|
|
|
|
|
|
|
|
180
§22. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Вряде случаев для нахождения производной целесообразно задан ную функцию С'Нд'Ч.ала прологарифмировать. А затем результат про дифференцировать. Такую операцию называют логарифми'Ч.еским диф ференцированием.
Пример 22.1. Найти производную функции
(х2 + 2) · V(x - 1)3 • ех
у= |
(х + 5)3 |
Q Решение: Можно найти у' с помощью правил и формул дифферен
цирования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим ло гарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию:
|
|
lny = ln(x2 + 2) + i ln(x -1) + х - |
Зln(x + 5). |
|
||||||||
Дифференцируем это равенство по х: |
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
3 |
1 |
|
1 |
|
|
|
- |
·у= -- |
·2х+- · -- +1 - 3· -- . |
|
|||||||
|
|
у |
|
|
х2 |
+ 2 |
4 |
х - |
1 |
х + 5 |
|
|
Выражаем у': |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
У |
, |
=у |
( |
2х |
|
3 |
+ 1 - |
3 ) |
|
|
|
|
|
|
х2 + |
2 + 4(х - 1) |
х + 5 ' |
|
||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
1 |
(х2 + 2) · V(x - 1)3 · ех ( |
2х |
|
3 |
3 ) 8 |
||||||
|
= |
(х + 5) 3 |
· |
х2 + 2 + 4(х - 1) + 1 - |
х + 5 · |
iJ Существуют функции, производные которых находят лишь лога-
рифмическим дифференцированием. К их числу относится так на
зываемая сmеnенно-nоказаmел:ьна.я функция у= uv, где и= и(х)
и v = v(x) - заданные дифференцируемые функции от х. Найдем про изводную этой функции:
lny = v · lnи, |
1 |
1 |
=v |
1 |
1 |
1 |
===} -·у |
|
|
·lnи+v·-·и, |
|||
|
у |
|
|
|
и |
|
у1 = у ( v1 · ln и + v · ~1 · и') ,
т. е.
у' = иv ( v' ·ln и+ v · ~ · и'),
или |
иv · ln и· v' + v · иv-l ·и'./ |
|
/ (uv)' = |
(22.1) |
181
Сформулируем правило запоминания формулы (22.1): производ
ная степенно-показательной функции равна сумме производной пока
зательной функции, при условии и = const, и производной степенной
функции, при условии v = const.
При.мер 22.2. Найти производную функции у= (sin2x)x2 +1 .
Q Решение: Пользуясь формулой (22.1), получаем: |
|
у' = (sin 2х)х2+1 • ln sin 2х · 2х + (х2 + l)(sin 2х)х2 • cos 2х · 2. |
8 |
Отметим, что запоминать формулу (22.1) необязательно, легче за
помнить суть логарифмического дифференцирования.
§ 23. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
23.1.Производные высших порядков явно заданной
функции
Производная у' = f'(x) функции у= f(x) есть также функция от
х и называется производно'i~ первого порядка.
Если функция f'(x) дифференцируема, то ее производная называ-
ется производной второго порядка и обозначается у" (или f"(x), ~:~,
d~(*),~)-Итак, у"= (у')'.
Производная от производной второго порядка, если она существу
ет, называется производной третъего порядка и обозначается ут (или
f"'(x), ~:~, ... ).Итак, у"'= (у")'.
Производной п-го порядка (или п-й производной) называется про изводная от производной (n - 1) порядка:
1 y(n) = (y(n-1))'. J
Производные порядка выше первого называются производнъtми вьtсших порядков.
Начиная с производной четвертого порядка, производные обозна
чают римскими цифрами или числами в скобках (yv или yC5 J - про
изводная пятого порядка).
При.мер 23.1. Найти производную 13-го порядка функции у
= sinx.
182
Q Решение:
у' = (sin х)' = cos х= sin ( х+ ~),
у"= (у')'= (cosx)' = -sinx = sin(x + ~ ·2),
у111 = (- sin х)' = - cos х= sin ( х+ ~·3), y1v = (- cos х)' = sin х = sin ( х+ ~ ·4) ,
у<13) = sin ( х+ ~ ·13). •
23.2. Механический смысл производной второго
порядка
Пусть материальная точка М двюкется прямолинейно по закону
S = f(t). Как уже известно, производная s: равна скорости точки в данный момент времени: s; = v.
Покажем, что вторая производна.я от пути по времени есть ве
ли'Чшtа ускорения прямо.линеfiного движения mО'ЧКи, Т. е. s:' = а.
Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t + дt - скорость равна V + дV, т. е. за промежуток времени дt ско
рость изменилась на величину дV.
Отношение 1,.~ выражает среднее ускорение двюкения точки за
время дt. Предел этого отношения при дt -t О называется ускорением
точки м в данный момент t и обозначается буквой а: lim лдvt = а,
дt-+0
т. е. V' =а.
Но V = s;. Поэтому а= (S;)', т. е. а= s;1 •
23.3.Производные высших порядков неявно заданной
функции
Пусть функция у = f(x) задана неявно в виде уравнения
F(x;y) =О.
Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное
уравнение относительно у', найдем производную первого порядка (пер
вую производную). Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут х, у и
183
у'. Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй произ водной, выразим у" через х и у.
Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.
Пример 23.2. Найти у111, если х2 + у2 = 1. |
|
а Решение: Дифференцируем уравнение х2 + у2 |
- 1 |
х |
= - |
+ 2у · у' = О. Отсюда у' = - - . Далее имеем: у" |
|
у |
|
= о ПО х: |
|
2х + |
1 ·у - х. у' |
, |
т. е. |
у2 |
|
|
у"= - |
у - х . (- ~) |
= - |
у2 + х2 |
1 |
|
+ у2 |
= 1), следова- |
|
у2 |
У |
уз |
= -- (так как х2 |
|||||
|
|
|
уз |
|
|
• |
||
тельно, у111 = |
-1·3у2 |
·у' =-3. (--х) =-3х |
|
|||||
|
|
|
уб |
у4 |
у |
у5. |
|
|
|
|
|
|
|
23.4. Производные высших порядков от функций,
заданных параметрически
Пусть функция у = f (х) задана параметрическими уравнениями
{х = x(t),
у= y(t).
Как известно, первая производная у~ находится по формуле
у~ |
1 |
|
= у~. |
(23.1) |
|
|
Xt |
|
Найдем вторую производную от функции заданной параметриче
ски.
Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что
у" = (у')' = (у')' . t' |
= (у~)~ |
' |
|
|||||||
хх |
|
|
х х |
х |
t |
х |
|
х' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
т. е. |
|
|
// |
= (у~)~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(23.2) |
|||
|
|
|
ухх |
|
1 |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xt |
|
|
|
|
|
Аналогично получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ym = |
( |
11 |
)' |
YIV |
= |
( |
111 |
)' |
|
|
|
Ухх |
t |
|
Уххх |
t |
|
|
|||
ххх |
|
х~ |
' |
хххх |
|
х~ |
' |
|
|
|
Пример 23.3. Найти вторую производную функции { |
х = cost, |
|||||||||
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у= sшt. |
Q Решение: По формуле (23.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
, |
|
(sint)~ |
cost |
|
= - ctgt. |
|
||||
Ух = (cos t)~ |
= - sin t |
|
|
184
Тогда по формуле (23.2)
11 |
( - ctg t)~ |
si;2 t |
1 |
• |
Ухх = |
(cost)~ |
= -sint = - sin3 t" |
Заметим, что найти У~х можно по преобразованной формуле (23.2):
11 |
(у~)~ (~1 )~ |
у~'· х~ - х~' ·у~ |
Ухх = ~ = ~ = |
(х~)З |
запоминать которую вряд ли стоит.
§ 24. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 24.1. Понятие дифференциала функции
Пусть функция у = f(x) имеет в точке х отличную от нуля про
изводную lim ~дд = f'(x) f:. О. Тогда, по теореме о связи функции, ее
дх--tО Х
предела и бесконечно малой функции, можно записать ~ = !' (х)+о:,
где о:-+ О при дх-+ О, или ду = f'(x) · дх +о:· дх.
Таким образом, приращение функции ду представляет собой сум
му двух слагаемых f' (х) ·дх и о: ·дх, являющихся бесконечно малыми при дх-+ О. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функ
ция одного порядка с дх, так как lim |
/'(х) ·дх |
= f'(x) f:. О, а второе |
Д |
||
дх--tО |
Х |
|
слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка,
чем дх: |
о: . дх |
lim |
-д = lim о: = О. |
дх--tО |
Х дх--tО |
Поэтому первое слагаемое f'(x) · дх называют главноii. -частью nрuращени.я функции ду.
~Дифференциалом функции у= f(x) в точке х называется глав
ная часть ее приращения, равная произведению производной функ
ции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x)):
dy = f'(x) · дх. |
(24.1) |
Дифференциал dy называют также дифференциалом первого
порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. диф ференциал функции у= х.
Так как у'= х' = 1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy = dx =
= дх, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению
этой переменной: dx = дх.
Поэтому формулу (24.1) можно записать так: |
|
1 dy = f'(x)dx, 1 |
(24.2) |
185
!i иными словами, дифференциа.л, функции равен произведению nроизводноii. эmoii. функции на дифференциа.я независимоii.
nеременноii..
Из формулы (24.2) следует равенство fШ = f'(x). Теперь обозначение производной fШ можно рассматриватькак отношениедифферен
циалов dy и dx. |
|
|
При.мер 24.1. |
Найти дифференциал функции |
|
|
f(x) = 3х2 - sin(l + 2х). |
|
Q Решение: По формуле dy = f'(x)dx находим |
|
|
dy = (3х2 - |
sin(l + 2х))' dx = (6х - 2 cos(l + 2х)) dx. |
8 |
При.мер 24.2. Найти дифференциал функции
у= ln(l + е10х) + Jx2+1.
Вычислить dy при х = О, dx = 0,1.
Q Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
dy = (ln(l + е10х) + Jх2 |
+ 1)' dx = ( |
10е10х |
х |
|
) |
||
1 |
+е |
10 |
+ JX2+1 |
dx. |
|||
|
|
|
х |
х2 |
+1 |
|
|
Подставив х =О и dx = 0,1, получим |
|
|
|
|
|
|
|
dy' х=О, |
= (12°+О)о,1 = 0,5. |
|
|
• |
|||
dx=0,1 |
|
|
|
|
|
|
24.2. Геометрический смысл дифференциала функции
Выясним геометрический смысл дифференциала.
Для этого проведем к графику
функции у = f(x) в точке М(х; у) ка
сательную МТ и рассмотрим ордина
ту этой касательной для точки х + Лх
(см. рис. 138). На рисунке JAMJ = Лх, JAM1 J = Лу. Из прямоугольного тре
угольника МАВ имеем:
у
у+Лу
Лу
tga = |
JABJ |
|
|
|
|
Лх , т. е. JABJ = tga · Лх. |
х |
х+Лх |
х |
||
|
|
|
|||
Но, |
согласно |
геометрическому |
Рис. 138 |
|
|
смыслу производной, |
tga = f'(x). По |
|
|||
|
|
|
этому АВ = f'(x) · Лх.
186
iJ Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy = АВ, т. е. дuфференцuа.л, функции. у= f(x) в точке х ра
вен при.ращению ордuнати касате.л,ьноii. к графи.ку функции.
вэmoii. mо'Чке, когда х no.л,y'Чum при.ращение дх.
Вэтом и состоит геометрический смысл дифференциала.
24.3. Основные теоремы о дифференциалах
Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя
связь дифференциала и производной функции (dy = f' (х) dx) и соот
ветствующие теоремы о производных.
Например, так как производная функции у= с равна нулю, то диф
ференциал постоянной величины равен нулю: dy=c' dx=O· dx=O.
Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух
дифференцируемых функций определяются следующими формулами:
d(u + v) = du + dv, d(uv) = v · du +и· dv,
d ( ~) = v du - иdv (v 1' 0).
v |
v 2 |
Q Докажем, например, вторую формулу. По определению дифферен
циала имеем:
d(uv) = (uv)'dx = (u'v + uv')dx = v · u'dx +и· v'dx = vdu + udv. 8
Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведе нию производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.
О Пусть у= J(u) и и= ср(х) две дифференцируемые функции, образу
ющие сложную функцию у= f(cp(x)). По теореме о производной сложной функции можно написать '
Умножив обе части этого равенства на dx, получаем y~dx=y~u~dx. Но у~ dx = dy и и~ dx = du. Следовательно, последнее равенство можно
переписать так: |
dy =у~· du. |
• |
|
||
|
|
187
Сравнивая формулы dy = у~ · dx и dy = у~ · du, видим, что пер
вый дифференциал функции у = f(x) определяется одной и той же
формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой
переменной или является функцией другого аргумента.
~Это свойство дифференциала называют инвариантностью (не
изменностью) форми первого дифференциала.
Формула dy = у~ · dx по внешнему виду совпадает с формулой dy = у~ · du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой
формуле х - независимая переменная, следовательно, dx = дх, во
второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, du f-
f- ди.
С помощью определения дифференциала и основных теорем о диф ференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.
Например, d(cos и) = (cos и)~ · du = - sin и · du.
24.4. |
Таблица дифференциалов |
1. d(u ± v) = du ± dv; |
|
2. |
d(u · v) = vdu + udv, в частности, d(cu) =с· du; |
3. |
d ( ~) = v du;; иdv , в частности, d (;) = - cv1v ; |
4.dy =у~ dx, если у= f(x);
5.dy =у~· du, если у= !(и), и= rp(x);
6.dc =О;
7.d(u°') =а· и°'-1 • du;
8.d(аи) =аи· lna · du, в частности, d(eu) = еи · du;
9. d(loga и) = - |
- |
· |
du, в частности, d(ln и) = 1 ·du; |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
и |
|
|
и·nа |
|
|
|||
10. |
d(sinu) = cosudu; |
|
16. d(arctgu) = ~l1 du; |
|||
11. |
d(cosu) = - sin udu; |
+и |
||||
1 |
|
|||||
12. |
d(tgu) = ~du; |
|
||||
|
|
|
|
|
17. d(arcctgu) = -~1 du; |
|
|
cos |
и |
|
|
18. d(sh и)= ch udu; |
+и |
13. |
d(ctgu) = --:Jг- du; |
|
||||
19. d(chu) = shudu; |
|
|||||
|
sш |
и |
|
|
||
14. |
d(arcsin и) = |
у' 1 |
du; |
20. d(thu) = ~hl du; |
||
|
|
|
1-и2 |
с и . |
||
15. d(arccos и) = |
- h |
du; |
21. d(cthu) = -~hl du. |
|||
|
|
|
1-и2 |
s и |
188
24.5. Применение дифференциала к приближенным
вычислениям
Как уже известно, приращение Лу функции у = f(x) в точке х можно представить в виде Лу = f'(x) · Лх +а· Лх, где а --+ О при
Лх--+ О, или Лу = dy +а· Лх. Отбрасывая бесконечно малую а· Лх более высокого порядка, чем Лх, получаем приближенное равенство
Лу ~ dy,
ции у = х3 - 2х + 1 при х = 2 и Лх = 0,001.
Q Решение: Применяем формулу (24.3): Лу ~ dy
= (3х2 - 2) · Лх.
dyj х=2 = (3 · 4 - 2) · 0,001 = 10 · 0,001 = 0,01.
Лх=О,001
Итак, Лу ~ 0,01.
Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифферен циал функции вместо ее приращения. Для этого найдем Лу:
Лу = ((х + Лх)3 - 2(х + Лх) + 1) - (х3 - 2х + 1) =
= х3 + 3х2 · Лх + 3х · (Лх)2 + (Лх)3 - 2х - 2 · Лх + 1 - х3 + 2х - 1 =
|
= Лх(3х2 + 3х · Лх + (Лх)2 |
- 2); |
|
Луj х=2 = 0,001(3 · 4 + 3 · 2 · 0,001+0,0012 - 2) = 0,010006. |
|||
Лх=О,001 |
|
|
|
Абсолютная погрешность приближения равна |
• |
||
JЛу |
- dyj = J0,010006 - O,Olj = 0,000006. |
||
|
|||
Подставляя в равенство (24.3) значения Луи dy, получим |
|
||
|
f(x + Лх) - f(x) ~ /1(х) · Лх |
|
|
или |
J f(x + Лх) ~ f(x) + f'(x) · Лх. J |
(24.4) |
|
|
|||
Формула (24.4) |
испо.лъзуетс.я. д.л.я ви'Числениtt приб.лиженнъ~х зна |
||
'Чениtt функциtt. |
|
|
|
Пример 24.4. |
Вычислить приближенно arctg 1,05. |
|
189