кратные и криволинейные интегралы
.pdf1. |
Змінити порядок інтегрування |
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1 |
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y |
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6 |
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2 x |
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1. dy |
f (x, y)dx |
14. |
dx f (x, y)dy |
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0 |
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y |
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4 |
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x |
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1 |
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9 x 2 |
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4 |
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ln y |
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2. dx |
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f ( x, y)dy |
15. |
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dy |
f (x, y)dx |
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0 |
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0 |
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3 |
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0 |
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||||||
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e |
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ln x |
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2 |
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x x |
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3. dx |
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f ( x, y)dy |
16. |
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dx |
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f (x, y)dy |
||||||||||||||||||||
0 |
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|
0 |
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1 |
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x |
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||||||||
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4 |
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8 y |
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1 |
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2 y 2 |
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4. dy |
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f ( x, y)dx |
17. |
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dy |
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f ( x, y)dx |
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0 |
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y |
|
|
|
|
|
|
0 |
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|
y |
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|||||||
1 |
|
2 x |
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1 |
|
|
x 2 |
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5. dx |
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f ( x, y)dy |
18. |
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dx f ( x, y)dy |
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x3 |
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43 |
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|
3x |
|
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|
|
2 |
|
|
2 x |
|
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6. dx f ( x, y)dy |
19. |
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dx f ( x, y)dy |
||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
y |
|
|
||||||||||||
7. dy f (x, y)dx |
20. |
|
dy |
f ( x, y)dx |
|||||||||||||||||||||||
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ln y |
|
|
||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
8 x 2 |
|
1 |
|
|
3 2 y |
|
|
|||||||||||||||||||
8. dx |
|
|
|
f ( x, y)dy |
21. |
dx |
|
f (x, y)dx |
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
2 x 2 |
|
|
1 |
|
|
e x |
|
|
||||||||||||||
9. dx |
|
|
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|
f ( x, y)dy |
22. |
|
dx |
f (x, y)dy |
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
e x |
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
4 x 2 |
|
1 |
|
|
|
1 y |
|
|
||||||||||||
10. dx |
f (x, y)dy |
23. |
|
dy |
|
|
|
|
f (x, y)dx |
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 y |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
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|||||||||||||
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||||||||
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|
8 y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 x 2 |
|
|
|||||||||||||
11. dy |
f (x, y)dx |
24. |
|
dx |
|
|
|
|
f ( x, y)dy |
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
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|
|
|
|
y 2 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
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|||||||||||||
12. dx f (x, y)dy |
25. |
|
dy |
|
f ( x, y)dx |
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
y |
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||
13. dx f ( x, y)dy |
26. |
|
dx |
f (x, y)dy |
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
3 x |
|
|
|
x |
|
4 |
|
||||
27. |
dx |
f ( x, y)dy |
28. dx f ( x, y)dy |
|||
|
0 |
0 |
0 |
|
x 2 |
|
|
1 |
2 y |
1 |
|
2 y |
|
29. |
dy |
f (x, y)dx |
30. dy |
f (x, y)dx |
||
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
2. Знайти площу фігури, обмеженої лініями:
1. y |
9 |
|
, y x, |
|
x 6 |
2. y x2 , x y 6 |
||||||||||||||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
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|
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||||
3. y 4x x2 , y 3x2 |
4. y ln x, y x 1, y -1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
y sin x, |
y cosx, x 0 |
6. |
y |
x |
, |
|
|
|
y 2x , |
x 3y 7 0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
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|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||
7. y |
x 2 |
|
, y x 3 , 2x y 6 0 |
8. y 2 2x , |
y x |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
2 |
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9. |
y 2 x 4 , |
y 2 |
2x 5 |
10. |
y 2 x , |
x 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
x y 2, |
y |
x2 |
1 |
12. |
y |
2 |
|
|
|
, y 5e x , y 2 , y 7 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||
|
y 3 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
3 |
|
, x 9 |
|
y 11 x2 , y 10x |
||||||||||||||||||||||
13. |
|
|
x , |
14. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y |
1 |
|
|
, y |
|
|
, x 16 |
|
y 3 |
|
|
|
|
y |
3 |
, x 4 |
|||||||||||||||||||
15. |
|
|
x |
16. |
|
x , |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
y |
3 |
|
|
|
|
|
|
y |
3 |
|
, x 9 |
|
y |
3 |
|
|
|
|
y 4e x |
y 3 , y 4 |
|||||||||||||||
17. |
|
|
|
|
x , |
|
18. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
19. |
x 8 y 2 |
, x 2 y |
20. |
x 8 y 2 , x 4 y |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x 27 y 2 , x 6 y |
|||||||||||||||||||||||
21. |
y |
|
|
|
|
x , y |
|
|
, x 16 |
22. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
23. |
y |
3 |
|
|
, y 8e x |
|
y 3 , y 8 |
24. |
y |
2 |
|
, |
|
|
y 5e x , y 2 , y 5 |
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
25. |
y 27 x2 , y 6x |
26. |
y x3 |
|
, y 0 , |
x 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
27. |
|
|
, y 1 |
y 3 , x 0 |
28. |
y |
x , |
y 0 |
, x y 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
29. |
y |
1 |
|
|
, y x |
, x 2 |
30. |
x ln y , y 1 |
y 2 , x 0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. За допомогою потрійного інтерграла знайти об΄єм тіла, обмеженого поверхнями:
1. y x2 , y 1, z 0 , z x2 y2
2.3x 2 y z 6 0 , y 0, z 0 , x 0
3.y x , y 2 x , x z 4 , z 0
4.x y 3 , y 0, z 0 , x 0, z x2 y2
5.x2 y2 1, x y z 3, z 0
6.z 0 , z 1 x2 4 y2
7.z x2 y2 , y 0, z 0 , x 1
8. |
x2 y2 9 x2 z2 9 |
|
||||
9. |
y 4 x2 , y x2 2 , |
z 0 , z 2 |
||||
10. |
y2 |
x |
, |
y 0, z 0 , x 2 y z 4 |
||
|
||||||
|
|
2 |
|
|
12, 3x y 6 , z 0 , y 0 |
|
11. |
x y z |
6 , 3x 2 y |
||||
12. |
y x2 , x y z 3, |
z 0 , y 1 |
13.y x2 , x y 2 , z 0 , y 0
14.z x, x 4 y2 , z 0
15.x2 y2 9, z 5 x y , z 0
16.z x2 y2 , x y 2 , y 0, z 0 , x 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
17. |
z 2 y , x |
|
|
|
9 x2 |
, z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
18. |
y2 2 x , |
|
z 3x , |
z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
z 0 , |
x |
|
|
|
|
|
|
y 3x , x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
19. |
|
|
y , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
20. |
z y2 , |
y 2x , |
|
x 3, z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
z 0 , |
z |
|
|
|
|
|
y 2x , x 0, y 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
21. |
|
|
y , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
22. |
z 0 , |
z x2 , |
y 2x , x 4 , |
y 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x y 2 , |
y |
|
|
|
|
|
|
|
z 12 y , |
z 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
23. |
|
x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x y 4 , |
y |
|
|
|
|
|
z 3y , |
z 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
24. |
|
2x , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x2 y2 |
18, |
x |
|
|
|
|
|
z |
10y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
25. |
|
3y , x 0, |
, |
z 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
||
|
x y 8 , |
y |
|
|
|
z 3y , |
z 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
26. |
|
4x , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
27. |
z x2 y2 1, |
|
x 4 , x 0, |
y 0, |
y 4 , z 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
28. |
z |
1 |
y2 , 2x 3y 12 0 |
, x 0, |
y 0, z 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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29. |
z x2 y2 , |
y 1, |
|
|
y x2 , |
z 0 |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
30. |
z 4 y2 , |
z y2 2 , x 1, x 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4. Обчислити масу тіла, обмееного поверхнями, якщо задано густину |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1. |
x2 y2 |
z 2 |
|
, x2 |
y2 |
z |
, x 0, y 0, |
x 0, y 0) , |
14 yz |
||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||
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25 |
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5 |
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x 0, y 0, z 0) , |
|
||||
2. x2 y2 z2 4 , x2 y2 9z2 , x 0 , y 0 , |
10 yz |
3. x 0 , |
y 2, |
z 0 , y x 0 , y z 0, |
|
xyz |
|
|
|
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|
|
|
|
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4. x 2, |
y2 2x , |
z 0 , |
|
z y 2 , |
2z |
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5. 9( x2 y2 ) z2 , |
x2 y2 4 , |
x y z 0 , |
|
|
x 0, y 0, z 0) , |
5 |
(x2 |
y2 ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
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|
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6. x2 y2 z2 4 , |
x2 y2 1, (x2 y2 1) , |
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6 |
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z |
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7. z 0 , z 4 y2 , x y 0 , |
x y 0 , |
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|
1 |
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|
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|
y |
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x2 y2 |
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8. z 0 , z x , z 4 y2 , |
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9. x2 y2 1, |
x2 y2 z , x y z 0 , |
x 0, y 0, , |
10 y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
x2 y |
2 |
z 2 |
, |
x2 y2 |
|
|
z |
|
, |
x 0, |
z 0, |
(x 0, y 0), , 10xz |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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49 |
|
|
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|
7 |
|
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|
z 0 , 2x , |
|
|
|
|
|
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11. |
x y z 1, |
x 0, |
y 0 , |
|
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|
y 9x , |
y 0 , x 1, z |
|
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z 0 , |
1 2x3 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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12. |
|
xy , |
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
y 15x , |
|
y 0 , |
x 1 , |
|
|
|
z xy , z 0 , |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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14. |
z 0 , |
z y2 , |
2x y 2 , |
|
|
x 0 , |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
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1 x |
|
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15. |
y x2 , y 1, |
z x2 y2 , |
|
|
z 0 , |
|
1 |
x |
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|
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2 |
|
x 0, y 0) , |
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||
16. |
x2 y 2 |
1, |
x2 |
y 2 3z , |
|
|
|
x 0 , |
y 0 , z 0 |
15x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17. |
x2 y 2 |
z 2 |
9 , |
x2 y2 4 , |
(x2 y 2 4) , |
z 0 |
z 0, |
, |
2z |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18. |
z x2 y 2 1, |
|
x 4 , |
y 4 , |
x y z 0 , |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
19. |
y 0 , |
z 0 , 3x y 6 , |
|
3x 2 y 12 |
x y z 6 , |
3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
20. |
z x2 y 2 1, |
|
x 4 , |
y |
4 , |
x y z 0 , |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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21. |
x2 y 2 |
|
4z 2 |
, |
x |
2 y 2 |
2 |
z |
, |
x 0, |
y 0 , |
|
x 0, |
|
y 0) , |
20x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
x 0, |
y 0, z 0) , |
|
|
|
|
|||||||||||||||
22. |
x2 y 2 |
z 2 |
16 , |
x2 y 2 |
9z 2 , |
x 0, y 0 , |
|
z 0 |
5z |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23. |
36(x2 y 2 ) z 2 , |
x2 y 2 |
1, |
x 0, |
z 0 |
x 0, |
z 0) , |
|
5 |
(x 2 |
y 2 ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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y 0 , z 0 y 0, |
z 0) , |
|
|
6 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
24. |
4(x2 y 2 ) z 2 , |
x2 y 2 |
1, |
|
10(x2 |
y 2 ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25. |
x2 y 2 |
z 2 |
1, |
x2 y 2 |
4z 2 |
, x 0 , y 0 , |
x 0, y 0, |
z 0) , |
20z |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
26. |
x2 y 2 |
|
4z 2 |
, |
x |
2 y 2 |
2 |
z |
, |
x 0, |
y 0 , |
|
x 0, |
|
y 0) , |
20x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
49 |
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|
|
7 |
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x 0, y 0) , |
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||
27. |
x2 y 2 |
1, |
x2 |
y 2 2z , x 0, |
y 0 , z 0 |
10z |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
28. |
x2 y 2 |
z 2 |
4 , |
x2 y 2 1, |
(x2 y 2 1) , |
|
x 0 |
|
x 0, |
, |
|
4 |
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
29. |
x2 y 2 |
z 2 |
1, |
x2 y 2 |
6z , |
x 0, |
y 0 , z 0 |
x 0, |
y 0) , |
|
|
90 y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
30. |
64(x2 y 2 ) z 2 , |
x2 y2 |
4 , |
y 0 , |
z 0 |
|
y 0, |
z 0) , |
|
5 |
(x 2 y 2 ) |
|
|
|
|
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4 |
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|
вздовж лінії y f (x), якщо a x b. |
||||||||||||
5. |
Обчислити роботу силового поля |
P |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
||||
1. |
|
P |
|
|
|
|
xi |
|
|
(x y) j , y x2 , 0 x 1. |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, y 2x2 , 0 x 2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
|
P |
(3y x) |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, y x , |
0 x 1. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
P |
2xyi |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, y 2 2x , 0 x 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
P |
(xy 1) |
i |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
, y 2x2 , |
|
0 x 1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
P |
y(x y) |
i |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
( y2 2x) |
|
|
, |
|
y |
x 4 |
|
|
4 x 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
|
P |
(x2 2y) |
i |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
7. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2x 3y) |
|
|
|
|
|
|
(3x 4y) |
|
, y |
1 |
x2 |
|
|
0 x 4. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P |
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2 |
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x2 |
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8. |
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P |
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(x2 2y) |
i |
|
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( y2 2x) |
j |
, |
4 x 0. |
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|
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|
, y x2 , |
1 x 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
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P |
(x y) |
i |
|
|
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j |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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x |
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, y 2x2 |
|
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0 x 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
P |
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|
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|
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i |
|
|
|
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j |
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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(xy x) |
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x2 |
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y 2 |
|
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11. |
|
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P |
i |
|
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|
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j |
, |
|
x , 0 x 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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12. |
|
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yi |
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|
0 x 2. |
|
|
|
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, y sin x , |
|
x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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13. |
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P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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( y x) |
|
|
|
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y x3 , |
0 x 1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14. |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
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j |
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|
|
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x2 |
|
|
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, y |
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|
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15. |
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P |
|
|
|
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j |
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x , 0 x 1. |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
|
P |
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(xy y2 ) |
i |
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x |
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j |
, y 2x2 |
, |
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0 x 1. |
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, y (2 x)2 , |
|
0 x 2. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17. |
|
P |
|
|
2xi |
j |
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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x |
|
|
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|
y 1 2x , |
|
2 x 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18. |
|
P |
|
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i |
|
|
|
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j |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x |
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|
|
|
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|
|
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, y 4x 1, |
2 x 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19. |
|
P |
i |
j |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 |
|
|
|
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( y x) |
|
|
|
|
|
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|
|
, |
y x2 , |
0 x 1. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20. |
|
P |
|
|
|
|
i |
|
|
|
j |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
, y 2 x2 , 2 x 0. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21. |
|
P |
yi |
|
|
j |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22. |
|
P |
( y x) |
i |
|
|
2x |
|
j |
, |
|
y 1 2x , |
1 x 4. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
, y 1 4x , 0 x 2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23. |
|
P |
(2xy y) |
i |
|
j |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
2x |
|
|
, y 2x x2 , |
|
0 x 3. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24. |
|
P |
i |
|
j |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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x |
|
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|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
xy |
|
, |
|
|
y 1 x , |
0 x 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25. |
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P |
(1 xy) |
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
, y x2 x , |
1 x 0. |
|||||||||||
26. |
P |
|
|
|
xi |
|
|
j |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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x |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
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2xyi |
|
x2 |
|
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, y x2 x , |
2 x 2. |
||||||||||||||||||||
27. |
P |
|
|
|
|
|
j |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2( y x) |
|
|
|
( y x) |
|
, y x 2 , |
2 x 1. |
||||||||||||||||||||
28. |
P |
|
|
i |
|
j |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x2 y2 ) |
|
, |
y 1 x , |
0 x 1. |
|||||||||||||||||||||
29. |
P |
(x y)2 |
i |
|
j |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y2 |
|
, y 2 x , 0 x 2. |
|||||||||||||||||||||||||
30. |
P |
(x2 y2 ) |
i |
j |
6. Обчислити масу дуги, заданої параметрично, якщо відома її густина .
|
x 3(t sin t), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t , y |
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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y 3(1 cos t), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 8cos t, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t , x y |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 8sin t, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 2 cos t, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t |
|
|
, y |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y 2sin t, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
t |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t |
4 8, 4( y |
9 |
) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||
|
|
|
0,25t 4 , |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2(t sin t), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t |
|
|
, 2 y |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
y 2(1 |
cos t), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x sin t |
cos t, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t |
|
, |
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y sin t cos t, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
0 t |
|
|
8, 9 2x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
t |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y 3 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x et |
(sin t cos t), |
|
|
|
|
|
|
|||||
8. |
|
|
|
|
|
0 t |
|
|
, x y |
||||
|
|
(cos t sin t), |
2 |
|
|
|
|
||||||
|
y et |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t cos t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
9. |
|
|
|
|
|
0 t |
|
, |
x2 y 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t sin t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
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||
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x 1 |
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, |
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2 |
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||||||
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10. |
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0 t |
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t |
3 |
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y 2 |
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, |
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3 |
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x sin 3 |
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t, |
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11. |
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0 t |
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, xy |
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||||||
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t, |
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4 |
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y cos3 |
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x 2(t sin t), |
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12. |
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t , y |
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2 |
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||||||||||
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y 2(1 cos t), |
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x sin 3 t, |
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13. |
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0 t |
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, 4x |
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2 |
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y 8 cos3 t, |
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||||||
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x t sin t cos t, |
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3 |
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14. |
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0 t |
, |
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x2 |
y 2 |
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4 |
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y sin t |
t cos t, |
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x 4(sin t t cos t), |
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1 |
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x2 y 2 |
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15. |
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0 t |
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|||||||
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4 |
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y 4(t sin t cos t), |
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x sin 2t, |
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16. |
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t |
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, 2x |
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||||||||||
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4 |
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2 |
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y 2sin 2 t, |
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||||||
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t 2 |
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x |
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1, |
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2 |
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||||||
17. |
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0 t 3, 2x 3 |
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t |
3 |
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y 4 |
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, |
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3 |
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x 4 sin 2 t, |
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0 t |
|
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y |
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18. |
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2 |
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y 2 sin 2t, |
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x 1 cos t, |
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||
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0 t 2 , |
|
1 |
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|||
19. |
|
x |
||||||
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|||||||
|
sin t, |
|
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2 |
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y t |
|
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||
x et sin t, |
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ln2 t ln 3, x2 y2 |
||||||
20. |
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|||||||
|
t |
cos t, |
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y e |
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|
x cos 2t, |
|
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|
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||
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|
t , |
2x y |
||||
21. |
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2 |
||||||
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y 2(1 sin t cos t), |
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2e |
cos t, |
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1 |
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2 |
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2 |
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x 3 |
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t |
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22. |
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ln2 t ln 3, |
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(x |
|
y ) |
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2 |
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2e |
sin t, |
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y 3 |
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||||||||||
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|
t |
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x 2 sin 2t, |
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0 t |
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, |
x y |
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23. |
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2 |
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|||||||||
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2 |
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2 |
t, |
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|||||||
y cos |
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7 |
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е |
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x 2e |
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сost, |
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|||||||||
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0 t ln 3, 7(x2 |
y2 ) |
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|||||||||||
24. |
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|||||||||||||
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|
t |
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y 2e |
7 |
sin t, |
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||||||||||
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2 |
|
t |
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x 3sin |
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|
cos t, |
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||||||
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2 |
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||||||||||
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|||
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0 t , |
|
1 |
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2 |
y |
2 |
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||||||
25. |
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|
(x |
|
|
|
) |
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|||||||
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9 |
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||||||||||
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|
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|
t |
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|
|
|
|
|
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|||
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|
2 |
|
sin t, |
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|
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|||||||
y 3sin |
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|||||||
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2 |
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x cos2 t sin 2 t, |
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||||||||||||
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0 t |
|
, |
2x |
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|||||
26. |
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2 |
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|||||||||
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y 2(1 sin t cos t), |
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x t 2 |
sin t 2t cos t, |
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|||||||||||
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0 t , |
x2 |
y2 |
||||||||
27. |
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|||||||||||
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|
2 |
cos t 2t sin t, |
|
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||||||||||
|
y t |
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||||||||||
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1 |
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x cos t |
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cos 2t, |
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|||||||||
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2 |
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||||||||||||
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3 t |
4 , |
3(x2 |
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28. |
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|||||||||||||
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1 |
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y 3sin t |
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sin 2t, |
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2 |
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x 2 cos3 , |
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||||||
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3 |
t |
5 |
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1 |
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|||
29. |
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|
, |
|
y |
|||||||||
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2 |
2 |
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2 |
||||||||||
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3 |
t, |
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|||||||
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y 3sin |
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x 1 et , |
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||||||
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0 t ln |
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2, 1 |
|||||||||
30. |
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||||||||||
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2t |
2, |
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y e |
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y2 )
x